التقدم الحسابي والهندسي

تقدم حسابي وهندسي

Arithmetic and geometric progression -

التقدم الحسابي والهندسي

معاذ عبد المجيد

خواص التقدم الحسابي

التقدم الحسابي المعمّم

خواص التقدم الهندسي

الارتباط بين التقدم الحسابي والتقدم الهندسي

التقدم الحسابي (AP)Arithmetic Progression  هو متتالية sequence عددية ، يكون الفرق بين كل حدين متتاليين فيها مقداراً ثابتاً d ويدعى أساس المتتالية، أي .  ومن ثمَّ فإن كل حد في التقدم الحسابي هو وسط حسابي بين الحد السابق له والحد اللاحق، أي  إن  ، حيث . فإذا كان الحد الأول  والأساس d فإن الحد العام (النوني) للتقدم الحسابي يعطى بالعلاقة  ،  أو بالعلاقة  . فعلى سبيل المثال  هي متتالية حسابية حدها الأول    وأساسها .

أما التقدم الهندسي (GP)  Geometric Progression فهو متتالية عددية حدها الأول غير معدوم (لتفادي القسمة على الصفر)، وينتج كل حد فيها (باستثناء الحد الأول) من سابقه بضربه بعدد ثابت r (يدعى أساس المتتالية)، أي إن  . ومن ثمَّ فإن الحد العام للتقدم الهندسي الذي حده الأول a وأساسه r هو . كذلك فإن كل حد في التقدم الهندسي  هو وسط هندسي بين الحد السابق له والحد اللاحق، أي إن ، حيث . وعلى سبيل المثال إن  متتالية هندسية حدها الأول  وأساسها .

ومصطلح التقدم بالإنكليزية مشتق من الكلمة اللاتينية progressio ، ويعني "الحركة إلى الأمام". وقد ظهرت مسائل التقدم في الجداول الفلكية البابلية قرابة العام 2000 ق. م وفي ورق البردى في العام 1550 ق. م. وتجدر الإشارة إلى شيوع استخدام مصطلح المتتالية (المتوالية) الحسابية أو الهندسية، عوضاً من التقدم الحسابي أو الهندسي.

خواص التقدم الحسابي

ينجم عن إضافة عدد ثابت إلى جميع حدود تقدم حسابي تقدم حسابي جديد، كما أن ضرب كل حدود تقدم حسابي بعدد ثابت غير صفري أو قسمتها عليه يعطي تقدمات حسابية جديدة. وكذلك حاصل جمع تقدمين حسابيِّين هو تقدم حسابي.

ويعتمد سلوك التقدم الحسابي على أساسه؛ فإذا كان الأساس موجباً يكون التقدم الحسابي متزايداً إلى اللانهاية الموجبة، أما إذا كان الأساس سالباً فإن التقدم الحسابي يتناقص إلى اللانهاية السالبة.

1- المجموع: يُطلق على جزء محدود من التقدم الحسابي تقدماً منتهياً (أو محدوداً). ويُعطى مجموع الحدود n الأولى من التقدم الحسابي   بالعلاقة  (1).

 فمثلاً يعطى مجموع الأعداد  بالعلاقة (2).

2- الجداء: يُعطى جداء الحدود n الأولى من التقدم الحسابي   بالعلاقة (3).

إذ إنَّ  هو التابع غاما gamma function.

فمثلاً يُعطى جداء أول 20 حدّاً من حدود التقدم الحسابي  بالعلاقة (4).

3- الانحراف المعياري: مهما يكن التقدم الحسابي المنتهي فإنّ الانحراف المعياري standard deviation له يعطى بالعلاقة (5).

4- مبرهنة دريخليت Dirichlet theorem: لكلِّ عددين طبيعيِّين أوليِّين فيما بينهما a وd؛ ثمة عدد لانهائي من الأعداد الأولية  التي تشكل تقدماً حسابياً لانهائياً. فمثلاً متتالية الأعداد الأولية   هي تقدم حسابي حده العام  ، لقيم n الآتية:

التقدم الحسابي المعمّم

تسمى المجموعة المعرّفة بالعلاقة (6) مجموعة خطية linear set (أو تقدماً حسابياً من البعد m)؛ إذا كانت C  تحوي عنصراً واحداً وP مجموعة منتهية.

والتقدم الحسابي المعمّم generalized arithmetic progression هو تقدم حسابي ولكن مع فروق مختلفة بين حدودها. فالتقدم الحسابي من المرتبة الثانية هو متتالية عددية، تشكل الفروق بين كل حدين متتاليين فيها تقدماً حسابياً. فعلى سبيل المثال إن  متتالية حسابية من المرتبة الثانية، لأن متتالية الفروق بين حدودها هي التقدم الحسابي .

خواص التقدم الهندسي

يرتبط سلوك التقدم الهندسي بقيمة أساسه r؛ فإذا كانت  تسعى حدود التقدم نحو اللانهاية الموجبة أو السالبة (تبعاً لإشارة الحد الأول). أما إذا كانت ، يكون التقدم ثابتاً. وإذا كان  يكون التقدم متناوباً. وإذا كان   و  تسعى حدود التقدم نحو الصفر. وأخيراً إذا كان  فإن القيمة المطلقة لحدود التقدم تسعى نحو اللانهاية.

يتزايد (أو يتناقص) التقدم الهندسي الذي أساسه لا يساوي  -1 أو 1 أو 0 ـــــ أسِّيّاً ــــــ في حين يتزايد التقدم الحسابي خطيّاً. وهذه النتيجة هي أساس دراسة مبدأ نمو السكان.

1- المجموع: يسمى مجموع الحدود n الأولى من التقدم  متسلسلة هندسية geometric series، ويُعطى بالعلاقة (7).

وتكون المتسلسلة الهندسية اللانهائية متقاربة إذا كان ، ويُعطى مجموعها بالعلاقة (8).

فمثلاً يعطى مجموع التقدم الهندسي المتناوب   بالعلاقة (9).

تبقى العلاقة (9) صحيحة ولو كان الأساس عدداً عقدياً، ولكن بدلاً من القيمة المطلقة للأساس في الشرط  تُستخدم طويلة الأساس.

2- الجداء: إذا كان كل حد من حدود التقدم الهندسي  موجباً؛ يُعطى جداء الحدود n الأولى في هذا التقدم بالعلاقة (10).

الارتباط بين التقدم الحسابي والتقدم الهندسي

إذا كان  تقدماً حسابياً أساسه d فإن التقدم  هندسي أساسه ، أياً يكن العدد . وبالمقابل إذا كان  تقدماً هندسياً أساسه  ، فإن التقدم  حسابي أساسه .

التقدم الحسابي- الهندسي

التقدم الحسابي-الهندسي arithmetico-geometric progression نتيجة جداء تقدم حسابي  وتقدم هندسي ، بالترتيب نفسه في التقدمين. أي إن حده العام يعطى بالعلاقة (11).

المتسلسلة الحسابية- الهندسية هي مجموع الحدود n الأولى من حدود التقدم الحسابي- الهندسي، ويعطى بالعلاقة (12).

وإذا كان هذا التقدم لانهائياً، وكان ؛ فإن المتسلسلة متقاربة ويعطى مجموعها بالعلاقة (13).

أما إذا كان   أو  فتكون المتسلسلة متباعدة.

للتقدم الحسابي والتقدم الهندسي تطبيقات في العديد من المسائل العلمية في الإحصاء، ونظرية الأعداد وعلوم الحاسوب ونمو السكان وعلم الحياة وعلم الاقتصاد وعلوم الفلك وغيرها.

التصنيف : تقانات الفضاء والفلك

النوع : تقانات الفضاء والفلك

المجلد: المجلد التاسع

رقم الصفحة ضمن المجلد : 0

آخر أخبار الهيئة :

البحوث الأكثر قراءة

اصدارات الموسوعة العربية

أسماء الباحثين

هل تعلم ؟؟

• - هل تعلم أن الأبلق نوع من الفنون الهندسية التي ارتبطت بالعمارة الإسلامية في بلاد الشام ومصر خاصة، حيث يحرص المعمار على بناء مداميكه وخاصة في الواجهات

• - هل تعلم أن الإبل تستطيع البقاء على قيد الحياة حتى لو فقدت 40% من ماء جسمها ويعود ذلك لقدرتها على تغيير درجة حرارة جسمها تبعاً لتغير درجة حرارة الجو،

• - هل تعلم أن أبقراط كتب في الطب أربعة مؤلفات هي: الحكم، الأدلة، تنظيم التغذية، ورسالته في جروح الرأس. ويعود له الفضل بأنه حرر الطب من الدين والفلسفة.

• - هل تعلم أن المرجان إفراز حيواني يتكون في البحر ويتركب من مادة كربونات الكلسيوم، وهو أحمر أو شديد الحمرة وهو أجود أنواعه، ويمتاز بكبر الحجم ويسمى الش

• هل تعلم أن الأبسيد كلمة فرنسية اللفظ تم اعتمادها مصطلحاً أثرياً يستخدم في العمارة عموماً وفي العمارة الدينية الخاصة بالكنائس خصوصاً، وفي الإنكليزية أب

• - هل تعلم أن أبجر Abgar اسم معروف جيداً يعود إلى عدد من الملوك الذين حكموا مدينة إديسا (الرها) من أبجر الأول وحتى التاسع، وهم ينتسبون إلى أسرة أوسروين

• - هل تعلم أن الأبجدية الكنعانية تتألف من /22/ علامة كتابية sign تكتب منفصلة غير متصلة، وتعتمد المبدأ الأكوروفوني، حيث تقتصر القيمة الصوتية للعلامة الك

شراء النسخة الورقية