برهان رياضي

Mathematical reasoning -

البرهان الرياضي

خالد حلاوة

الروابط المنطقيّة

المكمّمات 

أنواع البرهان 

البرهان الرياضي (mathematical proof (reasoningهو إثبات صحّة قضيّة ما، انطلاقاً من افتراض صحّة قضايا (مسلّمات أو نظريّات) أخرى، وذلك باتّباع قواعد استنتاج صحيحة.

القضيّة case هي «عبارة» تأخذ إحدى القيمتين أي صحيحة true أو أي خاطئة false. أما المسلّمة axiom فهي قضيّة تُقبل صحّتها، وهي عادةً لا يمكن إثباتها انطلاقاً من غيرها. في حين أن النظريّة theorem هي اقتضاء implication أُثبتت صحّته، يمكّن من إثبات قضيّة انطلاقاً من قضيّة صحّتها معلومة مسبقاً.

الروابط المنطقيّة

انطلاقاً من قضيّتين و يمكن تكوين قضايا أخرى مثل:

• وتُقرأ «نفي » ويكون لها القيمة المخالفة لقيمة.
• وتُقرأ « و»، وتكون صحيحة إذا وفقط إذا كانت كلّ من و صحيحة.
• وتُقرأ « أو »، وتكون صحيحة إذا وفقط إذا كانت إحدى القضيّتين أو صحيحة.
• وتُقرأ « يقتضي »، وتكون صحيحة إذا وفقط إذا كانت «صحّة « تقتضي «صحّة ».
• وتُقرأ « يكافئ »، وتكون صحيحة إذا كان للقضيّتين والقيمة نفسها.

  يُمكن تلخيص ما سبق بالجدول (1) الذي يسمى جدول الحقيقة truth table.

  الجدول (1) جدول الحقيقة

  يُمكن ربط كلّ عنصر من مجموعة «مرجع» بقضيّة ، وتُسمّى هذه القضيّة قضيّةً مفتوحةً. ويمكن أن تكون القضيّة المفتوحة تابعة لأكثر من متحوّل.

  المكمّمات

  المكمّمات quantifiers هي رموز تُمكّن من صياغة قضايا جديدة انطلاقاً من قضايا مفتوحة وذلك بصورة مختصرة وبسيطة.

  1- مكمّم الشمول: ويُقرأ «أيّاً كان» لتكن قضيّة مفتوحة معرّفة على مرجع ما. يمكن تعريف قضيّة جديدة بالشكل الآتي ، وتُقرأ «أيّاً كان من ، فإنّ »، وهي تعني أنّ صحيحة أيّاً كان من.

  وفيما يأتي مثالان على مكمّم شمول:

• .
• .

  2- مكمّم الوجود: ويُقرأ «يوجد على الأقلّ» لتكن قضيّة مفتوحة معرّفة على المرجع . يمكن تعريف قضيّة أخرى بالشكل الآتي ، وتُقرأ « يوجد على الأقلّ من بحيث »، وهي تعني أنّه يوجد على الأقلّ عنصر من بحيث تكون صحيحة.

  والمثالان الآتيان يستخدمان مكمّم وجود:

• .
• .

  أنواع البرهان

  البرهان إثبات صحّة قضيّة من النوع. وفيما يأتي أهم السبل المتّبعة لهذا الغرض.

  1. البرهان البديهي والبرهان الفارغ

  عندما يمكن إثبات صحّة من دون استعمال صحّة ، يُسمى هذا البرهان بالبرهان البديهي (التافه) trivial proof.

  أمّا عندما تكون القضيّة خاطئة فإنّ الاقتضاء صحيح، والبرهان بهذه الطريقة هو البرهان الفارغ vacuous proof.

  2. البرهان المباشر

  البرهان المباشر direct proof يكون عندما يجري إثبات القضيّة بسلسلة من الاقتضاءات، انطلاقاً من القضيّة وصولاً إلى القضيّة.

  3. البرهان بالنفي

  تعتمد فكرة البرهان بالنفي proof by contrapositive على الملاحظة الآتية:

  يمكن إثبات صحّةبإثبات صحّة الاقتضاء إذ إن القضيّتين و متكافئتان.

  4. البرهان بالتناقض

  ينطلق البرهان بالتناقض proof by contradiction من افتراض خطأ القضيّة المراد إثباتها، ومن ثمّ الوصول باقتضاءات صحيحة إلى نفي قضيّة صحّتها مؤكدة. أي يجري إثبات الاقتضاء الذي يكافئ.

  5. البرهان بالاستقراء الرياضي

  لتكن القضيّة المعرّفة على المجموعة ، يفيد الإثبات بالاستقراء الرياضي (بالتدريج) mathematical induction في إثبات صحّة قضيّة من الشكل إذ إن عدد طبيعيّ. لهذا الغرض يتوجب إثبات القضيّتين التاليتين :

• صحيحة.
• أيّاً كان فإنّ الاقتضاء التالي صحيح. بمعنّى إذا كانت صحيحة فإنّ صحيحة.

  ثمة أنواع أخرى عديدة من البراهين الرياضية منها: البرهان الاستنتاجي deductive؛ والبرهان الاحتمالي. والبرهان الاستنتاجي لادعاء claim رياضي هو إجرائية إذا ما نفذت بصورة سليمة تضمن أن الادعاء صحيح. في حين أن البرهان الاحتمالي probabilistic لادعاء رياضي هو إجرائية حتى إذا ما نفذت بصورة صحيحة فهي لا تضمن أن الادعاء صحيح؛ وبالرغم من ذلك فإن البرهان الاحتمالي يمكن أن يقدم إثباتاً جيد جداً على أن الإدعاء صحيح.

  ويضاف إلى هذه الأنواع البرهان الإحصائي statistical وهو إثبات منطقي rational لدرجة يقين certainty معينة اقتراح أو إفتراض أو نظرية. أما البرهان بمعونة الحاسوب computer-assisted فهو برهان رياضي جرى توليده جزئياً على الأقل بوساطة الحاسوب.

  وفيما يخص كيفيّة إيجاد البرهان ثمة استراتيجيّات مختلفة، يُطلق عليها استراتيجيّات حلّ المسائل، ومنها على سبيل المثال الحلّ بالقياس إلى مسألة مشابهة، والحلّ بتجزئة المسألة إلى مسائل أصغر وأسهل، والحلّ بدءاً من النهاية أي البدء ممّا يُراد إثباته والعودة إلى الوراء.

  مراجع للاستزادة: - M. Beck, R. Geoghegan, The Art of Proof: Basic Training for Deeper Mathematics, Springer, 2010. - S.S. Epp, Discrete Mathematics with Applications, Cengage Learning, 2010. - H. Liero, S.Zwanzig, Introduction to The Theory of Statistical Inference, Chapman and Hall/CRC 2011. - R. Nickerson, Mathematical Reasoning, Taylor & Francis, 2010.

   

---

- التصنيف : تقانات الفضاء والفلك - النوع : تقانات الفضاء والفلك - المجلد : المجلد الرابع مشاركة :