اعداد صحيحه

Integers - Entiers relatifs

الأعداد الصحيحة

يوسف الوادي 

بناء الأعداد الصحيحة

خصائص الأعداد الصحيحة

برزت مجموعة الأعداد الصحيحة integers ويرمز إليها  نتيجة الحاجة إلى حل معادلات رياضية من الشكل:  التي ليس لها دوماً حل في مجموعة الأعداد الطبيعية ، وتتكون المجموعة  من الأعداد الطبيعية ومن الأعداد السالبة الخالية من الكسور العادية أو العشرية، أي إن  

بناء الأعداد الصحيحة:

ليكن الجداء الديكارتي Cartesian product:

 .

تُعّرفُ على هذه المجموعة العلاقة relation  كما يأتي:  إذا وفقط إذا كان ، وهي علاقة تكافؤ equivalence relation لذلك فهي تجزئ الجداء الديكارتي إلى صفوف تكافؤ، وتسمى مجموعة صفوف التكافؤ هذه بمجموعة الأعداد الصحيحة، ويرمز لصف تكافؤ الزوج بالرمز  وهو يمثل عدداً صحيحاً هوناتج الطرح .

يُبين هذا المفهوم ماهية الاستخدام السائد للأعداد الصحيحة، فعلى سبيل المثال:

يُستعمل a عموماً للتعبير عن  كما يستعمل –a للتعبير عن .

– الجمع على  : يُعرّف مجموع عددين صحيحين  بالشكل:

وهذه العملية تبادلية وتجميعية ولها عنصر محايد هو .

ولكل عدد  نظير جمعي ، أي إن 

- الضرب على:

يُعرّف الضرب على بالشكل:

وعملية الضرب تبادلية وتجميعية وقابلة للتوزيع على الجمع من اليمين واليسار، ولها عنصر محايد هو  .

حلقة الأعداد الصحيحة ring of integers:

تشكل المجموعة  بالنسبة إلى عمليتي الجمع والضرب حلقة واحدية تبادلية خالية من قواسم الصفر يرمز لها بالرمز، وعليه فإنها منطقة تكامليةintegral domain . يُقصدُ بالحلقة الواحدية ring with identity، الحلقة التي تملك عنصراً محايداً بالنسبة إلى عملية الضرب، وتسمى الحلقة تبادلية إذا كانت عملية الضرب تبادلية، وأما القولإن  خالية من قواسم الصفر فلأنها تحقق الآتي:

خصائص الأعداد الصحيحة:

يُفضل التعامل مع الاستخدام السائد للأعداد الصحيحة عند دراسة خصائصها. وفيما يأتي أهم خصائص الأعداد الصحيحة:

-1 علاقة الترتيب على الأعداد الصحيحة: تُعرّفُ على المجموعة  علاقة  بالشكل  إذا وفقط إذا كان b-a عدداً صحيحاً موجباً أو a=b ، وهذه علاقة ترتيب لأنها منعكسة ومتعدية ومتخالفة، كما تُعرّفُ على علاقة ترتيب دقيقة   بالشكل: إذا وفقط إذا كان b-a عدداً صحيحاً موجباً.

2- القسمة في : تُعدُّ مجموعة الأعداد الصحيحة غير مغلقة بالنسبة إلى عملية القسمة، ولكن يمكن لبعض الأعداد الصحيحة أن يقسم أحدها الآخر وينتج في هذه الحالة خصائص مهمة، ولهذا يبين الآتي:

- يُقال إن العدد الصحيح a يقسم العدد الصحيح b إذا وفقط إذا أمكن إيجاد عدد صحيح c بحيث  لذلك أياً كان العدد الصحيح a فإن a يقسم الصفر

ومن أجل أي عدد صحيح b فإن  يقسم b و  يقسم b. يُرمز لعلاقة القُسمة هذه بالشكل: .

- ينتج من تعريف قابلية القسمة أنها علاقة منعكسة ومتعدية ومتخالفة فهي علاقة ترتيب على .

- يُعرّف العدد الأولي prime number كالآتي:

يكون العدد الصحيح p>1 أولياً إذا وفقط إذا كانت قواسمه فقط هي و .

- التقسيم العددي أو الإقليدي:

إذا كان a و b عددين صحيحين موجبين وكان  عندئذٍ يوجد عددان صحيحان غير سالبين qو r بحيث  وحيث ، يسمى q حاصل قسمة a على b كما يسمى r باقي القسمة.

القاسم المشترك الأعظم:

يُعرّف القاسم المشترك الأعظم greatest common divisor (G.C.D) لعددين صحيحين a و b لا يساوي كلاهما الصفر على أنه العدد الصحيح الموجب b)، d=D(a، الذي يحقق الشرطين الآتيين:

أ- d يَقسِمُ كلاً من a و bأي 

ب- إذا كان c يَقسِمُ كلاً من a و b فإن c يَقسِمُ d أيضاً.

ومن نتائج ذلك:

- لكل عددين صحيحين a و b لا يساوي كلاهما الصفر قاسم مشترك أعظم وحيد يُكتب على الشكل:

حيث .

- يكون العددان a و b أوليين فيما بينهما relatively prime إذا وفقط إذا كان .

– يمكن كتابة كل عدد صحيح أكبر من الواحد كحاصل ضرب عوامل أولية موجبة بغض النظر عن الترتيب الذي تأتي به هذه المضاريب.

المضاعف المشترك الأصغر:

يُعرَّف المضاعف المشترك الأصغر common multiple (LCM) leastلعددين صحيحين a و b بأنه عدد صحيح موجب m يحقق الشرطين:

أ – يَقسِمُ كل من a و b العدد m أي

.

ب – إذا كان كل من a و b يَقسِمُ العدد الصحيح الموجب k، فإن m يَقسِمُ k. 

ويعرف بطريقة مشابهة المضاعف المشترك الأصغر لعدة أعداد.

توافق (تطابق) الأعداد الصحيحة:

يكون العددان الصحيحانa و b متوافقين قياس congruent moduloإذا وفقط إذا كان m يقسم a-b أو a-b = k.m حيث k عدد صحيح، وتكتب علاقة التوافق بالشكل:

وينتج من هذه العلاقة خصائص كثيرة تختص بها نظرية الأعداد.

مراجع للاستزادة: - J. B. Fraleigh, Abstract Algebra, Addison-Wesley-Publ. Comp. 1994. - I. N. Herstein, Topics in Algebra, Blaisdell Publishing Company 1964. - K. H. Rosen, Discrete Mathematics, McGraw-Hill, 2007.

---

- المجلد : المجلد الثاني مشاركة :