تعويض رياضي

Mathematical substitution -

التعويض الرياضي

إيلي قدسي

تطبيقات التعويض الرياضي

يُقصد بالتعويض الرياضي mathematical substitution تعويض مُتَغيِّر (متحول) variable بمُتَغيِّر آخر أو بقيمة عددية. ويكون التعويض فعالاً إذا نتج من تغيير المُتَغيِّر تبسيط المسألة المطروحة، ومن ثمَّ السماح إن أمكن بحل المسألة المبسطة.

تطبيقات التعويض الرياضي

للتعويض الرياضي تطبيقات متنوعة في فروع متعددة من الرياضيات كالجبر الخطي linear algebra والتَّحليل الرياضي mathematical analysis والهندسة التَّحليلية analytic geometry وغيرها. ومن أبرز هذه التطبيقات حل منظومة (جملة) system من n  معادلة خطية ذات n مجهول، وحساب التكاملات، إضافةً إلى تحديد نوع القطع المخروطي انطلاقاً من المعادلة العامة لمنحني من الدرجة الثانية.

1- حل منظومات المعادلات الخطية

لتكن منظومة من n  معادلة خطية ذات المجاهيل ، والتي تأخذ الشكل المبيّن في العلاقات (1). 

 

والتي تكون فيها الأعداد b_i,a_ij حقيقية من أجل

ووفقاً لحقائق مثبتة في الجبر الخطي، إما أن تملك منظومة المعادلات الخطية حلاً وحيداً، أو تملك عدداً غير منته من الحلول، أو ألا تملك أي حل.

تقوم طريقة التعويض substitution method (أو الحذف المتتالي للمجاهيل) ـــــ بغية إيجاد حلول منظومة المعادلات (في حال وجودها) ــــــ على حذف المجاهيل واحداً تلو الآخر.

ففي حال كانت منظومة المعادلات مكوّنة من معادلتين بمُتَغيِّرين (مجهولين)؛ تُجرى الخطوات الآتية لحل المنظومة:

1- اختيار إحدى المعادلتين وإيجاد أحد المُتَغيِّرين بدلالة المُتَغيِّر الآخر.

2- تعويض العبارة الناتجة من الخطوة الأولى في المعادلة الثانية.

3- حل المعادلة الناتجة من الخطوة الثانية (وهي معادلة واحدة بمجهول واحد).

4- تعويض الحل الناجم عن الخطوة الثالثة في إحدى المعادلتين الأساسيَّتين للحصول على قيمة المُتَغيِّر الثاني.

أما في حال كانت المنظومة مكوّنة من عدة معادلات بعدد مماثل من المُتَغيِّرات؛ فيجري تكرار تطبيق الخطوات حتى الاختزال إلى معادلة واحدة بمُتَغيِّر واحد.

فبفرض منظومة المعادلات المعطاة بالعلاقات (2) على سبيل المثال فإن المطلوب البحث عن الحلول المشتركة لها.

                                

 ويمكن استناداً إلى المعادلة الأولى في العلاقات (2)، الحصول على ، وبتعويض هذه القيمة للمُتَغيِّر  في المعادلتين الثانية والثالثة من العلاقات (2) تؤول منظومة المعادلات إلى حل المعادلتين الخطيتين المبيّنتين في العلاقتين (3).

                                  

وبتطبيق طريقة التعويض ثانيةً يجري الحصول على الحل الوحيد المتمثل في    و  و .

وبفرض منظومة المعادلات الخطية المتجانسة المعطاة بالعلاقات (4)، يُلاحظ أن المعادلة الثالثة تنتج من المعادلتين الأولى والثانية.

ومن ثمَّ يؤول حل منظومة المعادلات المعطاة إلى حل المعادلتين الخطيتين المتجانستين المبيّنتين في العلاقتين (5).

وبتطبيق طريقة التعويض يجري الحصول على المعادلة الخطية المتجانسة:  فتكون مجموعة الحلول هي المعطاة بالعلاقة (6)، حيث Z عدد اختياري.

2- حساب التكاملات

تُستخدم طريقة التعويض بغية تسهيل صيغة الدالَّة (التابِع) المكاملة؛ إذ يُحوَّل التكامل المعطى إلى أحد التكاملات الأساسية.

بفرض هو التكامل المطلوب إيجاده، فإنه من الممكن استخدام التعويض في حسابه بالاستعانة بمتحول آخر جديد  يرتبط بالمتحول  بعلاقة ما، ليأخذ التكامل المفروض الصيغة المبيّنة في العلاقة (7).

فإذا كان التكامل الجديد ينتمي إلى جدول التكاملات الشهيرة، أو يؤول إلى إحداها بسهولة؛ فإنه يكون قد جرى الوصول إلى الهدف المنشود من إجراء التحويل.

بفرض أن التكامل المطلوب حسابه هو المعطى بالعلاقة (8).

بإجراء التعويض ، (الذي يقتضي أن ) وإدراجه في التكامل الأصلي يجري الحصول بيسر على الدالَّة المنشودة، كما هو مبيّن في العلاقة (9).

 

3- تحديد نوع القطوع المخروطية لمنحنيات الدرجة الثانية

يكون التمثيل البياني لمنحنيات الدرجة الثانية قطوعاً مخروطية، ويمكن الاستفادة من مفهوم التعويض الرياضي في الوصول إلى معادلات دوران المحاور الاحداثية، التي تؤول إلى معرفة نوع القطوع المخروطية.

تُعطى المعادلة العامة لمنحنيات الدرجة الثانية بالعلاقة (10)؛ على ألا تكون جميع المعاملات فيها أصفاراً.

وتُدعى العبارة  الصيغة التربيعية المرافقة للمعادلة العامة، وتُكتَب الصيغة التربيعية المرافقة مصفوفياً بالشكل المبيّن في العلاقة (11).

حيث  مصفوفة matrix متناظرة، ووفقاً لمفهوم الاختزال العمودي لمصفوفة متناظرة حقيقية إلى شكل قطري، ثمة مصفوفة متعامدة  أعمدتها متَّجِهات ذاتية eigenvectors متعامدة منظمة بحيث تحقق العلاقة (12).

 

وتمثل فيها  الجذور الذاتية لـلمصفوقة .

وتمثل المصفوفة المتعامدة  دوراناً إذا كان . وبإجراء التعويض الرياضي (التحويل العمودي)   والذي يعبر عنه بالمصفوفة المعطاة بالعلاقة (13).

 

يجري الحصول على الصيغتين المبيّنتين بالعلاقة (14).

 

وبذلك تأخذ المعادلة العامة لمنحني الدرجة الثانية الشكل المعطى بالعلاقة (15).

ووفقاً لمفاهيم معتمدة في الهندسة التحليلية يكون التمثيل البياني من الدرجة الثانية قطعاً مخروطياً مثل القطع الناقص، والقطع الزائد، والقطع المكافئ.

فعلى سبيل المثال لتعيين نوع القطع المخروطي الذي معادلته ، تُختزل هذه المعادلة إلى الصيغة التربيعية المرافقة لمعادلة القطع المخروطي، والمعطاة بالعلاقة ( (16).

وتُعطى الدالة المميزة للمصفوفة  بالعلاقة (17).

ومن ثمَّ فإن الجذور (القيم) المميزة لمحدد determinant المصفوفة هي  4 و 9 .

إن المتجهات الذاتية الموافقة للجذر المميز هي الحلول غير الصفرية لجملة المعادلات الخطية المتجانسة المعطاة بالعلاقة (18).

وتؤول هذه الجملة إلى معادلة خطية وحيدة .

ومن ثمَّ فإنومن ثمَّ فإن هو متجه ذاتي موافق للجذر المميزهو متجه ذاتي موافق للجذر المميزهو متجه ذاتي موافق للجذر المميز . وبصورة مشابهة، يكونون  متجهاً ذاتياً موافقاً للجذر المميزيز .

وبِرَد المتجهين الذاتيين إلى الصيغة الناظمية، يجري الحصول على المصفوفة المتعامدة الحقيقية المعطاة بالعلاقة (19).

 

إضافةً إلى ذلك يلاحظ بإجراء عمليات حسابية أن ، وأن ، ومن ثمَّ يكون التحويل العمودي  دوراناً .

وبالتعويض في معادلة القطع المخروطي يجري الحصول على العلاقة (20).

 

والتي يمكن كتابتها على الشكل المبيّن في العلاقة (21).

والذي يكافئ الشكل المعطى بالعلاقة (22).

إذن تُختَزل معادلة القطع المخروطي إلى الصيغة الناظمية المبيّنة بالعلاقة (23).

أو إلى الصيغة المعطاة بالعلاقة (24).

والتي تمثل قطعاً ناقصاً.

 

مراجع للاستزادة: - S. Boyd, L. Vandenberghe, Introduction to Applied Linear Algebra, Cambridge University Press, 2018. -  Y. Chen, The Substitution Method, ‎ Create Space Independent Publishing Platform 2017. -  M. V. Markin, Integration For Calculus, Analysis, And Differential Equations: Techniques, Examples, And Exercises, ‎ World Scientific 2018.

---

- التصنيف : تقانات الفضاء والفلك - النوع : تقانات الفضاء والفلك - المجلد : المجلد التاسع مشاركة :