التقدير الرياضي
تقدير رياضي
Estimation -
Default Normal Template
نضال شمعون
التوصيف الرياضيّ للتقدير النقطيّ
تهدف إجرائيّة التقدير estimation إلى إيجاد قيمة تقريبيّة يمكن استخدامها لغرض ما حتى لو كانت معطيات الدخل غير كاملة أو غيرَ أكيدة أو غير مستقرّة؛ وبحيث تكون هذه القيمة التقريبيّة أفضل ما يمكن الحصول عليه انطلاقاً من المعطيات المتوفرة.
تتضمّن إجرائيّة التقدير في علم الإحصاء statistics استخدام قيمة لإحصاء دالّة عشوائيّة (تابع عشوائي) ما اعتماداً على عيّنة sample مأخوذة عشوائيّاً من مجتمع إحصائي ما -مثل المتوسِّط العيّنيّ sample mean أو التبايُن العيّني sample variance- وذلك بهدف الحصول على معلوماتٍ تتعلّق بموسط (بارامتر) parameter يُوصِّف هذا المجتمع - مثل قيمة متوسِّطه mean أو تباينه variance - ومن ثمَّ فهي إجرائيّة استدلال إحصائي statistical inference تعتمد مبادئ نظريّة الاعتيان (أخذ العيّنات) sampling theory، حيث تُزوِّد العيّنةُ المؤلَّفة من مجموعةٍ منتهيةٍ من الأمثلة بمعلومات محدودة يمكن إسقاطُها عبر عمليّات رياضيّة لتحديد مجموعة قيم توصِّف - باحتمال كبير- المعلومةَ الناقصة المتعلّقة بالمجتمع الإحصائي الكبير. يُرغب عادةً بأن تكون مجموعة القيم التقديريّة هذه صغيرةً كفايةً لجعل عمليّة التقدير دقيقة من دون أن تصغَّرَ لدرجةِ جعل احتمال ابتعادِها عن القيمة الصحيحة كبيراً.
وكمثال على ذلك تقدير عدد قطع السكاكِر الموجودة في وعاءٍ زجاجي كبير بوساطة عيّنة منتهية من المجتمع الإحصائي الكلّي - المُمثِّل لإجمالي عدد قطع السكاكِر في كامل الوعاء - يمثّلها عدد القطع المرئية عبر زجاج الوعاء، واستنتاج عدد السكاكر الكلّي فيه انطلاقاً من عدد السكاكر المرئيّة.
يُدعى التقدير نقطيّاً point estimate إذا أعطى قيمةً تقديرية وحيدةً للموسط المراد معرفة قيمته. أمّا إذا أعطى مجالاً من القيم فقد غدا مُقدِّراً مجاليّاً (أو مجموعاتيّاً بتعبير أعمّ) interval estimate. في مثال قطع السكاكِر: إذا كان العددُ المرئي خمسينَ قطعة، وكان حجم الوعاء أكبر من الحجم المرئي بعشر مرّات أمكن إعطاءُ قيمة تقديريّة نقطية لعدد السكاكر الكليّ مساوية للقيمة 500؛ تحت فرضيّة تماثل التوزيع الإجمالي لعدد القطع مع توزّع القطع المرئي؛ في حين يُعطى عادةً مجال تقديري تنتمي إليه القيمة الصحيحة باحتمالٍ كبير -عادةً 95% أو 99%- يعتمد على درجة الثقة confidence degree التي تعطى للمُقدِّر؛ وتُسمى لذلك هذه المجالات بـمجالات الثقة confidence intervals، وتظهر كذلك عند إجراء اختبار الفرضيات hypothesis testing. ثمة أيضاً التقدير المتتالي (التتابعي) sequential estimation، حيث يقوم المُجرِّب بتقدير دقة القيمة المُقدَّرة في أثناء عمليّة المعاينة التي تتوقف بمجرد بلوغه درجةً منشودة.
يُوصف المُقدِّر النقطيّ بأنّه غير منحاز unbiased إذا كانت قيمته المتوسطة مساوية للقيمة الحقيقية، وإلاّ كان المُقدِّر منحازاً biased. ويُقال عن المُقدِّر النقطي إنه متماسك (مُتَّسِق) consistent إذا ازدادت دقّته كلّما كبر حجم العينة، كما يقال عنه بأنه الأكثر فعالية most efficient إذا كان من بين المُقدّرات المتماسكة وغير المنحازة مقدّر ذا تباين variance أصغري؛ ومن ثم ذا تغيّر قليل من عيّنة إلى عيّنة أخرى. وكمثال على ذلك يُعَدّ المتوسط العيني أكثرَ فعالية من الوسط العيّني sample median في تقدير متوسّط المجتمع الإحصائي عندما يتبع الأخير التوزيعَ الطبيعي normal distribution.
ثمة طرائق عديدة لحساب المُقدّرات، منها طريقة المعقوليّة (الأرجحية) العظمى maximum likelihood method (وتعود إلى العالِم البريطاني فيشر Fisher في القرن العشرين) التي تستخدم الحسابَ التفاضليّ من أجل حساب القيمة العظمى لتابع الاحتماليّة الموافق لعدد من موسطات العيّنة. أما طريقة العزوم moments method فتُطابِق بين قيم العزوم العينية sample moments -وهي توابع توصِّف بعض الموسطات- مع قيم عزوم المجتمع الإحصائي الموافقة، فيجري الحصول على معادلات يسمح حلّها بالوصول إلى القيم التقديريّة المنشودة للموسطات. ثمة أيضاً الطريقة البايزية Bayesian method (نسبة إلى عالِم الرياضيات البريطاني بايز Bayes في القرن الثامن عشر) التي تختلف عن الطرائق التقليديّة بإدخالها لتابع تكرار من أجل الموسط المُقدَّر، وتتمتع – على الرغم من عدم توفر معلومات كافية عادةً عن التوزع الإحصائي الإجمالي- بفائدة إمكانية ضبط إجرائية التقدير بسهولة عند الحصول على معلومات إضافية.
التوصيف الرياضيّ للتقدير النقطيّ
لتكن 
عيّنة عشوائيّة من المرتبة n لمتحوِّل عشوائي X، توزيعه الاحتمالي أحد التوزيعات الاحتماليّة 
حيث 
فضاء الموسطات المجهولة، وليكن 
تابعاً (دالة) حقيقياً ما؛ فتكون المسألة الإحصائية هي إيجاد قيمة تقريبيّة عددية للعدد 
عندما يكون 
هو توزيع X. من أجل ذلك يجري البحث عن تابِع المُقدِّر الإحصائي 
بحيث تُعطى عند ملاحظة 
للعيّنة 
القيمةُ التقديريّة 
للعدد 
.
يمكن توليد القيم التقديريّة مثلاً بإسقاط نتائج المسوحات الإحصائية surveys واستطلاعات الرأي polls على المجتمع السكّاني الإجمالي، وذلك في مختلف المجالات السياسيّة والاجتماعيّة.
تصف نظرية التقريب الرياضي mathematical approximation عمليّةَ إيجاد حدودٍ تقديريّة عليا ودنيا للمقادير التي لا يمكن حسابها بدقّة، وإجرائيّة إيجاد دالاّت قريبة في شكلها من دالاّت معقّدة معطاة؛ ولكنها أكثرُ بساطة، فتزوِّدَ بذلك دالاّت تقديريّة عمليّة ومفيدة. تهتم نظريّة التقدير في الإحصاء عموماً بإيجاد مُقدِّراتٍ ذات خواصّ منشودة. يُستخدم هذا الإجراء أيضاً في علوم الهندسة، فمثلاً يستعمل في معالجة الإشارة signal processing من أجل تقريب إشارة غير ملحوظةٍ انطلاقاً من إشارة مرئيّة تحتوي على ضجيج. تُطبَّق كذلك عمليّة التنبّؤ prediction من أجل تقدير المقادير المُستقبليّة، في ظواهر المناخ climate مثلاً. تُعرَف مسألة التقدير في المسائل الفيزيائيّة التي تتضمّن نمطياً عدداً من التخمينات والتكهّنات حول مقادير يبدو حسابها محالاً اعتماداً على المعطيات المتوافرة بـمسألة فيرمي Fermi problem.
لإجرائيّة التقدير تطبيقات مهمّة كذلك في مجال الأعمال والاقتصاد؛ لأن عدد المتحولات اللازمة لتوصيف الفعاليات التي قد تحصل كبير جداً. وعلى نحو خاص، ثمة أهميّة كبيرة لعمليّة التقدير في تخطيط المشاريع project planning بسبب ضرورة وضع خطط حول تقسيم العمل وحول كميات المواد الخام الضرورية لمراحل المشروع، وإجراء عملية تقدير التكلفة من أجل كل خطة ممكنة بهدف اختيار الأكثر ربحاً.
|
مراجع للاستزادة: - R. V. Hogg et al., Introduction to Mathematical Statistics, Pearson, 2019. - J. L. Devore et al., Modern Mathematical Statistics with Applications, Springer, 2021. - S. Lauritzen, Fundamentals of Mathematical Statistics, CRC Press, 2023. - E. L. Lehmann, G. Casella, Theory of Point Estimation, Springer, 2011. |
- التصنيف : تقانات الفضاء والفلك - النوع : تقانات الفضاء والفلك - المجلد : المجلد التاسع مشاركة :
المجلدات الصادرة عن موسوعة العلوم والتقانات
