تفاضل

Differentiation -

التفاضل

إيلي قدسي

 

مفهوم الاشتقاق والتفاضل لدالة	المشتقات المتتالية لدالة عددية
مفهوم المشتق من اليمين والمشتق من اليسار	توظيفات الاشتقاق
المفهوم الميكانيكي والفيزيائي للتفاضل	تطبيقات التفاضل في العلوم والهندسات
مبرهنات الاشتقاق

التفاضل differential في الرياضيات هو فرع من علم حساب التفاضل والتكامل calculus يُعنى بدراسة معدلات تغير المقادير. ويعرّف التفاضل أيضاً بأنه دراسة الطريقة التي تتغير معها قيمة دالة (تابع) function ما عند تغيير قيمة المتحول المستقل، ويشمل ذلك مسائل القيمة العظمى والصغرى ونشر الدوال بسلاسل تايلور Taylor.

وقد مهدت دراسة الدوال في الكثير من المسائل الاقتصادية والميكانيكية والفيزيائية لنشوء مفهومين أساسيين في التحليل الرياضي هما الاشتقاق derivation والتفاضل.

مفهوم الاشتقاق والتفاضل لدالة

لتكن    دالة معرّفة على مجال  ، ولتكن

إذا كانت النسبة:  موجودة ومحدودة، عندئذ تدعى هذه النهاية بمشتق derivative الدالة  عند  ويرمز إليها بـ

ووفقاً لمفهوم مشتق الدالة  في النقطة  تكون نسبة تزايد الدالة  أو تناقصها إلى تزايد المتغير  عندما  موجودة، وتعطى بالعلاقة (1).

 

في حين يعرّف التفاضل بأنه دالة ذات متغيرين   ويُكتب

ولحساب مشتق الدالة  في نقطة ما  على سبيل المثال؛ يُعطى المتحول  في النقطة  تزايداً  ويُحسب تزايد الدالة  الموافق لتزايد المتحول  المعطى بالعلاقة (2).

 

وتُعطى نسبة تزايد الدالة إلى تزايد المتحول بالعلاقة (3).

ومن ثمَّ تكون العلاقة (4) محققة.

أي إن

مفهوم المشتق من اليمين والمشتق من اليسار

إذا وُجدت نهاية  عندما يسعى  إلى الصفر من اليمين؛ تسمى هذه النهاية المشتق من اليمين للدالة f.

أما إذا وجدت نهاية  عندما يسعى  إلى الصفر من اليسار ؛ فتسمى هذه النهاية المشتق من اليسار للدالة f.

فالدالة:  غير قابلة للاشتقاق في النقطة ؛ وذلك لأن المشتق من اليمين عند النقطة  يساوي 1، والمشتق من اليسار عند النقطة  يساوي  1- ؛ أي إن المشتقين مختلفان.

المفهوم الميكانيكي والفيزيائي للتفاضل

التفاضل هو تغير change صغير في دالة، والناجم عن تغيرات صغيرة في المتغيرات variables المستقلة. وفي حالة دالة لمتغير وحيد (عادة x أو t) فالتفاضل هو المشتق مضروباً بالمقدار dx أو dt.

لتكن الدالة  المنحني الذي تسلكه نقطة مادية بزمن  منذ بدء الحركة؛ عندئذ يمثل المقدار المبيّن بالعلاقة (5) السرعة اللحظية  لنقطة في اللحظة الزمنية ، وهذا يعني أن

 

وبحسب تعريف التفاضل  فإن ، أي إن تفاضل الدالة  مساوٍ إلى المسافة التي قطعتها النقطة لمدة زمنية من  إلى ، وهذا يعني أن النقطة تحركت بسرعة مساوية للسرعة اللحظية لهذه النقطة في اللحظة الزمنية t.

ويمكن تعميم المفهوم الميكانيكي للتفاضل على الفيزياء. فاستخدام حساب التفاضل في الفيزياء أساسي، حيث أن الكثير من المقادير الفيزيائية مرتبطة بمقادير أخرى. فعلى سبيل المثال المسافة تتعلق بالزمن، والسرعة تتعلق بالمسافة والزمن، وضغط الغاز يتعلق بالحجم والحرارة.

كما أن استخدامات التكامل في الفيزياء -وهي كثيرة- لا تتطلب فهم مبدأ التكامل فحسب، بل أيضاً الاستخدام الصحيح لمبدأ التفاضل للتعبير عن العلاقات بين المقادير الفيزيائية، كما في حساب الحقل الكهربائي الناجم عن قضيب مشحون.

مبرهنات الاشتقاق

لتكن الدالة  قابلة للاشتقاق على المجال ، والدالة قابلة للاشتقاق على المجالقابلة للاشتقاق على المجالقابلة للاشتقاق على المجال عندئذ تتحقق المبرهنات الآتية:عندئذ تتحقق المبرهنات الآتية:

 (1الدالة قابلة للاشتقاق على المجالقابلة للاشتقاق على المجال ، ويكون:

2) الدالة قابلة للاشتقاق على المجالقابلة للاشتقاق على المجال ، ويكون:   .

3) الدالة قابلة للاشتقاق على المجالقابلة للاشتقاق على المجال ، ويكون: ، حيث  ثابت حقيقي.ي.

4) الدالة قابلة للاشتقاق على المجالقابلة للاشتقاق على المجالقابلة للاشتقاق على المجال ، ويكون: .

 

المشتقات المتتالية لدالة عددية

لتكن  دالة عددية اشتقاقية على المجالدالة عددية اشتقاقية على المجال  تُسمى الدالة:   المشتق الأول للدالةالمشتق الأول للدالةالمشتق الأول للدالة. وإذا كانتنتاشتقاقية على مجال مفتوحاشتقاقية على مجال مفتوح   تُسمى الدالة:تُسمى الدالة:تُسمى الدالة:

المشتق الثاني للدالةالمشتق الثاني للدالةالمشتق الثاني للدالة .أما إذا كانتأما إذا كانت  اشتقاقية على مجال مفتوح  تُسمى الدالة:تُسمى الدالة: المشتق الثالث للدالة .وهكذا دواليك، تُعرِّفوهكذا دواليك، تُعرِّف المشتقات المتتالية للدالةالمشتقات المتتالية للدالةالمشتقات المتتالية للدالة ، كماما يُسمىيُسمى  المشتق من المرتبة للدالةللدالةللدالة .

توظيفات الاشتقاق

 1- في التقريب الخطي

قد لا يكون بالإمكان حساب قيم دالة  بدقة عند قيمةبدقة عند قيمة من مجموعة تعريفها، لذا يجري حساب تقريب لهذه القيمة باستبدال دالة أخرى بالدالةمن مجموعة تعريفها، لذا يجري حساب تقريب لهذه القيمة باستبدال دالة أخرى بالدالة من مجموعة تعريفها، لذا يجري حساب تقريب لهذه القيمة باستبدال دالة أخرى بالدالةشريطة أن يكون حساب قيمتها عندشريطة أن يكون حساب قيمتها عند أكثر سهولة، فإذا كانت الدالة  اشتقاقية عنداشتقاقية عند ؛ يعطى التقريب الخطي للدالة في جوار النقطة يعطى التقريب الخطي للدالة في جوار النقطة  بالعلاقة (6).

 

أو بالصيغة المكافئة: ، وكلما كانت صغيرة كان هذا التقريب جيداً.صغيرة كان هذا التقريب جيداً.صغيرة كان هذا التقريب جيداً. فلإيجاد قيمة تقريبية للعدد  -على سبيل المثال- يُلاحظ أن

الدالة  اشتقاقية على   ويكون: .

ولما كان  قريباً من   الذي جذره التربيعي معروف، فإن علاقة التقريب الخطي للدالة عند  تعطى بالعلاقة . ويكون  ثم تُختار القيمة  ويُستنتج أن

  2- دراسة اطّراد دالة عددية

إذا كانت الدالة  اشتقاقية على مجال ما؛ عندئذ يتحقق الآتي:

1) الشرط اللازم والكافي لتكون  متزايدة تماماً على مجال هو أن يكون  على هذا المجال، وألا تنعدم على أي مجال جزئي من هذا المجال.

2) الشرط اللازم والكافي لتكون  متناقصة تماماً على مجال هو أن يكون  على هذا المجال، وألا تنعدم على أي مجال جزئي من هذا المجال.

فالدالة  المعرّفة على  وفق  على سبيل المثال هي دالة متزايدة تماماً على  ، وينتج ذلك من كون الدالة  اشتقاقية على  و . موجبة تماماً على  حيث أن مشتقها  موجب تماماً.

 3- مسألة المماس والناظم

إذا كانت الدالة  قابلة للاشتقاق عند النقطة  فإن القيمة العددية للمشتق في تلك النقطة  تمثل في الحقيقة ميل المماس والناظم لمنحني الدالة في النقطة

يمكن عندئذ إيجاد معادلة المماس والناظم لمنحني الدالة عند تلك النقطة اعتماداً على العلاقتين (7) و(8) على الترتيب.

 

أما إذا كانت    فإن المماس في النقطة  يوازي  ومعادلته ، وإذا كانت  فالمماس يوازي  ومعادلته

فلإيجاد معادلة المماس والناظم للقطع المكافئ  الذي معادلته  في النقطة التي فاصلتها ؛ يُلاحظ أن نقطة التماس ، وكذلك ؛ ومن ثمَّ فإن . وحيث إن ميل المماس يساوي الصفر  فإن ميل الناظم غير معرّف ومعادلته هي:

4- توظيف الاشتقاق في إثبات بعض المبرهنات

- تطبيق أول: توظيف تعريف المشتق في برهان أنّ

لتكن الدالّة  المعرّفة على  وفق: ، إن الدالّة  اشتقاقية على  ومشتقّها  إذاً:  و ، وبحسب تعريف العدد المشتق تكون العلاقة (9) محققة.

وإذاً:  

 

- تطبيق ثانٍ: توظيف تعريف المشتق في برهان أنّ :  

لتكن الدالّة  المعرّفة على  وفق: ، حيث إن الدالّة  اشتقاقية على مجموعة تعريفها  ومشتقّها ؛ وبوجه خاص ؛ تكون العلاقة (10) محققة.

 

وإذاً:  

 5- سرعة نقطة متحركة

إذا كانت  نقطة مادية تتحرك على مستقيم وفق القانون  فإن سرعتها في اللحظة  تعطى بالعلاقة (11).

 6- مبرهنة رول Rolle

إذا حققت الدالة  الشروط الثلاثة الآتية:

1)     مستمرة على

2)     قابلة للاشتقاق على

3)    .

عندئذ توجد نقطة واحدة على الأقل  بحيث

تطبيقات التفاضل في العلوم والهندسات

للتفاضل والاشتقاق تطبيقات كثيرة في الرياضيات منها على سبيل المثال لا الحصر: حساب ميل منحني، وإيجاد القيم العظمى والصغرى لدالة، وإيجاد معادلة المماس والناظم لمنحني، وكذلك إيجاد نقاط الانعطاف، ومسائل الاستمثال optimization، والمعدلات المرتبطة related، والتقريبات الخطية، ومبرهنة القيمة الوسطى.

وللتفاضل والاشتقاق تطبيقات كثيرة في العلوم والهندسات منها تحديد معدل تغيرات مقدار نسبة لمقدار آخر، وتحديد الربح والخسارة في الأسواق باستخدام البيان graph، وتحديد المعادلات في الفيزياء والرياضيات، وفي الدراسات الزلزالية لكشف مدى قدر magnitude الهزة الأرضية، وغيرها الكثير.

مراجع للاستزادة - S. S. Bayin, Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, 2018. - R. Courant, Differential and Integral Calculus, John Wiley & Sons, 2011. - H. M. Edwards, Advanced Calculus, Birkhäuser, 2014. - V. V. Uchaikin, Fractional Derivatives for Physicists and Engineers, Springer, 2013.

---

- التصنيف : تقانات الفضاء والفلك - النوع : تقانات الفضاء والفلك - المجلد : المجلد التاسع مشاركة :