تحويل المويجة

تحويل مويجه

Wavelet transform -

تحويل المويجة

تحويل المويجة wavelet transform أداة رياضية تفيد في تحليل المعطيات في المجالين الزمني والترددي (التواتري) معاً. وتحويل المويجة هو تحويل خطي تكون فيه توابع الأساس basis functions (باستثناء الأول) نسخاً مقيسة scaled ومزاحة shifted من تابع وحيد يطلق عليه اسم المويجة الأم mother wavelet. ويمكن القول إن تحويل المويجة يشتمل على تمثيل التوابع العامة بكتل بناء ثابتة وبسيطة بأبعاد ومواقع مختلفة. وكان مايرند Meyerand ومورليه Morlet أول من اقترح اسم المويجة في العام 1975.

ويمكن تعريف تحليل المويجة wavelet analysis بأنه عملية تحليلية رياضية تطبق على الإشارات الزمنية لنقل معلوماتها إلى المستوى الترددي. ويعدّ تحويل المويجة من التحويلات العديدة الميْز (الاستبانة) multiresolution transforms. ويستخدم التحويل المويجي في الكثير من التطبيقات، مثل معالجة الصور والفيديو.

يعتمد تحويل المويجة على تحويل فورييه Fourier transform الذي وضعه الرياضي والفيزيائي الفرنسي جان باتيست جوزيف فورييه Jean-Baptiste Joseph Fourier في عام 1822، لتمثيل الإشارات الدورية على شكل متسلسلة غير منتهية من التوابع المثلثاتية الجيب sine وجيب التمام (التجيب) cosine ذات ترددات تتعلق بالتردد الأساسي للإشارة الدورية المراد تحليلها، أو لتمثيل الإشارات غير الدورية والمحدودة زمنياً في المستوي الترددي.

تتمثل مشكلة تحويل فورييه (وهو تحويل وحيد الميْز) الرئيسية في عدم فعاليته مع الإشارات ذات الطيف غير المستقر زمنياً، أو المتغير مع الزمن؛ إذ لا يزود المستخدم بمعلومات عن المحتوى الترددي في أثناء الزمن، وكذلك بسبب ضياع بعض الخواص المهمّة لهذه الإشارات، مثل الاتجاه والانحراف وغيرهما؛ لذا جرى تطوير تحويل فورييه القصير الأمد Short Time Fourier Transform (STFT)، حيث يقوم هذا التحويل بتمثيل الإشارة باستخدام نافذة معينة زمنياً وترددياً. لكن المشكلة الرئيسية في هذا التحويل هو الضياعات الحاصلة في الزمن والتردد، حيث يجري الحصول على ميْز عالٍ للإشارات السريعة التغير عند استخدام نافذة صغيرة، ولكن هذا الميْز لا يكون عالياً للإشارات البطيئة التغير، وعند استخدام نافذة كبيرة يحصل العكس تماماً.

يعدّ الانتقال إلى تحويل المويجة حلاً لمشكلة الميْز في تحويل فورييه القصير الأمد، وذلك باستخدام نافذة متغيرة العرض عوضاً عن نافذة ثابتة العرض، للحصول على معلومات مختلفة وبميْز ترددي متغير.

التحويلات العديدة الميْز

يحقق تحويل المويجة تمثيلاً -ترددياً- زمنياً بآنٍ واحد، وعديد الميْز، ويكون فعالاً للإشارات غير المستقرة طيفياً، أي الإشارات المتغيرة المحتوى الترددي مع الزمن حيث لا يكون تحويل فورييه فعالاً. تعتمد التحويلات العديدة الميْز (المويجة والانحنائي curvelet) على المويجة التي يختلف ترددها باختلاف عرض النافذة المستخدمة؛ وبذلك يقدم تحويل المويجة ميْزاً ترددياً جيداً عند الترددات المنخفضة (مقاييس كبيرة)، وميْزاً زمنياً جيداً عند الترددات العالية (مقاييس صغيرة). ويبيّن الشكل (1) توضيحاً للميْز الزمني والترددي عند قيم الترددات العالية والمنخفضة، بحيث يبقى جداء الميْز الترددي والميْز الزمني ثابتاً؛ ويعدّ ذلك مناسباً لأغلب الإشارات الموجودة في الطبيعة.

الشكل (1) رسم توضيحي للميز الترددي والزمني في تحويل المويجة.

المويجات الأم وأنواعها

تختلف المويجات الأم المستخدمة في تحويل المويجة فيما بينها من حيث الشكل، ومن حيث المطالات الزمنية. وتعرَّف المويجة بأنّها إشارة محدودة في امتدادها الزمني، وقيمتها المتوسطة تساوي الصفر. ثمة 25 نوعاً تقريباً من المويجات التي يمكن استخدامها في تحويل المويجة، ولكل منها خصائصه الزمنية والمطالية. ويبيّن الجدول (1) أنواع المويجات الأساسية وأشكالها وسماتها وتطبيقاتها الرئيسية.

الجدول (1) أنواع المويجات الأساسية وأشكالها ومزاياها وتطبيقاتها الرئيسية.

تحويل المويجة المستمر وتحويل المويجة المتقطع

يُستخدم تحويل المويجة المستمر Continuous Wavelet Transform (CWT) في معالجة الإشارات التمثيلية، أما في حالة معالجة الإشارات المتقطعة فيستخدم تحويل المويجة المتقطع Discrete Wavelet Transform (DWT).

يعدّ تحليل المويجة رياضياً تطبيقاً لطي الإشارة المراد معالجتها f(x) مع تابعين: الأول تابع المويجة الذي يُرمز إليه بالرمز ، ويفيد في الحصول على المعاملات التي تسمى بالمعاملات التفصيلية detailed coefficients ورمزها ، والثاني هو تابع المقياس الذي يُرمز إليه بـالرمز ، ويفيد في الحصول على المعاملات التقريبيةapproximation coefficients ورمزها ، وتعطى المعاملات التفصيلية والمعاملات التقريبية بالعلاقتين (1) و (2) على الترتيب.

حيث مقياس الإزاحة الزمنية الذي يشير إلى موقع position النافذة عند اللحظة المختارة، و s متغير التقييس (التدريج) scaling، و المويجة الأم التي تشتق منها جميع المويجات، وهي نموذج لتوليد التوابع للنافذة.

يتطلب حساب معاملات المويجة عند كل تقييس عملاً هائلاً، ويولد كماً كبيراً من المعلومات؛ لذا يجري اختيار مجموعة من التقييسات ولمواقع يجرى الحساب عندها، وهذا التحليل فعال ودقيق وهو ما يسمى تحليل المويجة المتقطع (DWT).

يُرمز إلى معاملات تحويل المويجة المتقطع بالرمز C(j,k) الذي يعطى بالعلاقة (3)، وهو يعبر عن مدى الترابط بين الإشارة الرقمية x(n) والمويجة الأم التي تعطى بالعلاقة (4) عند المستوى j والموضع k .

يتمثل الفرق الأساسي بين تحويل المويجة المتقطع وتحويل المويجة المستمر في أن التحويل المتقطع يستخدم عدداً محدداً من المستويات بخلاف التحويل المستمر الذي يقوم بإجراء التحويل لجميع المستويات. وتجدر الإشارة إلى أن مجموعة المويجات المشكلة للإشارة المدروسة في تحويل المويجة المتقطع هي نسخة مأخوذة من تحويل المويجة المستمر، إلا أنَّ ثمة فائضاً بالمعلومات في التحويل المستمر عند إعادة بناء الإشارة المدروسة؛ مما يتطلب زمناً طويلاً نسبياً للتنفيذ، إضافةً إلى ما يتطلبه من موارد، مثل الذاكرة المحجوزة لتنفيذ الخوارزمية. من جهة أخرى يوفر تحويل المويجة المتقطع معلومات كافية لتطبيقات التحليل (التحويل الأمامي)، والتركيب (التحويل العكسي) للإشارات المدروسة، مع تخفيض جيد لعدد العمليات الحسابية، ومن ثمَ تخفيض زمن الحساب والموارد اللازمة.

تحويل المويجة السريع

يطبَّق تحويل المويجة السريع Fast Wavelet Transform (FWT) اعتماداً على خوارزمية قادرة على حساب قيمة تحويل المويجة المتقطع بسرعة أعلى. وتعود سرعة هذه الخوارزمية إلى أنه في كل مرحلة من مراحل التحليل يجري التعامل مع نصف عدد نقاط المرحلة السابقة، وهو ما يسهم في تسريع عملية الحساب. ويبيّن الشكل (2) مخططاً توضيحياً لآلية تنفيذ تحويل المويجة السريع.

الشكل (2) مخطط توضيحي لآلية تنفيذ تحويل المويجة السريع.

تحويل المويجة الثنائي البعد

عند تعميم تحويل فورييه الأحادي البعد one Dimensional (1D) -الذي يُرمز إليه بالرمز - إلى ثنائي البعد two-Dimensional (2D)– الذي يُرمز إليه بالرمز -يُستخدم متغيران w1 وw2 عوضاً عن متغير وحيد w1؛ وتطبق التحويلات الثنائية البعد على الإشارات الثنائية البعد مثل الصور الرقمية. ويقصد بثنائي البعد إحلال توابع الأساس في التحويل الثنائي البعد، أي محل .
وبالطريقة نفسها، يمكن الانتقال من تحويل المويجة الأحادي البعد إلى ثنائي البعد، بحيث تصبح توابع الأساس ثنائية البعد، وذلك لكل من تابع المويجة وتابع التقييس ، أي بحيث تصبح هذه التوابع توابع لمتغيرين و. ويعطى هذان التابعان بالعلاقتين (5) و (6) على الترتيب.

وبحسب قيمة i ثمة ثلاثة توابع مويجة و و. ولما كان تابع التقييس يمثل مركبة التردد المنخفض، فثمة تابع تقييس وحيد في فضاء ثنائي البعد، ومع ذلك فإن التابع المويجي متعلق بالترتيب الذي يجري فيه تطبيق المرشحات. إذا حققت توابع الأساس لتحويل المويجة (تابعا المويجة والتقييس) خاصية الفصل (أي إن التابع الثنائي البعد يساوي جداء التابعين من النوع نفسه، ولكنه أحادي البعد) يمكن إعادة كتابة توابع الأساس كما هو مبيّن في العلاقات (7 و8 و9
و10).

باختيار توابع الأساس لتحويل المويجة الثنائي البعد باعتبارها توابع قابلة للفصل سيصبح التحويل المويجي الأمامي والعكسي أسهل تنفيذاً، وعندها يصبح التركيز على تنفيذ التحويل المويجي الأحادي البعد (أي يصبح تنفيذ تحويل المويجة ثنائي البعد كتتابع عمليات تحويل مويجة أحادي البعد). ويعطى تحويل المويجة الثنائي البعد الأمامي forward والعكسي inverse بالعلاقات (11) و(12) و (13).

يجري فصل تردد الإشارة المدخلة إلى حزم ترددية مساوية لعرض الحزمة بوساطة المرشحَيْن H(Z)
وL(Z)؛ يمثل المرشح الأول (L(Z الترددات المنخفضة من الإشارة، وهي المعاملات التقريبية، في حين يمثل الثاني H(Z) الترددات العالية من الإشارة، وهي المعاملات التفصيلية. عند تحليل الصورة نحصُل على المعاملات التقريبية (LL)، ومعاملات التفاصيل الأفقية (HL)، ومعاملات التفاصيل الشاقولية (LH)، ومعاملات التفاصيل القطرية (HH)، وبتكرار عملية الترشيح نحصُل على عملية ترشيح متعدد المستويات. وهذا ما يسمى بشجرة تحليل المويجة، أو شجرة مالات Mallat’s tree كما هو مبيّن في الشكل (3).

الشكل (3) رسم توضيحي لمستويات التحويل المويجي الثنائي البعد حتى المستوى الثالث.

أهم التطبيقات في العلوم والهندسة

تعدّ المويجة أداة رياضية فعالة تسهل التمثيل المتعدد المقاييس للإشارات أو المعطيات، وهي فعالة حوسبياً وملائمة للتنفيذ العتادي hardware الموثوق، وتعطي معلومات الزمن والتردد بآن واحد، ومن ثَم تسِّهل تحليل الإشارات غير المستقرة. وبفضل هذه المزايا تجد المويجات ومشتقاتها تطبيقات في الكثير من مجالات العلوم والهندسة والتقانة. وفيما يأتي بعض مجالات التطبيق الرئيسية:

- في معالجة الإشارة: لا غنى عن تحويل المويجة في معالجة الإشارة والصورة والفيديو. ويُستخدم تحويل المويجة في معالجة إشارات الكلام وفي الضغط compression. وتعدّ إزالة ضجيج denoising الصور والفيديو تطبيقاً مهمّاً آخر للمويجة. ويمكن باستخدام تحويل المويجة كشف الانقطاعات في الإشارات، والنقاط العظمى المحلية، والنقاط الصغرى المحلية.

- في الرؤية الحاسوبية: يؤدي استخلاص السمات feature extraction دوراً حيوياً في تحليل الصور والرؤية الحاسوبية، فالسمات المشتقة من معاملات المويجة تفيد في تعرُّف الأشكال pattern recognition ومسائل التصنيف.

- في هندسة الاتصالات: تتتيح خاصية إعادة البناء المثالية لتحويل المويجة تنفيذ ترميز المصدر وترميز القناة؛ إذ ليس ثمة فقد ناجم عن التحويل لدى استخدام المويجات.

- التقانة الحيوية والمعلوماتية الحيوية: تفيد المويجات في تحليل الأنماط في التقانة الحيوية للتفريق بين المصاغة الطبيعية وبين الأغشية المرضية. واستُعملت كذلك لمراقبة تراكيز الخلايا في العمليات الحيوية، وتحليل أنماط الحمض النووي الريبي المنقوص الأكسجين.

- في الهندسة الطبية الحيوية: وهي تمثل مجالاً مهماً آخر لتطبيقات المويجة؛ إذ تُستعمل في تحليلات الإشارات الحيوية، مثل إشارات تخطيط أمواج الدماغ وتخطيط كهربائية القلب وتخطيط كهربائية العضلات.

- في تحليل المعطيات: استُخدمت المويجات في تحليل المعطيات الحيوية، مثل انتقاء المورثات gene selection، وتعرُّف الأشكال وتصنيفها، وفي معالجة المعطيات الزلزالية seismic بغية تقييم الأضرار البنيوية الناجمة عن الأحداث الزلزالية، وبهدف تقييم خزانات الهدروكربونات، مثل أحواض النفط والفحم.

- في الهندسة الكهربائية: وهو مجال تطبيقي آخرُ مهمٌّ للمويجات؛ إذ تستخدم المويجات في تصنيف اضطرابات جودة القدرة power quality، وكشف العيوب والحالات العابرة في منظومات القدرة. ومن التطبيقات التقليدية للمويجات في الهندسة الكهربائية إزالة الضجيج في تطبيقات القيادة الكهربائية، وتعيين العيوب في خطوط الإرسال؛ وذلك بتحليل التيارات الثلاثية الطور عند مواضع مختلفة.

- في القياس والتحكم: تعد الاختبارات اللاتخريبية nondestructive العمودَ الفقري لتصميم المنظومات والقياس، مثل تحليل المعطيات فوق الصوتية ultrasonic لتفتيش أنابيب محطات القدرة النووية وتحليل العيوب.

- في النقل: ثمة تطبيقات للمويجات في هندسة النقل من أجل تفسيرٍ أفضلَ لمحاكاة الحركة التي يمكن أن تقود إلى إدارة حركة فعالة.

- في الهندسة المدنية: من تطبيقات المويجة في الهندسة المدنية المراقبة البنيوية، وكشف الأضرار في الجوائز والدعامات beams باستخدام تقنيات كشف الحافات، وتوصيف الاهتزازات الموسمية في الموسطات parameters البيئية، مثل درجة حرارة البحار وإجهاد الرياح ومستوى البحر.

- الفلك Astronomy: تفيد خاصية تعدد الميْز للمويجات في دراسة الأكوان البعيدة، مثل البنى الهرمية لأشكال المجرات في حالة مقاييس مختلفة.

فواز مفضي

التصنيف : تقانات الفضاء والفلك

المجلد: المجلد السابع

رقم الصفحة ضمن المجلد :

آخر أخبار الهيئة :

البحوث الأكثر قراءة

اصدارات الموسوعة العربية

أسماء الباحثين

هل تعلم ؟؟

• - هل تعلم أن الأبلق نوع من الفنون الهندسية التي ارتبطت بالعمارة الإسلامية في بلاد الشام ومصر خاصة، حيث يحرص المعمار على بناء مداميكه وخاصة في الواجهات

• - هل تعلم أن الإبل تستطيع البقاء على قيد الحياة حتى لو فقدت 40% من ماء جسمها ويعود ذلك لقدرتها على تغيير درجة حرارة جسمها تبعاً لتغير درجة حرارة الجو،

• - هل تعلم أن أبقراط كتب في الطب أربعة مؤلفات هي: الحكم، الأدلة، تنظيم التغذية، ورسالته في جروح الرأس. ويعود له الفضل بأنه حرر الطب من الدين والفلسفة.

• - هل تعلم أن المرجان إفراز حيواني يتكون في البحر ويتركب من مادة كربونات الكلسيوم، وهو أحمر أو شديد الحمرة وهو أجود أنواعه، ويمتاز بكبر الحجم ويسمى الش

• هل تعلم أن الأبسيد كلمة فرنسية اللفظ تم اعتمادها مصطلحاً أثرياً يستخدم في العمارة عموماً وفي العمارة الدينية الخاصة بالكنائس خصوصاً، وفي الإنكليزية أب

• - هل تعلم أن أبجر Abgar اسم معروف جيداً يعود إلى عدد من الملوك الذين حكموا مدينة إديسا (الرها) من أبجر الأول وحتى التاسع، وهم ينتسبون إلى أسرة أوسروين

• - هل تعلم أن الأبجدية الكنعانية تتألف من /22/ علامة كتابية sign تكتب منفصلة غير متصلة، وتعتمد المبدأ الأكوروفوني، حيث تقتصر القيمة الصوتية للعلامة الك

شراء النسخة الورقية