برهان (نظريه)

Proof theory -

البرهان (نظريّة ـ)

خالد حلاوة

مهام نظرية البرهان

نظريّة البرهان في المنطق من المرتبة الأولى

نظريّة البرهان proof theory فرع من الرياضيّات يُعنى بدراسة مفاهيم البرهان الرياضي وقابلية الإثبات رياضياً. وتُعرّف أيضاً بأنها فرع من الرياضيات يهتم بدراسة الخصائص التوافقية combinatorial properties للبراهين الصورية formal في المنطق. ولما كان للبرهان دور مركزي في الرياضيّات، لما له من أهميّة في إثبات صحّة قضيّة رياضيّة ما أو خطئها؛ يمكن القول إن نظريّة البرهان هي - بشكل أو بآخر - دراسة تأسيس كلّ الرياضيّات.

ثمة وجهتا نظر حول ما يُمكن أن يعنيه البرهان الرياضيّ. الأولى أنّ البرهان هو اصطلاح اجتماعيّ social يمكّن الرياضيّين من إقناع الآخرين بصحّة المبرهنات. لكن يصعب مع هذا المعنى الاجتماعي تحديد ما يمثّله البرهان على وجه الدقّة، ومتى يكون مقبولاً؟ كما تتغيّر معايير قبول البراهين تبعاً للمجتمعات والأزمنة، وهذا ما يسمّى بالبرهان اللاّصوري (non-formal (informal أو الاجتماعي. أمّا وجهة النظر الثانيّة فتقول إنّ البرهان هو سلسلة من الرموز التي تحقّق مجموعة محدّدة من القواعد التي تُثبت مبرهنة مُعطاة بدورها بوساطة تلك الرموز، وهذا هو البرهان الصوري الذي تُعنى به نظريّة البرهان من حيث بنيته وشكله.

مهام نظرية البرهان

يمكن تلخيص مهام نظريّة البرهان بالنقاط الآتية:

• صياغة المنظومات المنطقية ومجموعات الموضوعات الملائمة للبراهين الرياضيّة.
• دراسة البنية العامّة للبراهين الصورية وإيجاد أشكال نظاميّة لها، ويسمّى ذلك بنظريّة البرهان البنيويّة structural.
• دراسة أي نوع من المعلومات الإضافيّة التي يمكن الحصول عليها إضافةً إلى المبرهنات.
• دراسة إمكانيّة توليد البراهين باستخدام الحاسوب، ويندرج ذلك في إطار مجالات الاهتمام الحديثة لهذه النظريّة.

  ومن المنظومات المنطقيّة التي يمكن دراستها في هذا الإطار: منطق القضايا propositional logic، والمنطق من المرتبة الأولى first-order logic، والمنطق من المرتبة الثانية second-order logic، ويُعدّ المنطق من المرتبة الأولى الأكثر شيوعاً.

  يتعامل منطق القضايا مع صيغ أو عبارات formulas (sentences) تقبل إحدى القيمتين المنطقيّتين: صح“” أو خطأ ““. واللّبنات اللغويّة الأساسيّة في هذا المنطق هي القضايا الأوّليّة التي يمكن الربط بينها بروابط لتعطي قضايا جديدة.

  أمّا فيما يخص المنطق من المرتبة الثانية، فهو تعميم للمنطق من المرتبة الأولى، ويعبّر بطريقة سهلة عن بعض القضايا التي تتعامل مع مجموعات المجموعات ومجموعات التوابع على سبيل المثال.

  فالعبارة «كلّ مجموعة جزئيّة غير خالية من مجموعة الأعداد الطبيعيّة N فيها أصغر عنصر»، يُمكن كتابتها بالشكل

  لكن هذه الصياغة ليست من المنطق من المرتبة الأولى، نظراً لاستخدام مكمّم الشمولمع المجموعات.

  نظريّة البرهان في المنطق من المرتبة الأولى

  يتكوّن هذا المنطق من ثلاثة أشياء هي:

• المفردات terms: الأشياء المطلوب إثبات خواصّ لها، كعناصر الزمرة في الجبر، والأعداد الحقيقيّة في التحليل.
• العبارات: وتمثّل خواصّ الأشياء المدروسة، كالقول إنّ عنصرين من زمرة يتبادلان فيما بينهما، أو إنّ التابع مستمرّ.
• البراهين: وتسمح بالبتّ بصحّة عبارة ما، انطلاقاً من شروط معينة، ثم الانتقال من هذه الشروط، وفق سلسلة من العبارات اعتماداً على قواعد معرّفة بدقّة، وصولاً إلى النتيجة المرجوّة. وتكون صحّة العبارة الأخيرة منوطة بصحّة الشروط البدائية. ويجدر التمييز بين مستويين: صحّة البراهين نفسها، وصحّة عبارة ما.

  1- العبارات

  يُقصد باللغة language هنا مجموعة من الرموز symbols التي تدلّ على الثوابت constants والتوابع functions والعلاقات relations. أمّا مجموعة مفردات هذه اللغة فهي أصغر مجموعة من اللغة تحوي الثوابت والمتحوّلات، وهي لا متغيّرة بتطبيق التوابع على مفرداتها. يمكن تسمية مفردة مغلقة كلّ مفردة لا تحوي أيّ متحوّل.

  يُطلق على العبارات التي يجري الحصول عليها بتطبيق العلاقات بعدّة متحوّلات في اللغة على مفرداتها، العبارات (الصيغ) الذرّيّة atomic formulas.

  تُشكّل العبارات انطلاقاً من العبارات الذريّة، باستخدام الروابط connectives والمكمّمات quantifiers الآتية:

• الرابط الأحادي : ويُقرأ نفي.
• الروابط الثنائيّة: لـ «وَ» و لـ «أو» و للاقتضاء implication.
• المكمّمات: ويُقرأ «يوجد» و ويُقرأ «أيّاً كان».

  2- البراهين في الاستنتاج الطبيعي

  يعتمد الاستنتاج الطبيعي natural deduction على مبدأ تناظر منهجي: لكلّ رابط ثنائيّة من القواعد، واحدة للإدخال والأخرى للحذف.

  يُطلق اسم سلسلة على كلّ ثنائيّة من الشكل حيث مجموعة منتهية من العبارات تمثّل الشروط، و هي عبارة تسمى نتيجة السلسلة.

  توصف سلسلة بأنّها قابلة للبرهان، إذا كان بالإمكان الحصول عليها بتطبيق عدد منتهٍ من قواعد البرهان.

  3- قواعد البرهان

  تتألّف القاعدة من عدد من المقدّمات، وهي سلاسل قد يكون عددها معدوماً، ومن نتيجة - هي أيضاً سلسلة - ومن خط فاصل بينهما، بحيث تكون المقدّمات في الأعلى والنتيجة في الأسفل.

  مثال: . تتألّف هذه القاعدة من مقدّمتين و ونتيجة هي . أمّا فهو الاسم المختصر للقاعدة.

  يُمكن استخدام القاعدة من الأعلى إلى الأسفل بالقول: إذا ُبرهن على المقدّمات أمكن باستخدام هذه القاعدة إثبات النتيجة. أو يمكن استخدامها بالعكس - من الأسفل إلى الأعلى - بالقول: يمكن برهان النتيجة ببرهان المقدّمات في هذه القاعدة.

  ترتبط بكلّ رمز منطقيّ قاعدتان: الأولى لإدخال الرمز، وتسمح ببرهان عبارة يكون فيها هذا الرمز رئيسيّاً، والثانية لحذفه، وتسمح باستخدام عبارة يكون فيها هذا الرمز رئيسيّاً.

  وفيما يأتي قواعد البرهان في المنطق من المرتبة الأولى:

• الموضوعة axiom: ولها شكل مخفّف .
• إدخال الاقتضاء: .
• حذفه: .
• إدخال الرمز : .
• حذفه: .
• إدخال الرمز : .
• حذفه: .
• إدخال النفي: .

  حيث يُشير الرمز إلى القضيّة الخاطئة من دون أيّ شروط.

• حذفه: .
• التناقض falsity: .
• إدخال مكمّم الشمول: .
• حذفه: .
• إدخال مكمّم الوجود: .
• حذفه: .
• إدخال المساواة: .
• حذفها: .

  4- النظريّة

  تُسمّى نظريّة كلّ مجموعة العبارات المغلقة (ليس فيها متحوّلات حرّة). وتسمّى عناصر هذه المجموعة موضوعات.

  يُقال عن نظريّة إنّها تامّة complete إذا كانت متساوقة consistent، أي لا تؤدّي إلى تناقض، وإذا تحقق بالنسبة إلى كلّ عبارة مغلقة ، إمّا أو .

  وتجدر الإشارة إلى توفر برامج حاسوبيّة مثل AproS يمكن أن تساعد على إيجاد بعض البراهين، وهذا من شأنه تسريع عجلة التطوّر في مجال الرياضيّات والمنطق.

  مراجع للاستزادة: - S. C. Kleene, Mathematical Logic, Dover Books, 2002. - U. Kohlenbach, Applied Proof Theory: Proof Interpretations and their Use in Mathematics, Springer, 2008. - S. Negri, J. von Plato, Structural Proof Theory, Cambridge University Press, 2001.

---

- التصنيف : تقانات الفضاء والفلك - النوع : تقانات الفضاء والفلك - المجلد : المجلد الرابع مشاركة :