التوازن

محمد سعيد محاسنه

التوازن أو علم السكون statics فرع من الميكانيك، يدرس شروط توازن النقطة المادية والجسم الصلبsolid body  والمجموعات الميكانيكية. إن النقطة المادية مفهوم رياضي يعدّ الجسم المدروس لا أبعاد له، وبالتالي يصعب تمييز دورانه أو كشف ذلك؛ ويقابله فيزيائياً الجسيم particle، لكنه في الفيزياء يمكن أن يُكتشف له خواص دورانية مع صغر أبعاده. ويعدّ الجسم الصلب مجموعة نقاط مادية، الأبعاد بينها ثابتة حتى بعد تطبيق القوى عليه، أي إن شكله وحجمه ثابتان، وبالتالي يكفي تعيين نقطتين منه ليتعين موقعه كاملاً. وثمة فرع خاص في الميكانيك لدراسة تغير أبعاد الجسم عند تطبيق قوى عليه هو الفرع الذي يدرس الخواص المرنة واللدنة  elastic and plastic properties للأجسامالصلبة. يدعى هذا الجسم المثالي أحياناً جسماً صلداً rigid body تمييزاً له من الجسم الذي تتغير أبعاد جسيماته بعضها عن بعض. وقد تكون المجموعات الميكانيكية مكوّنة من عدة أجسام صلبة متمفصلة فيما بينها، أي يفرض عليها بعض القيود أو الروابط.

 ويمكن تقسيم علم السكون أو التوازن إلى توازن أساسي (هندسي)  basic (geometrical)وتوازن تحليلي analytical. ويتناول التوازن الأساسي توازن الجسم الصلب، وتعدّ  القوى المؤثرة فيه مقادير متجهة (شعاعية) تؤثر في نقاط مختلفة من الجسم، فتدرس طرائق مجموعات أبسط من القوى  forces  والعزوم  moments  بالقوى المؤثرة فيه، اعتماداً على قواعد جمع المتجهات، ومن ثم يتم إيجاد شروط توازن هذا الجسم. أما التوازن التحليلي فيعتمد التحليل الرياضي.

 ويُتناول التوازن في طريقتين أساسيتين: مبدأ العمل الافتراضي (مبدأ الانتقالات الافتراضية) virtual work ، وطريقة مضاريب لاغرانج  Lagrange multipliers.

 يعتمد في التوازن الأساسي على مجموعة من التعاريف والمسلمات، أهمها:

-     تتوازن النقطة المادية إذا كانت محصلة القوى - مجموعها المتجه -  المؤثرة فيها معدومة.

- إذا استبدلت باتجاهات كل القوى لأي مجموعة (s) اتجاهات معاكسة مع الاحتفاظ بنقاط تأثيرها فإنه يتم الحصول على مجموعة قوى مكافئة تدعى المجموعة المعاكسة  لـ (s)، ويعبر عن ذلك بالعلاقة (1): 

-       إذا أثرت مجموعتان من القوى (s₁) و (s₂) في الوقت نفسه في جسم صلب وكان في حالة توازن يقال عن المجموعتين متوازنتان.

-       اذا كافأت مجموعة القوى (s₁) قوة وحيدة فإن القوة تدعى بالقوة المساوية للمجموعة (s₁).

-       إذا شكلت جميع القوى المؤثرة في جسم صلب مجموعة قوىً متوازنة يقال إن الجسم الصلب موجود في حالة توازن.

-       مجموعة قوتين متساويتين ومتعاكستين بالاتجاه تؤثران في النقطة نفسها هما مجموعة متوازنة.

-       مجموعة قوتين متساويتين بالشدة ومتعاكستين في الاتجاه ومطبقتين في نقطتين من الجسم الصلب وعلى حامل واحد هما قوتان متوازنتان. وإذا لم تكونا على حامل واحد كونتا مزدوجةcouple  لها عزم غير معدوم، فهما غير متوازنتين.

-       تكون مجموعتان من القوى متكافئتين إذا كان الفرق بينهما مجموعة قوىً أخرى تساوي الصفر.

-       مجموع قوتين متلاقيتين في نقطة تكافئ قوة وحيدة تؤثر في النقطة نفسها وتساوي المجموع الهندسي للقوتين.

توازن مجموعة قوى متلاقية في نقطة

لهذه القوى محصلة . والشرط اللازم والكافي لتوازن مثل هذه القوى معطى بالعلاقة (2):

ويمكن إسقاط هذه العلاقة الشعاعية على كل محور من المحاور الإحداثية.

توازن مجموعة قوى في الحالة العامة

 إذا كانت مجموعة القوى المؤثرة في جسم صلب موزعة ومطبقة في نقاط مختلفة منه فيمكن بوجه عام إرجاعها إلى متجهة رئيسة  مطبقة في نقطة من الفراغ ومزدوجة عزمها الرئيس معطى بالعلاقة (3):

حيث شعاع الموضع لنقطة تطبيق القوة ؛ ويسمى حاصل الضرب المتجه لكل قوة عزم هذه القوة moment of a force. عندئذٍ يكون شرط التوازن في هذه الحالة معطى بالعلاقة (4):

وبالإسقاط على المحاور الإحداثية يصبح شرط التوازن هو أن يكون مجموع مساقط جميع القوى وفق كل محور من المحاور الإحداثية معدوماً، ومجموع مساقط عزوم هذه القوى وفق كل محور من المحاور الإحداثية معدوماً أيضاً.

شروط توازن مجموعة متوازية من القوى

إذا كان اتجاه القوى المفروضة المحورZ، وبالتالي تكون مساقطها على المحورين X و  Y معدومة،  فتؤول شروط التوازن أعلاه إلى العلاقات (5):

حيث ترمز إلى عزم القوة المؤثرة في النقطة من الجسم بالنسبة إلى المحور X، أي تساوي ، والأمر نفسه بالنسبة إلى المحورY. أما و فهما مساقط شعاع الموضع للنقطة على المحورين X وYعلى الترتيب.

يوضح الشكل (1) حالة قوتين متوازيتين مطبقتين في نقطتين مختلفتين من الجسم، فالقوة المحصلة R ذات قيمة تساوي حاصل طرح القوتين، ويجب أن تطبق في النقطة C لكي يكافئ عزمها عزمي القوتين بالنسبة إلى المبدأ O. وبالتالي يجب تطبيق قوة معاكسة لـ R عند النقطة C  كي يتوازن الجسم. ويمكن تكرار العملية عند وجود أكثر من قوتين، فتحصّل هذه المحصلة مع القوة الثالثة وهكذا.

الشكل (1) تحصيل القوى المتوازية

والخلاصة في التوازن الهندسي للجسم الصلب يمكن القول إنه في حال تأثير مجموعة من القوى في الجسم الصلب موزعة في نقاطه فانه يمكن رد هذه القوى إلى محصلة عامة   ومزدوجات عزمها الرئيس(المحصل) هو ، والشرط اللازم والكافي لتوازن الجسم الصلب (الطليق) هو أن تتحقق العلاقات (6):

حيث متجهة موضع تطبيق القوة ، والعزم الحاصل لعزوم المزدوجات، أو العزم الرئيس المحصل.

يوضح الشكل (2) رد القوى ₁F و ₂F و₃F  - المؤثرة في النقاط  A وB و C  على الترتيب - إلى محصلة مجموع أولاً ، ثم رد عزوم  القوى C₁ و C₂ وC₃ إلى عزم رئيس، فيكون الشكل النهائي  قوة مكافئة _RF وعزم مزدوجة _RC يجب أن يساويا الصفر ليتم التوازن. وقد كتبت المتجهات (الأشعة) بخط غامق مكان حرف وفوقه شعاع للاختصار (كما يستعمل في بعض الكتب أيضاً).

الشكل(2) رد القوى والعزوم المؤثرة في جسم صلب إلى المجموعات المكافئة وشروط التوازن.

تؤول إذاً القوى المؤثرة في جسم إلى محصلة رئيسة  وعزم رئيس . 

التوازن التحليلي

يعتمد التوازن التحليلي على استعمال مبدأ العمل الافتراضي أو طريقة مضاريب لاغرانج لأخذ الارتباطات أو القيود في الحسبان؛ لذلك تذكر بعض التعاريف، منها:

-         الارتباط أو الصلة: هو الشرط الذي يفرض قيوداً على حركة نقاط المجموعة الميكانيكية، ويعبّر عنه بمعادلات تتضمن إحداثيات النقاط وسرعاتها، ويدخل فيها بوجه عام الزمن. فإذا كانت هذه العلاقات مطابقة الصفر سمي الارتباط بأنه مقيد لنقاط المجموعة؛ أي إن النقاط تبقى في أثناء حركتها ملازمة للارتباط، أما إذا كانت العلاقات على شكل متراجحات فإن الارتباط عندئذٍ هو محرر، بمعنى أنه يسمح للنقاط بمغادرة الارتباط. وسوف يقتصر الشرح على الارتباطات المقيدة. وإذا حوت معادلة الارتباط الزمن  على نحو صريح سمي الارتباط بالارتباط المتحوّل (المتحرك)، وإذا لم تحوِه صراحة سمي الارتباط ثابتاً. ويعبر عن ذلك بالعلاقتين (7 و8):

-       الانتقال الافتراضي: هو انتقال لامتناهٍ في الصغر يحدث مع تثبيت الزمن  في اللحظة التي يعطى فيها الانتقال. ويحقق الانتقال الافتراضي معادلة الارتباط، ويرمز إليه بـ تمييزاً له من الانتقال الحقيقي  الذي يتم خلال فاصل زمني .

يمكن أن ينطبق الانتقال الافتراضي على الانتقال الحقيقي اذا كان الارتباط ثابتاً, أما إذا كان الارتباط متحولاً فلا ينطبق الانتقال الافتراضي على الانتقال الحقيقي،  وتوضح العلاقات الشعاعية (9 و10) ذلك:

ويوضح الشكل (3)  كلاً من الانتقالين الافتراضي والحقيقي في حالة الارتباط المتحول:

الشكل (3) الانتقال الافتراضي للنقطة M يبقى في المستوي المماس للارتباط في اللحظة  في حين أن الانتقال الحقيقي للنقطة يتبع الارتباط في اللحظة

فاذا كانت النقطة M في المستوي في اللحظة ،  وأصبح المستوي لكونه غير ثابت في وضع آخر في اللحظة فإن الانتقال الافتراضي يبقى في المستوي عند اللحظة  لأن الانتقال الافتراضي يتم مع ثبات الزمن. في حين الانتقال الحقيقي  الذي يتم خلال الفاصل الزمني  سيتبع المستوي في الوضع الآخر في اللحظة . وبالتالي لا يمكن ان ينطبق الانتقال الافتراضي على الانتقال الحقيقي في حالة الارتباط المتحول.

-       الارتباط المثالي: هو الارتباط الذي تحقق قوة رد فعله العلاقة (11):

حيث ترمز إلى رقم النقطة المادية في المجموعة.

-       مبدأ العمل الافتراضي:  يستعمل هذا المبدأ  لدراسة توازن المجموعات المادية والميكانيكية، وله تطبيقات واسعة في مجال الهندسة الميكانيكية والصناعية، وينص على أن:

الشرط اللازم والكافي لتوازن مجموعة  مرتبطة بارتباطات مقيدة وثابتة ومثالية هو أن تكون محصلة الأعمال الافتراضية لجميع القوى المؤثرة في المجموعة وفق انتقالات افتراضية مساوية الصفر، أي تحقق العلاقة (12):

حيث القوة المؤثرة في النقطة من المجموعة. وتكتب العلاقة السابقة بعد الإسقاط على المحاور الإحداثية وفق المعادلة (13):

حيث ,, مركبات الانتقال الافتراضي على المحاور الإحداثية، وتحسب من معادلات الارتباطات المفروضة على المجموعة.

دراسة توازن مجموعة مرتبطة بطريقة مضاريب لاغرانج

مضاريب لاغرانج هي مقادير جبرية يتم اختيارها كي تعدم أمثال المتغيرات المرتبطة التي عددها الفرق: حيث عدد الارتباطات وn عدد نقاط المجموعة.

ففي حالة مجموعة مادية مرتبطة بالارتباطات: حيث تتغير a وفق العلاقة (14):

تكون شروط التوازن بهذه الطريقة معطاة بالعلاقة (15):

  حيث  مضاريب لاغرانج.  

من هذه العلاقات التي عددها مع معادلات الارتباطات التي عددها  يمكن حساب قيم مضاريب لاغرانج   التي هي k معادلة معدومة، وتعامل المعادلات الأخرى وكأنها غير مقيدة فتتعين أوضاع التوازن  لنقاط المجموعة.

في الحالة الخاصة التي يدرس فيها توازن نقطة مادية خاضعة لارتباط وحيد تؤول شروط التوازن إلى العلاقات (16):

وهذه العلاقات كافية لتحديد و وضع التوازن .

المعنى الفيزيائي لمضاريب لاغرانج

يمكن من شروط التوازن السابقة  القول إن مركبات قوة رد فعل الارتباط الوحيد من أجل النقطة المادية معطاة بالعلاقة (17):

وبالتالي تتحقق العلاقة (18):               

أي إن جداء مضروب لاغرانج في متجهة تدرج الارتباط الموافق هو قوة رد الفعل الناظمي للارتباط ( السطح) المفروض. ويمكن تعميم ذلك في حالة المجموعة المادية الخاضعة لعدد من الارتباطات. وهكذا فإن دراسة التوازن بطريقة مضاريب لاغرانج تعين وضع التوازن وقوى ردود الأفعال (مضاريب لاغرانج).

تردّأحياناً دراسة حركة جسم ما إلى دراسة ما يسمى بالتوازن الحركي حيث تضاف إلى القوى المؤثرة في الجسم قوىً أخرى وفق ما يعرف بمبدأ دالامبير  D`Alembert`s principle الذي ينص على أنه في كل لحظة من لحظات الحركة تحقق القوى الفعالة المؤثرة في مجموعة مادية وقوى ردود الفعل وقوى العطالةinertial forces   المعادلات الأساسية في التوازن, أي إن مجموع تلك القوى وكذلك مجموع عزومها بالنسبة إلى مركز ما يساوي الصفر. ويعبر عن ذلك بالعلاقات (19):

حيث القوة المؤثرة، قوة العطالة؛ قوة رد الفعل المؤثرة  في النقطة من المجموعة المادية، كتلة النقطة،  تسارعها. وقد سمى دالامبير مجموع القوى المؤثرة وقوى العطالة بالقوة الضائعة لأنها تتفانى مع قوى ردود الأفعال.

يستفاد من دراسة توازن الأجسام والمجموعات الميكانيكية في تحليل بناء الجسور والسدود والعوارض واستقرارها بعد معرفة القوى المؤثرة فيها، وكذلك في صنع الآلات والمحركات. وإن هذه الدراسة لا تفرق بين كون الجسم ساكناً في جملة إحداثية معينة (سرعته معدومة) وبين كونه متحركاً بحركة مستقيمة منتظمة في جملة إحداثية أخرى، فالسكون نسبي؛ لذلك بفرق بعض الفيزيائيين بين السكون والتوازن.

تطبيقات التوازن

يعدّ المشي على الحبل مع قضيب التوازن، أو التوازن فوق جدار مع قضيب توازن من الأمور التي تستعمل شروط توازن القوى المتوازية (الشكل 4)،  إذ يفيد قضيب التوازن بتغيير مركز ثقل جسم اللاعب CG فيظهران وكأنهما مجموعة واحدة، ففي الجزء العلوي من الشكل تكون القوة المطبقة من يد اللاعب اليسرى F_L مساوية للقوة المطبقة من اليد اليمنى F_R فينطبق مركز ثقل المجموعة على مركز جسم اللاعب من دون القضيب، أما في الجزء السفلي من الشكل فلا تكون القوتان متساويتان مما يؤدي إلى انزياح مركز ثقل المجموعة. لقد رسم يمين الجزأين شرط التوازن وكأن المجموعة حرة.

الشكل (4) تغير مركز ثقل مجموعة اللاعب وقضيب التوازن بتغير القوتين المطبقتين المؤثرتين في القضيب كي يتحقق التوازن.

يظهر الشكل (5) كيف يستفاد من التوازن مطبقاً على كل حجر من أحجار قوس أو جسر مع الأخذ في الحسبان ردود أفعال الحجارة المجاورة، وتفيد تقوساتها في تحقيق شرط العزوم، إضافة إلى شرط انعدام مجموعها.                    

الشكل (5) الاستفادة من تحليل القوى وشروط التوازن لبناء الجسور والأقواس.