توزيع لابلاس

قصي كنفاني

توزيع لابلاس Laplace distribution هو توزيع احتمال مستمر وضعه الرياضي والفلكي الفرنسي بيير ـــــــ سيمون لابلاس Pierre - Simon Laplace في العام 1774. وتوزيع لابلاس – الذي يُعدّ بديلاً عن التوزيع الطبيعي normal distribution - هو توزيع متناظر وله ذروة أكثر حدة من التوزيع الطبيعي؛ ويكون تشتت المعطيات حول الوسط mean أعلى من تشتتها في التوزيع الطبيعي (الشكل 1).

الشكل (1) دالة كثافة الاحتمال لتوزيع لابلاس والتوزيع الطبيعي من أجل وسط صفري وتشتت واحدي.

ولتوزيع لابلاس - والذي يعرف أيضاً باسم التوزيع الأسي المضاعف double-exponential distribution - شكل توزيعين أسيين مضمومين joined ظهراً إلى ظهر back-to-back حول موسط الموقع location parameter ويُرمز إليه بالرمز . وينشأ هذا التوزيع بصورة طبيعية من الفرق بين متغيرين عشوائيين لهما توزيع أسي متطابقين ومستقلين. ويعرّف توزيع لابلاس بدالة كثافة احتمال متناظرة يميزها ذروة حادة يحددها موسط موقع وموسط سلمي (متدرج) scale parameter يرمز إليه بالرمز .     

دالة كثافة الاحتمال

تُعطى دالة (تابع) كثافة الاحتمال Probability Density Function (PDF) لهذا التوزيع من أجل موسط الموقع (الموسط المحلي) location parameter؛ الذي يُرمز إليه بالرمز. والموسط السُّلَّمي scale parameter؛ الذي يرمز إليه بالرمز بالعلاقة (1):

وفيها يكون

إذا كان المتغير العشوائي المستمر  خاضعاً لتوزيع لابلاس يُكتب، وهو توزيع متناظر بالنسبة إلى المتوسط ، متزايد في المجال ومتناقص في المجال ، كما هو مبين في الشكل (2):

الشكل (2) دالة كثافة الاحتمال لتوزيع لابلاس من أجل موسطات مختلفة.

وعندما يكون ، و يتحول توزيع لابلاس إلى توزيع لابلاس المعياري (النظامي) normalized، ويرمز إليه بالرمز ، وتعطى دالة كثافة الاحتمال له بالصيغة المبيّنة بالعلاقة (2):

دالة التوزيع التراكمي

تُعطى دالة التوزيع التراكمي (التجميعي) Cumulative Distribution Function (CDF) بالعلاقة (3):

ويمكن كتابتها بالصيغة المبينة بالعلاقة (4):

 يبين الشكل (3) دالة التوزيع التجميعية كثافة الاحتمال لتوزيع لابلاس المعطاة في الشكل (1).

الشكل (3) دالة التوزيع التراكمي لدوال كثافة الاحتمال لتوزيع لابلاس المبيّنة في الشكل (2).

دالة النُصَيْف

دالة النُصَيْف quantile function هي دالة رياضية تستعمل لتحديد قيمة نُصَيف محددة لتوزيع احتمال. والنُصَيف أي قيمة من القيم التي تقسم مجموعة معطيات مرتبة إلى أقسام متساوية.

ودالة النُصَيْف هي الدالة العكسية لدالة التوزيع التراكمي ، وتعطى بالعلاقة (5):

ويمكن كتابتها بالصيغة المبيّنة بالعلاقة (6):

أو وفق الصيغة المبيّنة في العلاقة (7):

الخصائص الإحصائية لتحويل لابلاس-غاوس

1ــــ الرُّبيعات والوسط:

يُحسب الرُّبيع quartile الأول  بتعويض في العلاقة (6)، فيكون:

في حين يحسب الربيع الثاني أو الوسط median بتعويض في العلاقة (6)، فيكون:  

ويُحسب الربيع الثالثبتعويض في العلاقة (6)، فيكون:

2ــــ المنوال والتوقع الرياضي والتشتت والانحراف المعياري:

المنوال mode هو العنصر الأكثر تكراراً في التوزيع ، وهو يساوي .

ويُعطى التوقع expectation الرياضي أو الوسط mean بالعلاقة (8):

وبذلك يتساوى المنوال والوسط لتوزيع لابلاس ، وتعطى قيمته بالمقدار.

ويُعطى التشتت variance للمتغير العشوائي بالعلاقة (9):

أما الانحراف المعياري standard deviation فهو الجذر التربيعي الموجب للتشتت، ويُعطى بالعلاقة (10):

3ــــــ العزوم المركزية:

تُعرّف العزوم المركزية central moments رياضياً بأنها القيمة المتوقعة لانحرافات deviations متغير عشوائي عن وسطه مرفوعاً إلى قوة محددة specific power. ويُعطى العزم المركزي (حول الوسط) من المرتبة بالعلاقة (11):

ويُعطى العزم المركزي المطلق absolute من المرتبة بالعلاقة (12):

4ــــــــ معامل الالتواء:

الالتواء skewness هو الدرجة التي يبتعد بها توزيع ما عن التناظر حول قيمته الوسطى. أما معامل الالتواء  coefficient of skewness فهو إحصاء يقيس درجة الالتواء في التوزيع واتجاه الالتواء (موجب أو سالب). ويُعطى معامل الالتواء لتوزيع لابلاس بالعلاقة (13):

5ـــــ معامل التفلطح:

التفلطح kurtosis هي خاصية وصفية للتوزيعات الإحصائية تبين الصيغة العامة لتمركز المعطيات حول قيمتها الوسطى. أما معامل التفلطح coefficient of kurtosis فهو قياس إحصائي يصف شكل ذيلي tails توزيع الاحتمال بالنسبة إلى الشكل الكلي. وهي خاصية لتوزيع لابلاس، ويُعطى معامل التفلطح بالعلاقة (14):

6ـــــ معامل التَّغيُّر:

التّغيّر variation هو قياس إحصائي لمدى الانتشار ضمن مجموعة معطيات. أما معامل التغير coefficient of variation فهو قياس إحصائي يقدر كمياً درجة تغيّرية variability مجموعة من المعطيات وذلك بحساب نسبة الانحراف المعياري إلى الوسط. ويُعطى معامل التغيّر لتوزيع لابلاس بالعلاقة (15):

7ـــــ الإنتروبية:

الإنتروبيَّة entropy قياس لكمية المعلومات اللازمة لتمثيل حدث مستقى من توزيع احتمال لمتغير عشوائي. وتعطى الإنتروبية لتوزيع لابلاس  بالعلاقة (16):

الدالة المميزة والدالة المولِّدة للعزوم

الدَّالَّة المُميِّزة Characteristic Function (CF) لمتغير عشوائي هي دالة عقدية تصف تماماً توزيع متغير عشوائي. وتُعطى الدالة المميزة للمتغير العشوائي  بالعلاقة (17):

العزوم في الإحصاء شائعة الاستعمال لوصف مميِّز توزيع characteristic of a distribution. وثمة عدة أنواع من العزوم: العزم الأول هو الوسط، والعزم الثاني هو التباين، والعزم الثالث هو الالتواء، والعزم الرابع هو التفلطح.

أما الدالة المولِّدة للعزوم Moment Generating Function (MGF) فهي دالة رياضية تقدم معلومات عن عزوم متغير عشوائي. وتستعمل هذه الدالة لحساب القيمة المتوقعة والعزوم الأعلى لمتغير عشوائي بتوليد متتالية من العزوم بوساطة المكاملة. والدالة المولدة للعزوم مفيدة بصورة خاصة عند التعامل مع التراكيب الخطية لمتغيرات عشوائية مستقلة. وتُعطى الدالة المولِّدة للعزوم للمتغير العشوائي  بالعلاقة (18):

حيث إن:

الدالة المولِّدة للمُراكِمات

الدالة المولّدة للمراكمات cumulant generating function لمتغير عشوائي هو اللوغارتم الطبيعي للدالة المولّدة للعزوم. وغالباً ما تستعمل هذه الدالة لكونها تسهل بعض الحسابات. وبصورة خاصة، فإن لمشتقاتها عند الصفر - والتي يطلق عليها المراكمات - علاقات لافتة بالعزوم والعزوم المركزية.

وتُعطى الدالة المولّدة للمراكمات بالعلاقة (19):

ويُرمز للمراكممن المرتبة للمتغير العشوائي الخاضع لتوزيع لابلاس  بـالرمز ، ويُعرّف بأنه معامل الحد في نشر تايلور Taylor (في جوار ) للدالة المولِّدة للمراكمات. وبالاستفادة من نشر تايلور للدالة في جوار الصفر والمكاملة يجري الحصول على العلاقتين (20) و(21):

خواص توزيع لابلاس

-       إذا كان خاضعاً لتوزيع لابلاس ، فإن التركيب الخطي يخضع أيضاً لتوزيع لابلاس من الشكل:

-       إذا كان خاضعاً لتوزيع لابلاس بمتوسط معدوم ، عندها يكون متغير القيمة المطلقة له خاضعاً للتوزيع الأسي بمتوسط مقلوب أي:

-       إذا كان المتغيران العشوائيان خاضعين لتوزيع أسي ، فإن متغير فرقهما يخضع لتوزيع لابلاس من الشكل:

-       إذا كانت المتغيرات خاضعة للتوزيع الطبيعي المعياري ؛ فإن المتغير العشوائي يخضع لتوزيع لابلاس المعياري أي:

-       إذا كانت ، فإن المتغير العشوائي يخضع لتوزيع مربع كاي chi-squared distribution بدرجة حرية أي: 

-       إذا كان المتغيران العشوائيان خاضعين لتوزيع لابلاس ؛ عندها يكون  خاضعاً لتوزيع فيشر Fisher من الشكل:

-       إذا كان المتغيران العشوائيان خاضعين للتوزيع المستمر المنتظم ؛ عندها يكون خاضعاً لتوزيع لابلاس المعياري من الشكل: 

-       إذا كان المتغيران مستقلين، فإن يخضع لتوزيع لابلاس من الشكل:

-       إذا كان المتغيران مستقلين، فإن يخضع لتوزيع لابلاس المعياري من الشكل:

-       إذا كان المتغيران مستقلين، فإن يخضع لتوزيع لابلاس من الشكل:

تطبيقات توزيع لابلاس

لتوزيع لابلاس تطبيقات مهمة في مجالات كثيرة منها: معالجة الكلام والصور، وأمن قواعد المعطيات الإحصائية، ونمذجة المعطيات، والهندسة البحرية. إضافةً إلى ذلك يفيد توزيع لابلاس في التنبؤ باحتمال حدوت هزات أرضية عنيفة، أو فيضانات، أو الكوارث الطبيعية أخرى. وقد استكشف عدد من الباحثين مؤخراً استعمال توزيع لابلاس في الملاحة لنمذجة أخطاء تحديد الموضع، وفي أبحاث الطب الحيوي حيث بإمكانه تمثيل عدم التجانس في معطيات المرضى. وركزت دراسات أخرى على تطوير أنواع جديدة لتوزيع لابلاس، مثل توزيع لابلاس المتخالف skew-Laplace distribution، من أجل ملاءمة أفضل لمجموعات معطيات محددة في مجالات مثل الشؤون المالية والاقتصاد.