ترجحات وترجحات كموميه

Fluctuation&quantum fluctuations -

 الترجحات والترجحات الكمومية

الترجحات والترجحات الكمومية

الترجحات في الفيزياء الإحصائية	توابع الترابط correlation functions
الترجحات في بعض المقادير الترمودينامية	نظرية الترجحات والتبدد fluctuation- dissipation theorem
الترجحات في عدد الجزيئات والنقطة الحرجة	الترجحات في الفيزياء الكمومية

الترجّحات fluctuations هي تغيرات قيمة مقدار معين حول قيمته الوسطية، وهذا يفترض إعادة إجراء قياسه مرات عديدة، وأن تكون تغيرات المقدار عشوائية. ولعل درجة الحرارة وتغيراتها أبرز مثال على ذلك.

الترجحات في الفيزياء الإحصائية

تهتم الفيزياء الإحصائية statistical physics أو الترموديناميك الإحصائي statistical thermodynamics بحساب متوسطات المقادير الفيزيائية المختلفة التي تقترب من القيم الحقيقية، وتزداد دقة قربها من القيم الحقيقية كلما ازدادت عدد القياسات التجريبية على الجملة في حالة التوازن.

يعرَّف الترجح أو التشتت variance في مقدار ما بأنه (المعادلة 1):

يسمى الانحراف المعياري، ويعني الرمز القيمة الوسطية لـ ، ومثل ذلك لـ. يمثل هذا الانحراف حصول ترجحات حول القيم الوسطية، ومع أن هذه الترجحات صغيرة فهي تؤدي دوراً مهماً لعدة أسباب:

1- لدى دراسة الترجحات يمكن استعمال علاقات رياضية تساعد على حسابها تحت شروط مختلفة، وقد تكون هذه الترجحات مهملة في حالة الجمل ذات الطور الواحد single phase، لكنها تأخذ أهمية كبيرة عند دراسة الجمل ذات الأطوار المختلفة، وخصوصاً في جوار النقاط الحرجة critical points، حيث يتم الحصول على درجة عالية من الترابط المكاني spatial correlation بين جزيئات الجملة، والذي يؤدي إلى حدوث ما يسمى بالغباش الحرج critical opalescence.

2- تساعد دراسة الترجحات على فهم ظواهر طبيعية عديدة تصنف تحت مسمى الحركة البراونية Brownian motion، إذ تربط خواص مثل حركة السوائل ومعامل التغلغل والانتشار diffusion coefficient بدرجة الحرارة.

3- تتيح دراسة الترجحات بوصفها تابعاً للزمن تطوير مفهوم توابع الترابط correlation functions التي تؤدي دوراً مهماً في ربط خواص التبدد dissipation في الجمل الفيزيائية، مثل لزوجة السائل أو مقاومة التيار في ناقل، بخواص الجملة الأخرى في حالة التوازن. ويعطي هذا الربط بين تحول غير عكوس (مقاومة أو تبدد) بحالة التوازن نظرية الترجحات والتبدد fluctuation- dissipation theorem. وإن دراسة التابعية الزمنية لتوابع الترابط تتعلق تعلقاً وثيقاً بالخواص الديناميكية للجمل الفيزيائية مثل الناقلية الكهربائية.

الترجحات في بعض المقادير الترمودينامية

عندما تكون جملة ما على تماس مع خزان حراري reservoir بحيث يسمح بتبادل للحرارة فقط -أي ما يعرف باسم طاقم قانوني canonical ensemble في الميكانيك الإحصائي- يحسب الترجح في طاقة الجملة بالعلاقة (2):

والترجح النسبي بالعلاقة (3):

حيث T درجة الحرارة و وk ثابت بولتزمان Boltzmann و الحرارة النوعية مع ثبات الحجم.

يلاحظ أن الترجح النسبي صغير في حالة جملة تحتوي عدد أفوكادرو Avogadro من الجزيئات، إذ تكون العلاقة (4):

وبالمثل يمكن أن يُحسب الترجح في الضغط في العلاقة (5):

كذلك يمكن كتابة عدد من علاقات الترجحات كما يلي:

لدرجة الحرارة العلاقة (6):

للحجم العلاقة (7):

للإنتروبية العلاقة (8):

للضغط العلاقة (9):

حيث و هي السعة الحرارية بثبات الحجم وبثبات الضغط على الترتيب، و الانضغاطية بثبات درجة الحرارة isothermal compressibility المعرفة بالعلاقة (10):

الترجحات في عدد الجزيئات والنقطة الحرجة:

ومن أجل جملة على تماس مع خزان حراري يسمح بتبادل الحرارة والجزيئات مع الخزان -أي ما يعرف باسم الطاقم القانوني الكبير grand canonical ensemble في الميكانيك الإحصائي- يحسب الترجح في عدد الجزيئات N كما في العلاقات (11 و12 و13):

حيث الكمون الكيميائي. يلاحظ أن الترجح يصبح لانهائياً عند النقطة الحرجة، إذ تكون عند النقطة الحرجة وتكون الانضغاطية لانهائية، ومن ثم تكون الترجحات في هذه الحالة كبيرة جداً.

توابع الترابط correlation functions

إذا كانت الجملة مكونة من N جزيئاً يشغل الحجم V فإن العلاقة (14) تربط الترجحات بتوابع الترابط:

حيث g(r)هو تابع التوزع القطري radial distribution function، وC(r) هو تابع الترابط الزوجي pair correlation function المعرف بالعلاقة (15):

فإذا اختيرت جزيئة ما مبدأ للإحداثيات يعرف تابع التوزع القطريg(r) بأنه احتمال وجود جزيئة ثانية على بعد r من المبدأ. أما تابع الترابط C(r) فيساوي الصفر في حالة ، أي لا يوجد أي ترابط (أو تأثير بين الجزيئات في الحالة المثالية).

يمكن بعد معرفة توابع الترابط حسـاب مقـادير ترموديناميكية كثيرة للجمل المدروسة مثل معادلة الحالة وغيرها. ومن معرفة تابعية توابع الترابط للزمن يمكن أن تدرس الخواص الديناميكية للجمل الفيزيائية.

نظرية الترجحات والتبدد fluctuation- dissipation theorem

تربط هذه النظرية بين خواص الجملة في وضع التوازن وبين الترجحات الحرارية للجملة في حالة التوازن. وبعبارة أخرى لكلِّ عملية تبدد للطاقة وتحولها إلى طاقة حرارية هناك عملية معاكسة تتعلق بالترجحات الحرارية. إذ تخضع استجابة الجملة الترموديناميكية -في حالة التوازن- لقوة صغيرة مطبقة عليها مماثلة لاستجابة الجملة في حالة الترجحات. على سبيل المثال:

- الحركة البراونية ومقاومة الهواء drag، فإذا تحرك جسم في مائع ما فإن هذا الجسم سيتعرض لقوة مقاومة، تبدد هذه القوة الطاقة الحركية وتحولها إلى حرارة. الترجحات المقابلة لقوة مقاومة الهواء هي الحركة البراونية التي تحول الحرارة إلى طاقة حركية.

- المقاومة الكهربائية وضجيج جونسون Johnson noise، إذا مرّ تيار لمدة محدودة، في دارة تحتوي على مقاومة فسيتناقص التيار حتى ينعدم بسبب المقاومة، أي إن المقاومة تحول الطاقة الكهربائية إلى حرارة. الترجحات المقابلة لهذه الحالة هي ضجيج جونسون، ففي دارة ما لا يأخذ التيار قيمة صفر بسبب الترجحات الحرارية للإلكترونات والذرات داخل الناقل، ويظهر على شكل ضجيج في جميع الدارات الإلكترونية.

تعطي نظرية الترجحات والتبدد طريقة لحساب استجابة الجملة (مقاومة هواء أو مقاومة كهربائية أو غيرها) في حالة اضطراب ما مطبق عليها يزيحها بشكل بسيط عن وضع التوازن بدلالة الترجحات الحرارية للجملة في وضع التوازن. وبعبارة أخرى عملية التبدد تكافئ فيزيائياً الترجحات في حالة التوازن.

الترجحات في الفيزياء الكمومية

تضيف الترجحات في ميكانيك الكم علاقة بين الترجحات لمقدارين مرتبطين وفقه، إذ ترتبط الترجحات الكمومية quantum fluctuations بمبدأ الشك uncertainty principle، ويعرّف بوجه عام كما يلي:

إذا كان هناك مؤثران غير تبادليين، أي يحققان العلاقة (16):

حيث يقابل كل مؤثر مقداراً فيزيائياً قابلاً للرصد، يمكن كتابة علاقة عامة للارتياب كما في العلاقة (17):

حيث هي الانحراف المعياري، ومربعها يمثل التشتت كما ورد سابقاً. إن أحد أشهر علاقات الارتياب هي علاقة هايزنبرغ Heisenberg التي تعطي الارتياب في الموضع ، والارتياب في الاندفاع بدءاً من العلاقة (18):

والتي تكتب في أحيان كثيرة كما في العلاقة (19):

ويمكن الاستفادة من العلاقة (19) لتعطي تطور مرصود فيزيائي Q مع الزمن كما في العلاقة (20):

كما يمكن كتابة علاقة ارتياب بين الطاقة والزمن (العلاقة 21):

حيث يعرف بالعلاقة (22):

أي تمثل مقدار الزمن الذي تحتاج إليه القيمة المتوقعة لـ حتى تتغير بمقدار انحراف معياري واحد.ويُلاحظ أنه إذا كان المرصود يتغير تغيراً سريعاً مع الزمن فإن الارتياب في الطاقة سيكون كبيراً.

ترتبط الترجحات في ميكانيك الكم بمفاهيم كثيرة في النظريات الكمومية، منها في الكونيات والجسيمات الأولية مفهوم الترجحات في الخلاء، أي هناك دائماً احتمال لخلق الجسيمات وفنائها. وفي الضوء الكمومي مفاهيم مثل مبدأ الشك الأصغري minimal uncertainty الذي يرتبط بمفهوم الحالات المترابطة coherent states والحالات المعتصرة squeezed states للفوتونات.

وتخمّن بعض النظريات أن الترجحات التي حدثت في بداية تشكل الكون هي سبب توزع المجرات كما تُشاهد في الكون اليوم.

مصطفى صائم الدهر

مراجع للاستزادة: - ماندل، الفيزياء الإحصائية، ترجمة فوزي عوض وآخرين، جامعة دمشق، 1982. - مصطفى صائم الدهر، الفيزياء الإحصائية، جامعة دمشق،2012 . - G. de Chiara, Fluctuation Relations and Nonequilibrium Thermodynamics in Classical and Quantum Systems, Mdpi AG 2020. - P. W. Milonni, An Introduction to Quantum Optics and Quantum Fluctuations, OUP Oxford 2019. - H. Scammell, Interplay of Quantum and Statistical Fluctuations in Critical Quantum Matter, Springer 2019. - R. K. Pathria, P.D. Beale, Statistical Mechanics, Elsevier, 2011.

---

- التصنيف : الكيمياء والفيزياء - النوع : الكيمياء والفيزياء - المجلد : المجلد السابع مشاركة :