آخر الأخبار
الأعداد المنطقة
اعداد منطقه
Rational numbers - Nombres rationnels
الأعداد المُنْطَقة
التعريف الرياضي للأعداد المُنْطَقة
الخصائص الجبرية للأعداد المُنْطَقة
العدد المُنْطَق rational number عدد يمكن كتابته على الشكل ، حيث p و q عددان صحيحان و q لا يساوي الصفر. وحيث إن q يمكن أن يساوي الواحد فإن أي عدد صحيح هو عدد مُنْطَق.
التعريف الرياضي للأعداد المُنْطَقة:
لتكن Z مجموعة الأعداد الصحيحة، ولتكن K مجموعة الثنائيات المرتَّبة والمعرّفة بالعلاقة (1):
ولتعرّف على هذه المجموعة العلاقة الثنائية على النحو الآتي:
لأي ثنائيتين و
تنتميان إلى K، يكون
إذا وفقط إذا تحقق
.
ويمكن للصفر أن يظهر في المُركّبة الأولى في أي ثنائية (s , m)، لكنه لا يظهر مطلقاً في المُركّبة الثانية منها.
ويُبرهن بسهولة على أن العلاقة هي علاقة تكافؤ، ومن ثَم فهي تجزئ K إلى مجموعة صفوف تكافؤ. ويُرمز لصف التكافؤ الذي يحوي الثنائية (s, m) بالرمز [s, m] الذي يُعرّف بالعلاقة (2):
ويسمى [s, m] عدداً مُنْطَقاً (كسرياً أو نسبياً)، وتدعى الثنائية (s, m) كسراً حدّاه s و m. ويُرمز للعدد المُنْطق عادة بالرمز s/m، حيث يدعى s البسط وm المقام. وتسمى مجموعة صفوف تكافؤ العلاقة على K مجموعة الأعداد المُنْطَقة، ويُرمز لها بالرمز Q.
الخصائص الجبرية للأعداد المُنْطَقة:
ليكنأي إن x يقابل [s, m] حيث
. يقال عن x إنه موجب إذا وفقط إذا كان:
ويُرمز بالرمز Q+ للمجموعة الجزئية من Q المؤلفة من كل الأعداد المُنْطَقة الموجبة. كما يقال عن x إنه سالب إذا وفقط إذا كان
. ويرمز بالرمز Q- للمجموعة الجزئية من Q المؤلفة من كل الأعداد المُنْطَقة السالبة. وحيث إن
أو
أو
، فإن أي عدد من Qهو موجب أو سالب أو صفر.
بافتراض ، تُعرّف عمليتا الجمع والضرب على Q بالعلاقتين (3) و (4):
تُعرَّف كل عملية جيداً في Q، وكلٌّ منهما تبديلية وتجميعية، وتقبل عملية الضرب التوزيع على الجمع. وتتحقق لكل العلاقتان (5) و (6):
أي إن [0 , 1] هو المحايد لعملية الجمع ويُرمز له بالرمز 0 وهو وحيد، و [1 , 1]هو المحايد لعملية الضرب، ويُرمز له بالرمز 1 وهو وحيد أيضاً.
يوجد لكلنظير لعملية الجمع، وهو
، كما يوجد له نظير (مقلوب) لعملية الضرب، وهو
شريطة أن يكون
، وكلا النظيرين وحيد. يتبين مما سبق أن (Q , + , ×) تشكل حقلاً field.
بافتراض ، يمكن تعريف عملية الطرح وعملية القسمة على Q بالعلاقتين (7) و (8):
وذلك شريطة أن يكون . إن كلاًّ من عمليتي الطرح والقسمة المبينتين بالعلاقتين (7) و (8) ليست تجميعية ولا تبديلية.
بافتراض ، تكون العلاقة
المعرَّفة على Q على النحو الآتي:
- إذا وفقط إذا كان
- علاقة ترتيب كلي على Q.
إن حلقة الأعداد الصحيحة Z مُضَمَّنة embedded في حقل الأعداد المُنْطَقة Q؛ أي إن Q تحوي حلقة جزئية تماثل الحلقة Z، حيث إن التطبيق المعرّف - لكل zمن Z - بالعلاقة
يكون تشاكلاً homomorphism ومتبايناً. ويسمى Q عادة حقل النسب. بافتراض
فإن
إذا وفقط إذا كان
.
بافتراضعددين مُنْطَقين بحيث
، يوجد عدد مُنْطَق z يحقق
. في حين لا يمكن في Q إيجاد عدد مُنْطَق مثل r بحيث يكون r2 = 2.
إذا كان ، تُعرَّف القيمة المطلقة absolute value للعدد x - التي يُرمز لها بالرمز |x| - بالعلاقة (9):
ويكون لكل
.
إيمان الخوجة
مراجع للاستزادة: - M. Artin, Algebra, Pearson, 2010. - J. A. Beachy and William D. Blair, Abstract Algebra, Waveland Press, 2006.
|
- المجلد : المجلد الثاني مشاركة :
البحوث الأكثر قراءة
هل تعلم؟
- - هل تعلم أن الأبلق نوع من الفنون الهندسية التي ارتبطت بالعمارة الإسلامية في بلاد الشام ومصر خاصة، حيث يحرص المعمار على بناء مداميكه وخاصة في الواجهات
- - هل تعلم أن الإبل تستطيع البقاء على قيد الحياة حتى لو فقدت 40% من ماء جسمها ويعود ذلك لقدرتها على تغيير درجة حرارة جسمها تبعاً لتغير درجة حرارة الجو،
- - هل تعلم أن أبقراط كتب في الطب أربعة مؤلفات هي: الحكم، الأدلة، تنظيم التغذية، ورسالته في جروح الرأس. ويعود له الفضل بأنه حرر الطب من الدين والفلسفة.
- - هل تعلم أن المرجان إفراز حيواني يتكون في البحر ويتركب من مادة كربونات الكلسيوم، وهو أحمر أو شديد الحمرة وهو أجود أنواعه، ويمتاز بكبر الحجم ويسمى الش
- هل تعلم أن الأبسيد كلمة فرنسية اللفظ تم اعتمادها مصطلحاً أثرياً يستخدم في العمارة عموماً وفي العمارة الدينية الخاصة بالكنائس خصوصاً، وفي الإنكليزية أب
- - هل تعلم أن أبجر Abgar اسم معروف جيداً يعود إلى عدد من الملوك الذين حكموا مدينة إديسا (الرها) من أبجر الأول وحتى التاسع، وهم ينتسبون إلى أسرة أوسروين
- - هل تعلم أن الأبجدية الكنعانية تتألف من /22/ علامة كتابية sign تكتب منفصلة غير متصلة، وتعتمد المبدأ الأكوروفوني، حيث تقتصر القيمة الصوتية للعلامة الك
- عدد الزوار حالياً 46
- الكل 63300111
- اليوم 2398
اخترنا لكم
البربيتورات
البربيتورات barbiturates مركبات كيميائية من مشتقات حمض البربيتوريك barbituric acid (مالونيل البولة) (الشكل1)، تُستخدَم مُهَدِّئات ومضادات للاختلاجات ومخدرات، كما شاع استعمالها حبوباً منومة. وتعتمد خصائص المركبات المختلفة منها على مجموعاتها الجانبية التي ترتبط بها.
التحكم الأمثل
التحكم الأمثل optimal control هو تصميم للمتحكم الذي يحقق خواص محددة للنظام بأفضل شكل ممكن وباستخدام معايير محددة، كتصميم متحكم يحقق أقل خطأ ساكن static error أو يحقق أسرع استجابة ممكنة للنظام.