التحليل الرياضي

تحليل رياضي

Mathematical analysis -

التحليل الرياضي 

التحليل الرياضي mathematical analysis فرع من فروع الرياضيّات تطوّر من الحساب التفاضلي والحساب التكاملي. يتعامل التحليل الرياضي مع مجموعات الأعداد وخصوصاً الأعداد الحقيقيّة والأعداد العقديّة، ومع الدوال (التوابع). وهو يتضمّن نظريّات التفاضل والتكامل والاستمرار والمتتاليات والقياس، إضافةً إلى الدوال التحليليّة.

تعود مفاهيم التحليل الرياضي إلى أيّام الإغريق، إلاّ أنّ التحليل الحديث بدأ مع نيوتن Newton ولايبنتز Leibniz في القرن السابع عشر مع تأسيسهما حسابَي التفاضل والتكامل على أسس هندسيّة، ثمّ تطوّر هذا العلم بجهود عدد من الرياضيين منهم ريمان Riemann، وكوشي Cauchy، وفايرشتراس Weierstrass الذي أوجد التعريف الحديث للنهاية، ولوبيغ Lebesgue، وشوارتز Schwartz.

اهتمّ الرياضيّون بالتحليل منذ البداية لاتّصاله بمسائل مهمّة مثل حساب مساحات الأراضي ذات الحدود غير المستقيمة، وكذلك السرعة اللحظيّة لمتحرّك، والمسافة التي يقطعها خلال فترة زمنيّة ما، ومسائل أخرى كثيرة.

يُمكن وضع تصوّر لطريقة بناء التحليل الرياضي بعرض بعض المواضيع التي يتطرّق لها.

1- القواعد المنطقية الأوليّة ونظريّة المجموعات

يبدأ التحليل الرياضي -كأي فرع من فروع الرياضيّات- بتناول القواعد المنطقيّة الأوليّة elementary logic اللازمة للبراهين الرياضيّة، كما يستفيد من نظريّة المجموعات set theory في بناء مجموعات الأعداد، وتعريف الدوالّ (التوابع) وأصنافها المختلفة.

2- منظومات الأعداد

منظومات الأعداد number systems هي مجموعات مزوّدة ببعض (أو كلّ) العمليّات الأوّليّة المعروفة، وهي الجمع والطرح والضرب والقسمة.

تُبنى مجموعات الأعداد بِدءاً من مجموعة الأعداد الطبيعيّة إلى الأعداد الصحيحة ، فالأعداد العاديّة ، وصولاً إلى مجموعة الأعداد الحقيقيّة التي تُعدّ إضافةً إلى مجموعة الأعداد العقديّة الأرضيّة الأساسيّة لبناء التحليل الرياضي.

كما تُزوّد مجموعة الأعداد الحقيقيّة بعلاقة الترتيب المعروفة التي تمكّن من دراسة التزايد والتناقص والمتراجحات.

3- الفضاءات المتريّة

الفضاء المتري metric space هو مجموعة مزوّدة بمسافة. وفي التحليل الرياضي تُزوّد كلّ من مجموعة الأعداد الحقيقيّة ومجموعة الأعداد العقديّة بالمسافة المشتقّة من القيمة المطلقة، أي إنّ المسافة بين عنصرين و هي القيمة المطلقة للفرق بينهما . وبذلك تصبح كلّ من المجموعتين فضاءً متريّاً، ومن ثمَّ طبولوجيّاً topological space، وهذا يمهّد الطريق لتعريف مفهوم التقارب.

4- المتتاليات والتقارب

يُعدّ مفهوم التقارب convergence بوجه عام من المفاهيم المهمّة في التحليل، ويأتي مفهوم تقارب المتتاليات sequences في المقدّمة من حيث الأسبقية. ويمكن تعريف تقارب متتالية من عنصر على النحو المبيّن بالعلاقة (1):

أي إذا أخذ أي جوار للنهاية فإنّ حدود المتتالية تقع داخل هذا الجوار ما عدا عدداً منتهياً منها.

5- الدوال الحقيقيّة لمتحوّل حقيقي:

تشمل دراسة الدوال الحقيقيّة لمتحوّل حقيقي دراسة الدوال الحقيقيّة المعرّفة على أجزاء من مجموعة الأعداد الحقيقيّة ، أي الدوال من الشكل المبيّن بالعلاقة (2):

وتُعنى على وجه الخصوص بدراسة وجود نهاية للدالّة عند نقطة من مجموعة تعريفها (أو لاصقة بمجموعة التعريف)، ومن ثمّ دراسة استمرار هذه الدالّة على مجموعة تعريفها، وكذلك تفاضل الدالّة أو قابليّتها للاشتقاق. وكلّ ذلك بهدف دراسة تغيّرات الدالّة ومعرفة قيمها الحدّيّة الصغرى والكبرى.

6- الدوال الشعاعيّة التابعة لعدّة متحوّلات

تشمل دراسة الدوال الشعاعيّة التابعة لعدّة متحوّلات دراسة دوال من النمط . حيث يُزوّد كلّ من ، و بنظيم norm مناسب، ومن ثمَّ تُعرّف المسافة بين عنصرين على أنّها نظيم الفرق بينهما. وتُعنى دراسة الدوال الشعاعية بدراسة استمرار هذه الدوال وتفاضلها، ومشتقّاتها الجزئيّة ودراسة تغيّرات مركباتها. ولهذا النمط من الدوال أهميّة تطبيقيّة كبيرة؛ إذ تكون معظم المقادير الفيزيائيّة تابعةً لعدّة متحوّلات.

ونظراً لاتّساع مواضيع التحليل الرياضي تفرّع إلى فروع جزئيّة كثيرة.

7- فروع التحليل الرياضي

- التحليل الحقيقي real analysis: ويهتمّ بدراسة الأعداد الحقيقيّة وخصائصها، والدوالّ الحقيقيّة لمتحوّل حقيقي، ودراسة استمرارها واشتقاقها وتكاملها، وكذلك تقارب المتتاليات الحقيقيّة.

- التحليل العقدي complex analysis: ويدرس الدوال العقديّة لمتحوّل عقدي، والدوالّ الهولومورفيّة holomorphic functions.

- التحليل الدالّي functional analysis: ويُعنى بدراسة الفضاءات الشعاعية الطبولوجيّة.

- التحليل العددي numerical analysis: ويتضمّن الطرائق العدديّة لحساب حلول تقريبيّة لبعض المسائل التحليليّة كالمعادلات التفاضليّة ومسائل الأمْثَلة optimization.

- نظريّة القياس measure theory: وتدرس القياسات والتكامل، وهي تُعدّ أساس الاحتمالات.

- المعادلات التفاضليّة differential equations: وهو الفرع الذي يهتمّ بدراسة حلول المعادلات التفاضليّة ووحدانية هذه الحلول (وهي معادلات بين مشتقّات دالّة)، وطرائق حساب تلك الحلول.

- التحليل التوافقي harmonic analysis: ويهتمّ بتمثيل الدوالّ، أو الإشارات كمجموع أمواج أساسيّة، وهو تعميم لمتسلسلات فورييه Fourier.

8- التطبيقات في العلوم والهندسة:

يُعدّ التحليل الرياضي حجر زاوية في الرياضيّات، لكنّ أهمّيته لا تقتصر على الرياضيّات بل تمتدّ إلى العلوم الأخرى بفضل تطبيقاته الكثيرة. وتأتي هذه الأهميّة من تصديه لمسائل حيوية في مجالات عدّة، من أهمّها المعادلات التفاضليّة العاديّة منها والجزئيّة، التي تشكّل العمود الفقري لدراسة الميكانيك عامة وميكانيك الموائع خاصة.

إنّ تطبيقات التحليل الرياضي لا تعدّ ولا تُحصى، ففي الهندسة أمكن استعمال المستوي العقدي في حلّ كثير من المسائل في الهندسة المستوية، كما أمكن الاستفادة من التكامل في حساب الأطوال والمساحات والحجوم، وكذلك الحال في الفيزياء، وعلوم المال، والاقتصاد، وغيرها.

التصنيف : تقانات الفضاء والفلك

النوع : تقانات الفضاء والفلك

المجلد: المجلد السادس

رقم الصفحة ضمن المجلد : 0

آخر أخبار الهيئة :

البحوث الأكثر قراءة

اصدارات الموسوعة العربية

أسماء الباحثين

هل تعلم ؟؟

• - هل تعلم أن الأبلق نوع من الفنون الهندسية التي ارتبطت بالعمارة الإسلامية في بلاد الشام ومصر خاصة، حيث يحرص المعمار على بناء مداميكه وخاصة في الواجهات

• - هل تعلم أن الإبل تستطيع البقاء على قيد الحياة حتى لو فقدت 40% من ماء جسمها ويعود ذلك لقدرتها على تغيير درجة حرارة جسمها تبعاً لتغير درجة حرارة الجو،

• - هل تعلم أن أبقراط كتب في الطب أربعة مؤلفات هي: الحكم، الأدلة، تنظيم التغذية، ورسالته في جروح الرأس. ويعود له الفضل بأنه حرر الطب من الدين والفلسفة.

• - هل تعلم أن المرجان إفراز حيواني يتكون في البحر ويتركب من مادة كربونات الكلسيوم، وهو أحمر أو شديد الحمرة وهو أجود أنواعه، ويمتاز بكبر الحجم ويسمى الش

• هل تعلم أن الأبسيد كلمة فرنسية اللفظ تم اعتمادها مصطلحاً أثرياً يستخدم في العمارة عموماً وفي العمارة الدينية الخاصة بالكنائس خصوصاً، وفي الإنكليزية أب

• - هل تعلم أن أبجر Abgar اسم معروف جيداً يعود إلى عدد من الملوك الذين حكموا مدينة إديسا (الرها) من أبجر الأول وحتى التاسع، وهم ينتسبون إلى أسرة أوسروين

• - هل تعلم أن الأبجدية الكنعانية تتألف من /22/ علامة كتابية sign تكتب منفصلة غير متصلة، وتعتمد المبدأ الأكوروفوني، حيث تقتصر القيمة الصوتية للعلامة الك

شراء النسخة الورقية