تحويل هيلبرت

Hilbert transform -

 تحويل هيلبرت

تحويل هيلبرت

التعريف الرياضي

خواص تحويل هيلبرت

تحويل هيلبرت لإشارة تمرير مجال band-pass

تطبيقات تحويل هيلبرت في العلوم والهندسات

تحويل هيلبرت Hilbert transform مؤثر خطي يأخذ تابعاً وينتج تابعاً في المجال ذاته؛ أي إنه تحويل من المجال الزمني إلى المجال الزمني. ويؤدي تحويل هيلبرت دوراً مهمّاً في الرياضيات وفي معالجة الإشارة signal processing.

ففي الرياضيات يُوجِد تحويل هيلبرت دالة (تابع) قرينة companion لدالة حقيقية بحيث يكون قابلاً للتوسيع extended تحليلياً من المحور الحقيقي إلى القسم الأعلى من المستوي العقدي.

أما في معالجة الإشارة فيقوم التحويل بإزاحة طور (صفحة) phase إشارة بمقدار 90 درجة. وينتج من عملية التحويل (المحولة) transformation هذه إزاحة shift المركبات الترددية الموجبة للإشارة بمقدار -90°، في حين تخضع المركبات الترددية السالبة لإزاحة قدرها 90+°.

التعريف الرياضي

لتكن الإشارة الفيزيائية (دالة حقيقية) ، عند ذلك تعطى الإشارة التحليلية analytic الموافقة بالعلاقة (1).

حيث تحويل هيلبرت المرافق conjugate للإشارة . وبما أن الإشارتين و متعامدتان orthogonal؛ فإن تحويل فورييه للعلاقة (1) يعطى بالعلاقة (2):

حيث ودالة (تابع) الإشارة sign (signum) function معطاة بالعلاقة (3).

ويمكن كتابة العلاقة (2) بالشكل المبيّن في العلاقة (4).

وينجم عن ذلك أن العلاقة بين طيف الإشارة الأصلية وطيف الإشارة المرافقة هي من الشكل المبيّن بالعلاقة (5).

وهذا يعني أن الحصول على الإشارة المرافقة يتطلب تطبيق الإشارة الأصلية على مدخل منظومة تقوم بتدوير جميع المركبات ذات التردد الموجب بمقدار -90°، وجميع المركبات ذات التردد السالب بمقدار 90°؛ وذلك من دون أي تغيير بالمطال. ويُطلق على هذه المنظومة اسم المرشح الترابعي quadratic filter أو مرشح هيلبرت Hilbert filter .

تبين العلاقة (5) من وجهة النظر الرياضية أن طيف الإشارة المرافقة هو جداء طيف الإشارة الأصلية بالدالة . لذلك فإن الإشارة المرافقة هي طي (التفاف، تلفيف) convolution الإشارتين (الدالتين) و. يمكن تمثيل الإشارة رياضياً بالشكل المبيّن بالعلاقة (6).

حيث يعبر المؤثر عن القيمة المطلقة. وتعطى الدالة f(t)بالعلاقة (7).

ومنه فإن

وبإجراء عملية الطي يجري الحصول على عبارة تحويل هيلبرت المبيّنة بالعلاقة (8).

ويمكن ببساطة إيجاد بدلالة . لإجراء ذلك يكفي ملاحظة من العلاقة (5) أن ومنه فإن خلاف العلاقة المطلوبة عن العلاقة (8) هو الإشارة والاستبدال، أي إن x(t)يعطى بالعلاقة (9).

تسمى العلاقتان (8 و9) -من وجهة النظر الرياضية- بزوج تحويل هيلبرت. ويرمز إليهما بالشكل المبيّن بالعلاقتين (10 و11).

ولهذا السبب تسمى الدالة بالنواة kernel لتحويل هيلبرت ذات الانقطاع عند للعلاقتين (10 و11)، ولكن يجب أن يفهم هذا بمعنى القيمة الأساسية (الرئيسية) principle value. وكمثال على ذلك الصيغة المبيّنة بالعلاقة (12).

خواص تحويل هيلبرت

يختلف تحويل هيلبرت عن تحويل فورييه Fourier في كونه يقتصر على المجال الزمني فقط؛ بخلاف تحويل فورييه الذي يعمل في المجال الزمني والترددي.

- الخاصية الأولى: الإشارة وتحويل هيلبرت لها لهما الطيف المطالي ذاته.

ولبرهان ذلك يكفي ملاحظة أن ( العلاقة 5). وهذا يعني أن أكبر من بـ مرة. وبما أن طويلة magnitude تساوي الواحد لكل الترددات؛ فإن الطيف المطالي للإشارة يساوي الطيف المطالي لـلإشارة .

- الخاصية الثانية: إذا كانت هي تحويل هيلبرت فإن تحويل هيلبرت لـلدالة هو .

ويُبرهن على هذه الخاصية بإجراء تحويل هيلبرت مرتين متتاليتين، فتنتج العلاقة (13).

هذا يعني أن تحويل هيلبرت لـلدالة هو . وتجدر الإشارة إلى أن الإشارة هي إشارة حقيقية .

- الخاصية الثالثة: تمثل الإشارة الأصلية وإشارة تحويل هيلبرت لها إشارتين متعامدتين.

يقوم البرهان على هذه الخاصية بالاعتماد على خاصية الضرب في تحويل فورييه؛ أي انطلاقاً من العلاقة (14).

يمكن ببساطة الحصول من العلاقة (5) على العلاقة (15).

وبالتعويض في العلاقة (14) يتم الحصول على العلاقة (16).

نظراً لكون ، وبما أن الدالة هي دالة فردية والدالة هي دالة زوجية فإن نتيجة العلاقة (16) تساوي الصفر؛ أي إن العلاقة (17) محققة.

- الخاصية الرابعة: تحويل هيلبرت هو تحويل خطي؛ أي إن العلاقة (18) محققة.

حيث و قيم ثابتة.

- الخاصية الخامسة: تحويل هيلبرت لقيمة ثابتة يساوي الصفر كما هو مبيّن بالعلاقة (19).

وذلك لكون نواة تحويل هيلبرت دالة فردية حول ، ومرافق الثابت (الإشارة الثابتة) يساوي الصفر.

تحويل هيلبرت لإشارة تمرير مجال band-pass

لتكن إشارة تمرير مجال ذات تردد حامل أكبر بكثير من عرض مجالها الترددي والمعطاة بالعلاقة (20).

حيث إشارة متوافقة مع الطور و إشارة ترابعية.

حيث إن تحويل هيلبرت يعطى بالعلاقة (8) وبتعويض العلاقة (20) فيها تنتج العلاقة (21).

وبنشر كل من و- الدوال ذات التغيرات البطيئة نسبياً- بجوار باستخدام سلسلة (متسلسلة) تايلور Taylor series وبالتعويض في العلاقة (21) تنتج العلاقة (22).

يمكن إهمال المشتقات بسبب قيمها الصغيرة، وبذلك تنتج العلاقة (23).

وإذ أخذ في الحسبان العلاقتان (24) و (25) يجري الحصول على العلاقة (26).

من العلاقة (26) يُلاحظ الآتي:

• التعامد بين الإشارة الأصلية وتحويل هيلبرت لها.
• أن تحويل هيلبرت لإشارة تمرير مجال هي أيضاً إشارة تمرير مجال.
• الغلاف العقدي complex envelope للإشارة الأصلية له الشكل المبيّن في العلاقة (27).

  ومن ثمَّ يُعطى الغلاف العقدي لتحويل هيلبرت بالعلاقة (28).

  أي إن الغلاف العقدي لتحويل هيلبرت يختلف عن الغلاف العقدي للإشارة الأصلية بإزاحة زاوية مقدارها 90°.

  الغلاف الفيزيائي والطور الكلي والتردد اللحظي

  يُعطى الغلاف الفيزيائي لإشارة بالعلاقة (29).

  وبأخذ العلاقة (1) في الحسبان تنتج العلاقة (30).

  يمكن التأكد من صحة العلاقة بأخذ فيجري الحصول على العلاقة (31).

  يُعرف الطور الكلي بالعلاقة (32)، وهي مشتقة من العلاقة (1) أيضاً.

  ويعطى التردد اللحظي بالعلاقة (33).

  ويعطى الحد الثاني منها بالعلاقة (34).

  تطبيقات تحويل هيلبرت في العلوم والهندسات

  لتحويل هيلبرت تطبيقات لا حصر لها في مختلف مجالات العلوم والهندسات. فتحويل هيلبرت يستخدم أساساً لحساب السمات attributes الآنية لمتسلسلة زمنية وبخاصة المطال والتردد. لذا يستخدم تحويل هيلبرت في معالجة الإشارة لاستخلاص التردد الآني لإشارة ما، وفي معالجة الصور لتحديد أي من حواف edges صورة دَخْل جرى تحسينها وإلى أي درجة.

  كما يستخدم تحويل هيلبرت في الهندسة الطبية لمراقبة الوظائف الدماغية للمرضى. وفي هندسة الاتصالات لكشف تعديل الإشارة وفي تصميم المرشحات الرقمية.

  ويستخدم تحويل هيلبرت أيضاً في الهندسة الكهربائية لكشف الصدوع faults في الآلات الكهربائية وبخاصة في الدوار على سبيل المثال.

  ويُستخدم تحويل هيلبرت في الجيوفيزياء لتفسير المعطيات الحقلية الزلزالية والجاذبية والمغنطيسية. ويُستخدم في هندسة الاهتزازات vibration engineering لدراسة الرنين والجسوء stiffness غير الخطي والتخامد في البنى التحريكية الميكانيكية، وفي الاختبارات التحريكية، وفي استخلاص الموسطات النمطية modal لمنظومات الاهتزاز اللاخطية.

  وأخيراً يعد تحويل هيلبرت طريقة معيارية لحساب غلاف إشارة معدلة وطورها في طرائق القياس البصرية.

  محيي الدين وايناخ

  مراجع للاستزادة: - M. Feldman, Hilbert Transform Applications in Mechanical Vibration, Wiley, 2011. - S. L. Hahn, Hilbert Transforms in Signal Processing, Artech House, 1996. - S.G. Krantz, Exploration in Harmonic Analysis, Springer, 2009. - J.G Proakis, M. Salehi, Digital Communications, McGraw-Hill, 2008.

---

- التصنيف : تقانات الفضاء والفلك - المجلد : المجلد السابع مشاركة :