بيسل (توابع)

Bessel Functions -

بيسل (توابع -)

توابع بيسل من النوع الأوّل	توابع ريكاتي – بيسل
توابع بيسل من النوع الثاني	الصيغ المقاربة لتوابع بيسل
توابع بيسل المعدّلة	خصائص توابع بيسل
توابع بيسل الكرويّة	تطبيقات توابع بيسل في العلوم الهندسيّة

 نبيه عودة

تُعرّف (دالّات) توابع بيسل Bessel functions -ويُرمز لها ()- بأنّها حلول معادلة بيسل التفاضليّة المبيَّنة بالعلاقة (1).

حيث موسط parameter حقيقي أو عقدي يحدّد مرتبة توابع بيسل. تُعدُّ الحالة التي تكون فيها هذه المرتبة عدداً صحيحاً أكثر الحالات الخاصّة الشائعة الاستخدام. كذلك فإنّه من الملاحظ أنّ قيمتي الموسط و تنتجان المعادلة التفاضليّة ذاتها.

تجدر الإشارة إلى أن عالم الرياضيات دانييل برنولي Daniel Bernoulli كان أوّل من عرّف هذا النمط من التوابع، ومن ثمّ قام فريدريش فيلهلم بيسل Friedrich Wilhelm Bessel بتعميم هذا التعريف.

توابع بيسل من النوع الأوّل

تُعرّف توابع بيسل من النوع الأوّل بأنّها حلول معادلة بيسل التفاضليّة التي تكون قيمها منتهية عند النقطة وعندما يأخذ الموسط قيماً صحيحةً موجبة، أي، وتسعى قيمها إلى اللانهاية عند النقطة عندما يأخذ الموسط قيماً سالبة غير صحيحة.

أ- صياغة توابع بيسل باستخدام منشور تايلور Taylor:

يمكن تعريف توابع بيسل على شكل متسلسلات صحيحة بالصيغة المبيّنة بالعلاقة (2).

حيث هو تابع غاما gamma function، والمعرّف بالعلاقة (3).

من أجل .

يبيّن الشكل (1) رسماً بيانياً لثلاثة توابع بيسل من النوع الأول.

الشكل (1) توابع بيسل من النوع الأوّل:J0 وJ1 وJ2.

يُلاحظ من العلاقة (2) أنّ مشتق التابع هو . بوجهٍ عام تكون العلاقة (4) محققة.

كما يُلاحظ أيضاً أنه عندما يكون الموسط α عدداً غير صحيح، أيفإنّ تابعي بيسل
و يمثّلان حلين مستقلين خطياً للمعادلة التفاضليّة ، وفي حال كون الموسط، يرتبط هذان الحلان بالعلاقة (5).

وهذا يعني أنّ الحلّين و ليسا مستقليّن خطياً. في هذه الحالة، يمكن اختيار حلٍ ثانٍ مستقلٍ خطياً عن من بين توابع بيسل من النوع الثاني.

ب - صياغة توابع بيسل باستخدام التكاملات المحدودة:

يُبرهن على أنّه يمكن التعبير عن توابع بيسل من النوع الأوّل بالصِيَغ التكامليّة الآتية:

• حالة :
• حالة:  
• حالة و:

  توابع بيسل من النوع الثاني

  هي حلولٌ لمعادلة بيسل التفاضليّة ، لها نقطة شاذّة عند المبدأ . يُرمز لمجموعة هذه التوابع بالكتابة. تسمّى هذه التوابع في بعض الأحيان توابع نيومان Neumann functions ويُرمز لها بالكتابة . يبيّن الشكل (2) رسماً بيانياً لثلاثة توابع بيسل من الدرجة الثانية.

  الشكل (2) توابع بيسل من النوع الثاني: Y0 وY1 وY2.

   

  ترتبط توابع بيسل من النوع الثاني بتوابع بيسل من النوع الأوّل في حالة موسط غير صحيح بالعلاقة (9).

  وإذا كانت قيم الموسط صحيحة يمكن تعريف التوابع من حساب النهاية المبيّن في العلاقة (10).

  التي تقود باستخدام الصيغة التكامليّة إلى النتيجة المبيّنة في العلاقة (11).

  يشكّل التابعان في هذه الحالة أساساً لفضاء حلول المعادلة التفاضليّة . ترتبط توابع بيسل من النوع الثاني و - كما في حالة توابع بيسل من النوع الأوّل- بالعلاقة (12).

  توابع هانكل Hankel

  يمكن تشكيل أساس من الحلول لمعادلة بيسل التفاضليّة (Bα) بوساطة التركيبين الخطيّين المبيّنين بالعلاقتين (13) و (14).

  تسمى التوابع في العلاقتين (13) و(14) توابع هانكل، (أو توابع بيسل من النوع الثالث). يمثِّل التابعان و حلين مستقلين خطياً لمعادلة بيسل التفاضليّة .

  ومن ثمَّ يمكن صياغة توابع هانكل بالشكل المبيّن في العلاقة (15).

  وإذا كانت قيم الموسط صحيحة يمكن تعيين صيغة توابع هانكل بحساب نهاية وعندما تسعى إلى .

  تبقى العلاقتان (16) و(17) صحيحتين أياً كانت قيمة الموسط α صحيحة أو غير صحيحة.

  يمكن تمثيل توابع هانكل بصيغة تكامليّة بالعلاقتين (18) و(19).

  توابع بيسل المعدّلة

  بإجراء تغيير المتحوّل من x إلى ix (حيث ) تؤول معادلة بيسل التفاضليّة إلى معادلة بيسل التفاضليّة المعدّلة المعطاة بالعلاقة (20).

  لهذه المعادلة حلاّن مستقلّان خطياً و يرتبطان بتوابع بيسل بالعلاقتين (21) و(22).

تسمى التوابع و بتوابع بيسل المُعَدَّلة modified Bessel functions، وهي توابع رتيبة monotone على النقيض من الطبيعة الاهتزازيّة لتوابع بيسل العاديّة. إذ تزداد التوابع أسيّاً وتتناقص التوابع أسيّاً. تسعى التوابع -كما التوابع - إلى الصفر عندما تسعى قيمة x إلى الصفر في حالة موسط ، وتأخذ قيماً منتهية في الحالة.

يبيّن الشكلان (3) و(4) رسماً بيانياً لثلاثة توابع بيسل المعدلة وثلاثة توابع على الترتيب.

الشكل (3) توابع بيسل المعدلة I0 و1I وI2.

الشكل (4) توابع بيسل المعدلة K0 وK1 وK2.

 

توابع بيسل الكرويّة

توابع بيسل الكروية spherical Bessel functions هي حلولٌ للمعادلة التفاضليّة العاديّة المعطاة بالعلاقة (23).

تنتج هذه المعادلة من حل معادلة هلمهولتز Helmholtz في الإحداثيات الكرويّة بطريقة فصل المتحولات. تُسمى حلول هذه المعادلة توابع بيسل الكروية، ويُرمز لها بالكتابة jn وyn، وترتبط مع توابع بيسل العاديّة Jn
وYn بالعلاقتين (24) و (25).

يُلاحظ هنا أنّ حلاّن مستقلان خطياً، ويشكلان أساساً لفضاء حلول المعادلة التفاضليّة المعطاة بالعلاقة (23). من جهةٍ ثانية يمكن التعبير عن توابع بيسل الكروية بالصيغ التفاضليّة المبيّنة بالعلاقتين (26) و(27).

يبيِّن الشكلان (5) و(6) رسماً بيانياً لثلاثة توابع بيسل الكروية Jn و Yn على الترتيب.

الشكل (5) توابع بيسل الكروية: j0وj1 وj2 .

الشكل (6) توابع بيسل الكروية: y0وy1 وy2.

 

توابع ريكاتي – بيسل Riccati–Bessel functions

تختلف توابع ريكاتي – بيسل قليلاً عن توابع بيسل الكروية. تعرّف هذه التوابع بالعلاقات (28) و(29) و(30) و(31).

وهي حلولٌ للمعادلة التفاضليّة المبيّنة بالعلاقة (32).

الصيغ المقاربة لتوابع بيسل

لتوابع بيسل صيغٌ مقاربة asymptotic forms إذا كانت للموسط قيم موجبة. فعندما يكون تُعطى توابع بيسل بالعلاقتين (33) و(34).

حيث هو ثابت أولر Euler .

وعندما يتحقق تُعطى التوابع بالعلاقتين (35) و (36).

خصائص توابع بيسل

تشكّل توابع بيسل من النوع الأوّل أمثال متسلسلة لوران Laurent series للتابع المولّد g(x,t) المعطى بالعلاقة (37).

ثمة علاقة مهمة أخرى تحققها توابع بيسل تسمّى منشور جاكوبي-آنجر Jacobi-Anger expansion وتُعطى بالعلاقة (38).

باشتقاق التابع المولّد g(x,t) يجري الحصول على العلاقة (39).

ومن ثمَّ تتحقق العلاقة (40).

ينجم عن مطابقة أمثال tn في طرفي العلاقة (40) العلاقة (41).

والتي تسمح بتعيين توابع بيسل من النوع الأول انطلاقاً من تابعي بيسل J0 وJ1. تنسحب علاقات التدرج السابقة لتشمل توابع بيسل المعدّلة، والحصول على العلاقة (42).

 

بوجهٍ عام، تحقق التوابع و و، و علاقات تدرج من الشكل المبيّن بالعلاقتين (43) و (44).

وكذلك، تحقق توابع بيسل المعدّلة Iα و Kα علاقات شبيهة، وهي مبيّنة بالعلاقة (45).

كما تحقق التوابع Iα و Kα علاقات تدرج من الشكل المبيّن بالعلاقة (46).

تطبيقات توابع بيسل في العلوم الهندسيّة

تظهر معادلة بيسل التفاضلية عند البحث عن حلولٍ منفصلة لمعادلة لابلاس Laplace ومعادلة هلمهولتز في الإحداثيات الأسطوانية أو الكروية. لذا فإن لتوابع بيسل أهمية خاصة في حل العديد من مسائل انتشار الأمواج والكمونات الساكنة. فعند معالجة المسائل في الإحداثيات الأسطوانية يمكن الحصول على توابع بيسل ذات المرتبة الصحيحة ؛ في حين يجري الحصول في الإحداثيات الكرويّة على توابع بيسل ذات المرتبة نصف الصحيحة half-integer .
فعلى سبيل المثال، تظهر توابع بيسل في معالجة المسائل الآتية:

• الأمواج الكهرطيسيّة في أنبوب أسطواني.
• انتقال الحرارة في جسم أسطواني.
• مسائل الانتشار في الشبكات

  كما أنّ لتوابع بيسل خواص مفيدة في مجالات أخرى مثل معالجة الإشارة (مرشح بيسل Bessel filter) والصوتيات acoustics، والفيزياء النووية.

  مراجع للاستزادة - S. S. Bayin, Essentials of Mathematical Methods in Science and Engineering, John Wiley & Sons, 2008. - B. G. Korenev, Bessel Functions and Their Applications, Taylor & Francis, 2002. - G. N. Watson, A Treatise on the Theory of Bessel Functions, Cambridge University Press, 1995.

---

- التصنيف : تقانات الفضاء والفلك - النوع : تقانات الفضاء والفلك - المجلد : المجلد السادس مشاركة :