الثابت الرياضي

قصي كنفاني

الثابت (اللامتغير) الرياضي mathematical invariant هو كميّة quantity لا تخضع لأي تغيير بفعل بعض العمليات الرياضية. والثوابت مفيدة جداً في تصنيف الأغراض الرياضية mathematical objects؛ لكونها تظهر الخصائص الذاتية intrinsic للغرض قيد الدراسة. وقد تراجع الاهتمام مراراً بنظرية الثوابت theory of invariants  ثم أعيد إحياؤها.

ظهرت هذه النظرية في القرن التاسع عشر، وكان لعدة رياضيين الفضل في إرسائها؛ ومنهم بول Boole وسيلفستر  Sylvesterوكايلي  Cayley وهرميت Hermite وكليبش Clebsch وغوردان Gordan وكابلّي Capelliوهيلبرت Hilbert.

امتد التأثير غير المباشر لنظرية الثوابت ليشمل نظرية الزُّمر theory of groups ونظرية التمثيلات representation theory؛في حين ولدت أشهر ثلاث نظريات من نظريات هيلبرت العامة في الجبر المجرد abstract algebra، وهي: نظرية القواعد basis theory، ومبرهنة الاقتران syzygy theorem، ونظرية الأصفارnullstellensatz theorem (وهي كلمة ألمانية يقابلها بالإنكليزية zero theorem)، بوصفها مبرهنات لإثبات نتائج أكثر أهمية في نظرية الثوابت.

شهدت السنوات الأخيرة من القرن العشرين تجدد الاهتمام بهذه النظرية بفضل تطبيقات جديدة في ميادين عدة كالطبولوجيا والهندسة والفيزياء والميكانيك المتصل continuum mechanics والرؤية الحاسوبية.

الثبات الرياضي

الثبات (اللاتغير) الرياضي mathematical invariance هو أي تطبيق fبين مجموعة معطاة من الكيانات entities الرياضية M الموصوفة بعلاقة تكافؤ ثابتة r ومجموعة أخرى من الكيانات (الكائنات) الرياضية N، والتي تبقى ثابتة بالنسبة إلى صفوف التكافؤ للمجموعة M فيما يتعلق بالنسبة إلى العلاقة r، أي لا تتغير وفق علاقة التكافؤ r على المجموعة M. فإذا كان كياناً رياضياً ما من المجموعةM؛ فيقال: إن ()f  هو ثابت invariant للكائن .

يُعدّ تطبيق الثبات الرياضي حجر الأساس في حل معظم المشكلات الرياضية، فإذا أريد إثبات نظرية ما في الهندسة الإقليدية، تتضمن دائرة باستخدام العلاقة الجبرية والإحداثيات الديكارتية؛ يمكن الافتراض أن مركز الدائرة هو مبدأ الإحداثيات- أي بدلاً من أن يكون المركز النقطة(a,b)  يصبح النقطة (0,0)- وذلك بهدف تبسيط بعض الحسابات. يسمح الثبات الرياضي بدراسة خصائص الأشكال التي لا تتغير عندما تخضع لحركات صارمة rigid motions (تحويلات خطية مثلاً)، كإجراء انسحاب ينقل مركز الدائرة إلى مبدأ الإحداثيات. كذلك يمكن عدّ نصف قطر الدائرة مساوياً الواحد إذا كانت خصائص المسألة التي هي في قيد الدراسة ثابتة بالنسبة إلى تغيّر الأبعاد (توسيع، أو تكبير وتصغير، أو تحويلات دقيقة). وكلما زاد الثبات الرياضي أمكن وضع افتراضات أبسط.

تطبيقات الثبات الرياضي

عادة ما يكون استخدام مفهوم الثبات في بعض المسائل خطوة أولى لحل المسألة بكاملها.

ومثال على ذلك إثبات أن المتراجحةصحيحة عندما تكون أعداداً موجبة، ويكون العدد يعتمد الحل على أخذ حالة خاصة يمكن تعميمها، وهي افتراض أن ؛ لأن المتراجحة في المسألة تبقى ثابتة عند تطبيق تحويل الأبعاد    إذا كان  tعدداً موجباً. والمتراجحة محققة في هذه الحالة لكون ومن ثمَّ يكون

لا تكون التحويلات اللازمة لتبسيط المسألة المطروحة بسيطة وواضحة دوماً كما في حالة المثال السابق. ففي مسألة النتيجة المباشرة لمبرهنة شتاينر Steiner's  porismالتي تنص على الآتي:

لتكنA,B دائرتين تقع إحداهما داخل الأخرى تماماً، تدعى المجموعة المنتهية من الدوائر  C₁,C₂,…,C_nسلسلة شتاينر بالنسبة لـ A,B إذا كان:

1) جميع الدوائرC₁تمسّ إلى  A,Bمعاً.

2) كل ثنائية من الدوائر  (C₁,C₂),(C₂,C₃),…, (C_n,C₁) تحقق التماس الخارجي.

من الواضح أنه في حالة دائرتين A,Bوالعدد الصحيح  nلا يمكن بوجه عام برهان وجود سلسلة شتاينر مكوّنة من  n دائرة. وقد اكتشف شتاينر برهاناً لوجود مثل هذه السلسلة في حال وجود أي دائرة مثل C₁ مماسة للدائرتين A,B. ويصبح برهان النظرية واضحاً في حال اتحدت الدائرتان  A,Bبالمركز. ويمكن القول: إن حالة الاتحاد بالمركز هي حالة خاصة من الحالة العامة؛ إذا وجد تحويل متباين للمستوي   P إلى مستوٍ آخر P` بحيث تقَابل الدوائر بدوائر، وأيضاً يقَابل كل زوج منها مثل A,B متداخلتين بزوج من الدوائر المتحدة المركز. ويكون ذلك صحيحاً إذا استبدل بالمستوي الإقليديEuclidean plane إسقاطه على مستوٍ آخر.

كما يمكن إثبات أن أي دائرتين منفصلتين يمكن أن تتحولا إلى دائرتين متحدتي المركز باستخدام تحويل موبيوس Moebius transformation المناسب والمبيّن بالعلاقة (1).

التحويلات

التحويلات transformations هي إحدى الأدوات المهمّة في دراسة المواضيع الرياضية، وهي شائعة الاستخدام. على سبيل المثال قد يقال: «الدائرة »، ولكن هذه في الواقع معادلة جبرية للدائرة، وليست الشكل الهندسي لها؛ إذ إن كل شكل هندسي يقابله معادلة جبرية، والعكس صحيح. وهذا الكلام لم يكن مقبولاً قبل أن يقوم ديكارت Descartes بوضع التوافق بين الصيغتين الجبرية والهندسية. وأحد النماذج الشائعة الاستخدام في حل المسائل هو «حوِّل، ثم برهِن، ثم قُم بالتحويل العكسي» الذي اقترحه كلامكن Klamkin ونيومان Newman، ومثال مبسط على ذلك مشكلة العمليات الحسابية في منظومة الأعداد الرومانية. فلحساب جداء العددينV ×VIII  تُجرى الخطوات الآتية:

1) تحويل الأعداد من المنظومة الرومانية إلى المنظومة العشرية.

2) حساب الجداء 40= 5×8.

3) إجراء التحويل العكسي والحصول علىV=XL×VIII.

في الواقع تطبق الآلات الحاسبة الاستراتيجية نفسها حيث تقوم بعملية التحويل من المنظومة العشريةdecimal إلى المنظومة الاثنانية binary، ثم تقوم بالعملية المطلوبة، ثم تحول الناتج من الشكل الاثناني إلى العشري.

وتُستخدم الخطوات نفسها في حل المعادلات التفاضلية بالاعتماد على تحويلات لابلاسLaplace transforms، وأيضاً في حل المسائل الهندسية بالاعتماد على الهندسة التحليلية.

ضبط الأبعاد

يُعدّ البرهان على نظرية ليوفيل Liouville theorem -التي تنص على أن أي دالة كاملة محدودة هي دالة ثابتة- مثالاً على ضبط الأبعاد (تغيير المقياس)scaling.

فبفرض أن كاملة و حيث أي عدد عقدي. واستناداً إلى نظرية القيمة المطلقة العظمى للعدد العقدي (طويلة العدد العقدي)، ونتيجتها المباشرة توطئة (تمهيدية) شفارتز Schwarz lemma: إذا كان تشاكل غامر  homomorphismفي القرص الواحديو ومحدودة بالواحد 1، وكان ، عندها

بتعريفحيث أي عدد موجب، وبتطبيق توطئة شفارتز على تكون العلاقة (2) محققة.

ومن ثمَّإذا كان أي عدد عقدي، يكتب في المتراجحة الأخيرة، فيجري الحصول على العلاقة (3).

ولأنها محققة في حالة أي عدد موجب ؛ يمكن الاستنتاج أن  يسعى إلى الصفر.

براهين الاستحالة

تستخدم في الإنشاءات الهندسية الحافة المستقيمة (المسطرة) straightedge والفرجارcompass وفق بعض القواعد الصارمة. وبعض هذه الإنشاءات مستحيلة، مثل نقش مسبّع منتظم داخل دائرة؛ لأن ذلك يستلزم جبرياً حساب جذور لمعادلة من الدرجة الثالثة متعذرة التخفيض بمعاملات من الأعداد الصحيحة من قطعة مستقيمة طولها واحد. واستناداً إلى نظرية غالوا  Galois theory فإن الشرط الضروري لإنشاء قطعة مستقيمة طولها هو أن يكون متلاشياً (يسعى نحو الصفر) من أجل كثير حدود ما  f مهمّ ذي معاملات صحيحة وغير قابل للتخفيض في حقل الأعداد النسبية، ودرجته من قوى العدد 2.

ثمة مشاكل إنشائية ذات وسائل أكثر تقييداً، مثل السماح باستخدام الحافة المستقيمة فقط. وتجدر الإشارة إلى أنه يمكن فعلاً إنشاء تكوينات معيّنة باستخدام المسطرة فقط.

الثوابت

من أحد مظاهر نظرية الثوابت المقادير المحفوظة أو الثوابت Invariants. والمقادير هنا ليست بالضرورة أعداداً، فقد تكون ثنائيات أو كيانات جبرية.

بطرح سؤال بسيط هو ما إمكان تحليل مستطيل 13×5إلى عدد محدود من القطع التي يمكن إعادة تركيبها لتشكل مربعاً  8×8؟ إن الإجابة البديهية هي لا؛ لأن مساحتي الشكلين غير متساويتين، ولكن بفرض أن مفهوم المساحة لم يكن معلوماً؛ عندها سيكون من الصعوبة البرهان على هذه الإجابة. لتقدير هذا الوضع تأخذ مسألة النظير الثلاثي الأبعاد التي تنص على وجود متعددي سطوح (مجسمين)polyhedron  لهما الحجم نفسه بحيث لا يمكن تحليل أي منهما إلى عدد محدود من القطع التي يمكن إعادة تجميعها لتشكيل الآخر (مسألة هيلبرت الثالثةHilbert's  third problem التي قام بحلها ديهن Dehn). من الواضح أن ثمة ثوابت أخرى إلى جانب الحجم يجب أن تتساوى فيما بينها حتى يكون الإنشاء السابق ممكناً. مقارنة بالحالة الأولى في المستوي يمكن دائماً تحليل أحد مضلعين متساويين بالمساحة وإعادة تركيبه لتشكيل المضلع الآخر.

ثمة فرع مهم من الرياضيات العالية يُعنى بتحديد «مجموعة كاملة من الكميات الثابتة» من أجل صف معطى من الكيانات وعائلة من التحويلات على هذه الكيانات، بحيث يكون تطابق أحد هذه الثوابت في كيانين منها ضرورياً وكافياً حتى يمكن تحويل أي منهما إلى الآخر.

التناظر

عند التعامل مع المشاكل الرياضية يجب البحث دائماً عن التناظر Symmetry الذي يمكن استغلاله لتبسيط الأمور. ومن الأمثلة التقليدية على الاستفادة من التناظر دراسة مشكلة القيمة الحدية، حيث يمكن ملاحظة أن هذه المسألة تملك خاصية الثبات الدوراني، ومن ثمَّ يمكن استخدام الإحداثيات القطبية لحلها.

ثمة أنواع أخرى للتناظر قليلة الورود؛ ولكنها متأصلة في الهندسة الإسقاطيةprojective geometry كالثنوية (الازدواجية) duality (أو التذاكلات automorphism) الذي يُبادل بين أدوار النقاط والمستقيمات، حيث يكون لكل منهما نظير ثنوي. وفي حالة المعادلات التفاضلية فإن اكتشاف حالة تناظر قد يمكّن من تخفيض عدد المتحولات؛ مما يعني تحويل المعادلة التفاضلية من جزئية إلى عادية، أو من عادية إلى أخرى من مرتبة أقل (هذه الملاحظات كانت نقطة الانطلاق لأبحاث لي Lie).

التعميم والتخصيص

التخصيص specializing هو جزء من تعاليم كبار علماء الرياضيات كهيلبرت Hilbert وبوليا Polyaلحل المشاكل الرياضية؛ ويقصد بذلك البحث عن حالة خاصة من المسألة يمكن حلها. إن استغلال وجود تماثلات (مشابهات) analogies مثمر جداً، وقد تكون هذه القاعدة العامة البسيطة ذات قيمة كبيرة جداً. وقد قام العالم بوليا بتطوير هذه الفكرة في كتاباته حيث عرض عدداً هائلاً من الأمثلة.

أما كلمة التعميمgeneralizingفهي الوجه الآخر للعملة المنقوش عليها كلمة التخصيص. ويُعدّ هذا المفهوم أيضاً مهمّاً جداً في حل المسائل الرياضية. إذ يُصادف في كثير من الأحيان كيان لا يمكن معرفته؛ لأنه قد يكون مقطعاً عرضياً من كائن آخر أكبر منه ومألوف، أو لأنه تفصيل صغير من صورة أكبر يمكن معرفتها بسهولة.

الحدس الفيزيائي

وفقاً لكتابات العالم بوانكاريه Poincaré؛ فإن الفيزياء لا تطرح المشاكل فقط على الرياضيين، بل تقترح طرائق حلها في معظم الحالات؛ لذا يمكن -في بعض الأحيان- حل المسائل الرياضية البحتة وفقاً للحدس الفيزيائي physical intuition.

فبفرض وجود مثلث رؤوسه ثلاث نقاط A  وB وCليست على استقامة واحدة في المستوي الإقليدي، والمطلوب إيجاد النقطةPالتي يكون مجموع أبعادها عن رؤوس المثلث أقل ما يمكن. بطريقة أكثر تحديداً إثبات وجود نقطةP   تشكل مع رؤوس المثلث زوايا    APB=BPC=CPA  مساوية لـلقيمة 120 درجة.

من الصعب البرهان على ذلك رياضياً، ولكن يمكن ذلك فيزيائياً.

فبفرض أن النقاطA,B,C  موجودة على لوح خشبي أفقي، يجري ثقب مكان النقاط بثقوب متساوية، وتمرر ثلاثة حبال متساوية الطول معقودة بعضها مع بعض في نهاياتها العليا داخل الثقوب، ويوضع في نهاياتها السفلى أثقال متساوية، بفرض أنه لا يوجد احتكاك بين الثقوب والحبال. تتوازن نقطة العقدة لتصل إلى النقطة Qمن اللوح الخشبي، تمثل هذه النقطة مركز الطاقة الكامنة للأوزان الثلاثة، وهو مركز ثقل الأوزان الثلاثة الأخفض والذي يحقق أن مجموع الأطوال QA و QB وQC أقل ما يمكن. إذاً Qهي النقطة المنشودةP . ووفق مبدأ التوازن الساكن تشكل القوى المتساوية الشدة المؤثرة في Q ثلاث زوايا AQB و BQC و CQA يجب أن تكون متساوية، وتساوي كلٌّ منها 120 درجة.

التطبيقات الحديثة للثابت الرياضي

لاستعمال الثوابت تطبيقات حديثة كثيرة في مجالات متنوعة منها:

- علوم الحاسوب وهندسة البرمجيات: التحقق من البرمجيات software verification والتفلية debugging، وثوابت الحلقة loop invariants، وموثوقية تطبيقات الوِب web applications reliability، والتصميم المقود بالنطاق domain-driven design، وبنى المعطيات.

- الذكاء الصنعي وتعلّم الآلة: تعميم النطاقات domain generalization والموائمة، والرؤية الحاسوبية، والتشخيص الذكي للأخطاء.

- الرياضيات والهندسة: الهندسة الجبرية والجبر التبديلي، والهندسة التفاضلية، وتحليل المعطيات الطبولوجي، ونظرية البيان.

- العلوم الفيزيائية والهندسات: علوم المواد، ومنظومات التحكم، والبيانيات الحاسوبية.

-  تطبيقات أخرى: نظرية الترميز، والتطبيقات المالية والأعمال.

وما تزال الحاجة ملحة لمعرفة بنى الثوابت المستقلة وظيفياً لحقول الموتِّرات tensors في الكثير من المسائل الرياضية والفيزيائية. إذ يمكن على سبيل المثال الاعتماد على الثوابت الهندسية التفاضلية في استيقان الصور image authenticationفي ظل انتشار الصور ذات الواقعية التصويرية المولّدة بالذكاء الصنعي والتي تشكل تحدياً وجودياً للأدلة الجنائية الرقمية والصحافة والثقة المجتمعية بالوسائط المرئية.