الألعاب (نظرية-)
العاب (نظريه)
Game theory - Théorie des jeux
خالد حلاوة
نَظَرِيّة الألعاب game theory فرع من فروع الرياضيّات التطبيقيّة، يُعنى بدراسة حالات يتنافس فيها عدّة مشاركين (لاعبين players) متماثلي المصالح أو متضاربيها أو الاثنين معاً وتحليلها. ويكون مصير كلّ لاعب متعلّقاً بقراراته وقرارات المشاركين الآخرين في اللعبة. ومن ثمّ يعتمد الخيار الأمثل لمشارك ما على ما يُمكن أن يفعله اللاعبون الآخرون.
تسمح نظريّة الألعاب بوصف العديد من العلاقات الاجتماعيّة والاقتصادية بشكل ألعاب استراتيجيّة وتحليلها.
تتعدّد تطبيقات نظريّة الألعاب، فمع أنّ الاقتصاديين كانوا أوّل من استفاد منها، لكنّ الباحثين في علم الاجتماع والسياسة ما لبثوا أن لحقوا بهم. فمجالات تطبيقها تتفاوت من لعبة الشطرنج مثلاً إلى تشكيل تحالف سياسي، إلى المنافسة بين الشركات الصناعيّة على الأسواق، إلى تطبيقات مهمّة في علم الحياة (البيولوجيا). أمّا اللاّعبون فهم بحسب الحالة : شركات أو زبائن أو حكومات، وهم يعملون لحسابهم الخاص وفق مبدأ الحصول على أكبر ربح شخصيّ ممكن ضمن قواعد اللعبة. مع العلم أنّ كلّ لاعب يعلم مايعلمه الآخرون، ويعلم أنّهم يعلمون مثله ويسعون بدورهم إلى أكبر ربحٍ لهم.
تأسست نظريّة الألعاب عام 1944 بوساطة مورغنستيرن Morgenstern ونيومان Neumann؛ لدى ظهور مؤلَّفهما «نظريّة الألعاب والسلوك الاقتصادي»، ومنذ ذلك الحين أصبحت فرعاً مستقلاًّ.
يُمكن تصنيف الألعاب وفق مزايا متعدّدة، فهناك تصنيف من حيث عدد اللاعبين المشاركين: لعبة بلاعب واحد (ضد لاعب مجهول)، أو بلاعبين اثنين مثل لعبة الشطرنج، أو بعدد من اللاعبين وليكن 
.
كما تُصنّف الألعاب من حيث قيمة مجموع أرباح اللاعبين: قيمة معدومة أم لا، ففي الحالة الأولى لا يمكن أن يكون كلّ اللاعبين رابحين معاً.
وثمة تصنيف بحسب المعلومات المتاحة للاّعبين، فهناك ألعاب بمعلومات تامّة عندما يعرف اللاعب ما أخذ خصومه من قرارات كلعبة الشطرنج مثلاً، وأخرى بمعلومات غير تامّة كلعبة البوكر.
وتتوفر أيضاً ألعاب تعاونيّة cooperative عندما يُسمح للاعبين إجراء اتفاقات فيما بينهم، وأخرى غير تعاونيّة في الحالة المعاكسة.
أخيراً هناك ألعاب منتهية وهي التي يكون فيها كلّ من عدد اللاعبين وعدد الاستراتيجيّات الخاصّة بكلّ لاعب وعدد الخطوات منتهياً، وتكون الألعاب غير منتهية في الحالة المعاكسة.
يمكن تمثيل representation الألعاب بأحد الأشكال الآتية، وذلك بحسب طبيعة اللعبة:
أ. الشكل الموسّع etensive: بوساطة شجرة اللعبة والتي تمثّلُ عقدها مراحل اللعبة، وفروعها الخيارات التي يقوم بها اللاعبون.
ب. الشكل الاستراتيجي:
يُمكن وصف لعبة 
بالشكل الاستراتيجي strategic بوساطة العناصر الآتية:
1.مجموعة اللاعبين 
بافتراض أنها منتهية.
2.لكلّ لاعب 
مجموعة استراتيجيّات ممكنة 
.
3.كلّ عنصر 
يُسمّى مآلاً issue.
4. لكلّ لاعب 
تابع للربح خاصّ به Ui يعطي قيمةً حقيقيّة لكلّ مآل يمكن للاعبين اختياره. ويفضّل اللاعب 
المآلَ 
على المآل
إذا كان 
.
5. يعرف كلّ لاعب i مجموعة استراتيجيّات كلّ لاعب آخر وتابع ربحه Ui، ويعلم أنّ بقيّة اللاعبين مثله.
أمّا إذا كان في اللعبة لاعبان فقط فإنّه يُمكن تمثيلها بوساطة مصفوفة الربح، حيث تُمثّل الأسطر خيارات أحد اللاعبين والأعمدة خيارات اللاعب الثاني، وأمثال المصفوفة هي ثنائيّة تمثّل ربح كلّ من اللاعبين عند اختيار كلّ منهما استراتيجيّة معيّنة.
وتسمح نظريّة الألعاب بالعثور على حلول مثلى بمعنى الاستراتيجيّات التي تحقّق أفضل ربح ممكن إن وُجدت، أو إيجاد استراتيجيّات توازن؛ وهي الاستراتيجيّات التي لا مصلحة لأيّ من اللاعبين بتغييرها منفرداً مثل توازن ناش Nash. وعادةً ما يبدأ اللاعب بحذف الاستراتيجيّات القاصرة (أي الاستراتيجيّات التي يوجد أفضل منها).
وفيما يأتي مثال شهير يوضّح بعض الأفكار التي سلف ذكرها.
يُفترض أنّ هناك متهمين بجرم خطير وكلّ منهما موجود في زنزانة، وأنّ المحقّق الذي ليس لديه أي معلومات يقترح عليهما أن يعترف كلّ منهما على الآخر ليُفرج عنه أو ينال حكماً مخفّفاً، فإذا اعترف كلاهما ينال كلّ منهما حكماً بالسجن 8 سنوات وفي حال اعترف أحدهما على الآخر والثاني لم يفعل يُفرج عن الأوّل ويُحكم على الثاني بالسجن 15 سنة. أمّا في حال عدم اعتراف أيّ واحد فيُحكم كلّ منهما بالسجن لمدّة سنة واحدة.
هذه لعبة بلاعبين وغير تعاونيّة، ويُمكن تمثيل هذه اللعبة بالمصفوفة الآتية:
|
عدم اعتراف |
اعتراف |
الأوّل الثاني |
|
|
|
اعتراف |
|
|
|
عدم اعتراف |
ويمكن ملاحظة أنّ استراتيجية الاعتراف رابحة دوماً، وأن اعتراف المتّهمين هو استراتيجية توازن.
|
مراجع للاستزادة - N. Eber, Théorie des Jeux, Eyrolles, 2007. - Martin. J. Osborne, An Introduction to Game Theory, Oxford University Press, 2003. |
- المجلد : المجلد الثالث مشاركة :
اخترنا لكم
المجلدات الصادرة عن موسوعة العلوم والتقانات
