اعداد طبيعيه

Natural numbers - Entiers naturels

الأعداد الطبيعية

 فرحان إسماعيل

تُعدّ مجموعة الأعداد الطبيعية natural numbers والتي يرمز إليها بالرمز  من أهم المجموعات غير المنتهية في الرياضيات والمؤلفة من مجموعة أعداد العدّ  والصفر .

تتوفر عـــدة طرائــق لتعريف هذه المجموعــة، منهــا تلك التي تســتخدم موضوعــات «بيــانــو» Peano.

تُعرَّف  على أنها ثلاثية  مؤلفة من مجموعة  وعنصر  وتطبيق  تحقق الآتي:

1 - 

2 - التطبيق  متباين

3 - إذا كان  و  و  عندئذٍ، فإن 

يمكن ملاحظة أن التطبيق  يربط كل عنصر  بلاحقه successor،  .

العمليات على :

أ-الجمع: تُعرَّف عملية الجمع بأنها العملية الداخلية المبينة بالعلاقة (1).

والتي تحقق:

1) 

2) 

وتتمتع عملية الجمع بالخواص الآتية:

أياً كانت  فإن:

1) 

وتعبر عن وجود عنصر حيادي بالنسبة إلى الجمع.

2)

وهي الخاصة التبديلية.

3)

وتعبر عن الخاصة التجميعية.

4)

وهي قاعدة الحذف.

5)

ب- الضرب: تُعرَّف عملية الضرب بأنها العملية الداخلية المبينة بالعلاقة (2).

التي تحقق الآتي:

1) 

2) 

وتتمتع عملية الضرب بالخواص الآتية:

أياً كانت  فإن:

1) 

وتعبر عن وجود عنصر حيادي.

2) 

وهي الخاصة التبديلية.

3) 

وهي الخاصة التجميعية.

4) 

وهي قاعدة الحذف.

5) 

وتعبر عن عدم وجود قواسم للصفر في .

6) 

وتعبر عن الخاصة التوزيعية للضرب على الجمع.

بنية ترتيب المجموعة :

تُعرَّف علاقة الترتيب  في المجموعة  بالعلاقة (3).

إن العلاقة  هي علاقة ترتيب كلي total order، وعليه فإن  تشكل سلسلة chain. كما أن علاقة الترتيب  منسجمة compatible مع عمليتي الجمع والضرب، أي إنه من أجل  بحيث  تتحقق العلاقة (4) .

إضافة إلى ذلك فإن المجموعة  مرتبة جيداً well- ordering، أي إن أي مجموعة جزئية غير خالية  من  تملك عنصراً أصغر كما هو مبين في العلاقة (5).

عملية القسمة في :

يقال: إن  يقسم (أو  يقبل القسمة على ) من أجل إذا وجد  بحيث يكون ، ويُرمز لذلك بـالرمز .

إن المجموعة  حيث  هي مجموعة مرتبة جزئياً.

مبدأ الاستقراء الرياضي:

ينتج مبدأ الاستقراء الرياضي من أن  مرتبة جيدا،ً ويتلخص بأنه إذا كانت  قضية تحقق:

 صحيحة،

 صحيحة عندما تكون  صحيحة؛ عندئذٍ فإن صحيحة من أجل جميع قيم  .

الأعداد الأولية:

يقال: إن  أولي إذا كان  ولا يقبل القسمة إلا على  أو على نفسه. أما إذا كان  وليس أولياً، فيسمى عدداً مركّباً.

يقبل كل عدد مركّب قاسماً أولياً واحداً على الأقل، والعددان الأوليان فيما بينهما هما عددان قاسمهما المشترك الوحيد هو  .

وتجدر الإشارة إلى أن مجموعة الأعداد الأولية  غير منتهية.

الأعداد التامة والمتحابة:

العدد التام perfect number هو ذلك العدد الذي يساوي مجموع قواسمه، بما فيها الواحد، باستثناء العدد نفسه، مثل العدد 6. ويكون العددان متحابين amicable numbers، إذا كان مجموع قواسم كل منهما (بما فيها الواحد باستثناء العدد نفسه) يساوي الآخر. فالعددان 284 و 220 متحابان على سبيل المثال.

شبكة الأعداد الطبيعية:

إن وجود القاسم المشترك الأعظم والمضاعف المشترك الأصغر لأي عددين في  يثبت وجود شبكة الأعداد الطبيعية  ، وشبكة الأعداد الطبيعية الأكبر من الصفر  ، ومفهوم الشبكة الجزئية من شبكة الأعداد الطبيعية.

مراجع للاستزادة: - G. Bancerek, The fundamental properties of natural numbers, Journal of Formalized Mathematics, 1990. - M. Chmur, The Lattice of natural numbers and the sublattice of it. The set of prime numbers, Journal of Formalized Mathematics, Volume 3, Inst. of Computer Science, Univ. of Bialystok, 2002. - M. Fluch, Construction of real numbers from the natural numbers, University of Helsinki, 2007.

---

- المجلد : المجلد الثاني مشاركة :