اعداد عقديه

Complex numbers - Nombres complexes

الأعداد العقدية

محمد الشيخ

الخواص الجبرية للأعداد العقدية
الصيغة الجبرية للأعداد العقدية
التمثيل الهندسي للأعداد العقدية

العدد العقدي complex number ثنائية مرتَّبة من الأعداد الحقيقية. وتُعرّف مجموعة الأعداد العقدية بالمساواة (1).

ليكن  عدداً عقدياً، يسمى  الجزء الحقيقي لـ  ويُرمز له بـ ، ويسمى  الجزء التخيلي لـ  ويُرمز له بـ .

يُسمى العدد  بالوحدة التخيلية، ويُرمز له بـ  أو بـ . ويتساوى عددان عقديان إذا وفقط إذا تساوى الجزء الحقيقي للأول مع الجزء الحقيقي للثاني، والجزء التخيلي للأول مع الجزء التخيلي للثاني.

الخواص الجبرية للأعداد العقدية

حقل الأعداد العقدية هو المجموعة  المزودة بالعمليتين الداخليتين: الجمع والضرب، المعرَّفتين بالعلاقتين (2) و (3).

ولا يمكن ترتيب الحقل  ترتيباً كلياً.

ويمكن عدّ  - الحقل الجزئي من الحقل  - مطابقاً للحقل  ، ويعود ذلك إلى وجود تماثل حقلي (إيزومورفيزم isomorphism) بينهما. ومن ثَمّ يمكن المطابقة بين العدد العقدي  والعدد الحقيقي ، وعَدّ  حقلاً جزئياً من . كما يمكن بيان أن .

يُعرّف على عملية خارجية ( الضرب في عددٍ سُلَّميّ) معرفة بالعلاقة (4).

تزوِّد هذه العملية الخارجية - إضافة إلى عملية الجمع - المجموعة  ببنية فضاء متجهي (شعاعي) vector space على حقل الأعداد الحقيقية ، بُعده 2، وتشكل الجملة (أي ) أساساً له.

الصيغة الجبرية للأعداد العقدية

إذا كان  يمكن كتابته بالعلاقة (5).

ويسمى  الصيغة الجبرية لـ.

تبين العلاقتان (6) و(7) العمليات الجبرية على الأعداد العقدية بصيغتها الجبرية.

ويكون نظير بالنسبة إلى عملية الجمع هو. ويُعطى مقلوب عدد غير معدوم (نظير  بالنسبة إلى عملية الضرب) بالعلاقة (8).

ويُعرّف حاصل قسمة  على عدد غير معدوم  بأنه حاصل الجداء .

التمثيل الهندسي للأعداد العقدية

يُمثل (يُقابل) كل عدد عقدي  بنقطة وحيدة  في مستوٍ منسوب إلى محورين إحداثيين متعامدين ، يسمى المستوي العقدي، وتسمى  النقطة الممثلة لـ  في المستوي العقدي، وللتبسيط يُرمز لها بـ وتسمى النقطة . يسمى المحور الأفقي  المحور الحقيقي، أما المحور الشاقولي  فيدعى بالمحور التخيلي، كماهو مبيَّن بالشكل (1).

الشكل (1) : تمثيل العدد العقدي في المستوي العقدي

يُقابَل العدد العقدي  أيضاً بشعاع الموضع للنقطة ، ويسمى الشعاع  في المستوي العقدي. ويكون مجموع عددين عقديين  هو محصلة الشعاعين، أما الفرق  فهو محصلة الشعاعين، كما هو مبيَّن بالشكل (2).

الشكل (2) : التمثيل الشعاعي للعدد العقدي

ويُطلق على العدد العقدي ، اسم مرافق conjugate العدد العقدي . ويعني مرافق  هندسياً نظيرة النقطة بالنسبة إلى المحور الحقيقي، كما هو مبيَّن بالشكل (3).

الشكل (3) :التمثيل الهندسي لمرافق عدد عقدي

الصيغتان: القطبية (المثلثية) والأسية للعدد العقدي

ليكن  عدداً عقدياً غير معدوم، و الإحداثيات القطبية للنقطة  في المستوي العقدي. يُطلق على  طول الشعاع ، وهو بُعد النقطة  عن المبدأ، طويلة العدد العقدي. ويُرمز للطويلة أيضاً بـ ، والتي تحقق . أما  فهو أي قياس بالراديان للزاوية المحصورة بين الاتجاه الموجب للمحور والشعاع ، كماهو مبيَّن بالشكل (4). 

الشكل (4) : التمثيل القطبي (المثلثي) لعدد عقدي

وتسمى  بزاوية أو بعمدة ، ويرمز لها بـ . ويمكن بيان أن قيم  هي حلول المعادلة  المناسبة لربع المستوي العقدي المنتمية إليه . وتوجد قيمة وحيدة لـ محصورة في المجال تسمى بالقيمة الرئيسية (أو بالتعيين الرئيسي) لزاوية العدد العقدي، ويرمز لها بـ .

ويُحصل من العلاقة بين الإحداثيات الديكارتية والإحداثيات القطبية للنقطة على العلاقة (9).

وتُسمَّى الصيغة الأخيرة الصيغة القطبية، أو الصيغة المثلثية للعدد العقدي.

ويُرمز للعدد العقدي بـ  وأيضاً بـ . وبذلك يُحصل على صيغة أويلر Euler المعطاة بالعلاقة (10).

تُثبَت صحة هذه المساواة انطلاقاً من تعريف التابع الأسي العقدي، وبذلك يمكن كتابة العدد العقدي بصيغة أخرى تسمى الصيغة الأسية وهي. ويُرمز اختصاراً لكلتا الصيغتين: القطبية والأسية بـ .

يتساوى عددان عقديان  و  إذا وفقط إذا تحقق أن  و ، حيث  عدد صحيح. وتعطى عملية ضرب عددين عقديين بالعلاقة (11).

وإذا كان غير معدوم (أي )، فيُعطى حاصل قسمة  على  بالعلاقة (21).

القوى والجذور:

إذا كان  و عدداً صحيحاً فإن ، وبوجهٍ خاص عندما تكون الطويلة مساوية للواحد () يمكن الحصول على صيغة دو موافر De Moivre المبينة في العلاقة (13).

يُقال عن عدد عقدي  إنه جذر من المرتبة  ( عدد طبيعي) لعدد عقدي معطى إذا وفقط إذا كان . والصفر وضوحاً هو الجذر الوحيد من أي مرتبة للصفر. أما إذا كان  غير معدوم فإن يملك  جذراً مختلفاً معطاة بالعلاقة (41).

تبين العلاقة (14) أن للجذور طويلة مشتركة، وهي ، وهذا يعني وقوع هذه الجذور - في المستوي العقدي - على محيط الدائرة التي مركزها المبدأ ونصف قطرها . وأن الزاوية بين أي جذرين متتاليين (موافقين لـ (تساوي ، وبذلك تكون الجذور واقعة على رؤوس مضلع منتظم مرسوم على الدائرة المذكورة سابقاً ونوني الأضلاع. يبين الشكل (5) توضع الجذور في حالة .

يتبين مما سبق أن لكل معادلة من الدرجة الثانية () جذرين عقديين (قد يكونان حقيقيين). فإذا كان المميز  معدوماً يكون الجذران متساويين وقيمتهما ، ويسمى في هذه الحالة بالجذر المضاعف. أما إذا كان المميز غير معدوم  فيكون الجذران مختلفين وتعطى قيمتاهما بالعلاقتين (51) و(61).

الشكل (5) : توضع جذور عدد عقدي في حالةn=5

حيث  هو جذر تربيعي لـ .

وبوجهٍ عام يكون للمعادلة (17) من الدرجة :

 جذراً مختلفاً على الأكثر وجذر واحد على الأقل في . وإذا عُدّ الجذر المضاعف من المرتبة  للمعادلة السابقة  جذراً، يكون عدد جذور المعادلة مساوياً لدرجتها، وبذلك يكون  حقلاً مغلقاً جبرياً.

البنية الطبولوجية لحقل الأعداد العقدية

يُعرِّف التابع الذي يقرن كل عدد عقدي بطويلته، نظيماً norm على الفضاء المتجهي. وبذلك يصبح  فضاءً مستنظماً normed space، ومن ثّم فضاءً مترياً، حيث تُعرَّف المسافة بين عددين عقديين بطويلة الفرق بينهما. وينجم عن ذلك أن  فضاء طبولوجي. ويكون للمفاهيم الطبولوجية الآتية معنى في: الجوارات، والمجموعات المفتوحة،والمجموعات المغلقة، والمجموعات المتراصة، والمجموعات المترابطة، واستمرار التطبيقات بين وأي فضاء طبولوجي، وتقارب المتتاليات والمتسلسلات العقدية، وغيرها.

بعض تطبيقات الأعداد العقدية

للأعداد العقدية تطبيقات عديدة في الهندسة والفيزياء حيث تُستخدم الأعداد العقدية لتمثيل كميات فيزيائية، إذ تسمح الصيغة المثلثية بتبسيط عدة ظواهر ونمذجتها، مثل الظواهر الموجية وخاصة الأمواج الكهرطيسية؛ حيث يكتب الحقل الكهرطيسي كتركيب عقدي لحقل كهربائي وحقل مغنطيسي. وتوظف الأعداد العقدية في تحليلالدارات الكهربائية؛ وكذلك في ميكانيك السوائل في المستوي؛ وفي الميكانيك الكمومي (الكوانتي).

وللأعداد العقدية - وبوجهٍ خاص نظرية الرواسب - تطبيقات في الرياضيات منها في حساب بعض التكاملات المعتلة، وفي مجموع متسلسلة حقيقية.

مراجع للاستزادة: - E. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, Wiley, 2006.  - W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw- Hill, 1976.

---

- المجلد : المجلد الثاني مشاركة :