اعداد حقيقيه

Real numbers - Nombres réels

الأعداد الحقيقية

 معن الأزهري

التمثيل الهندسي للأعداد الحقيقية

حقل الأعداد الحقيقية

خواص حقل الأعداد الحقيقية

اتسعت دائرة الأعداد أكثر من مرة. فَعُرفت بداية مجموعة الأعداد الطبيعية natural ثم مجموعة الأعداد الصحيحة integers التي تحوي ومع تعقد المسائل نسبياً أضحت هاتان المجموعتان قاصرتين عن حل معادلات من الشكل ، حيث n وm عددان طبيعيان، لذلك كان لا بدّ من توسيع الأعداد الطبيعية والصحيحة إلى مجموعة الأعداد المُنْطَقَة (الكسرية) rational الأكثر اتساعاً، والتي تتكون من الأعداد الصحيحة وجميع الكسور الموجبة والسالبة للأعداد الصحيحة في صورة بسط ومقام.

يمكن كتابة هذه الأعداد المُنْطَقَة على شكل كسور عشرية منتهية مثل:

أو كسور عشرية دورية (مكررة) مثل

لكن هذه المجموعات من الأعداد كانت قاصرة عن حل العديد من المسائل الرياضية مثل إيجاد العدد الذي يقيس طول قطر مربع طول ضلعه واحدة الأطوال (يرمز إليه بالعدد)؛ أي إيجاد العدد الذي يحقق المعادلة، وإيجاد العدد الذي يقيس طول محيط دائرة قطرها واحدة الأطوال والذي يرمز إليه بالرمز ، وحل المعادلة ، وغيرها من المسائل. لذا عُرّفت مجموعة من الأعداد سميت بالأعداد غير المُنْطَقَة (غير الكسرية) irrational ؛ التي لا يمكن كتابتها على شكل كسور، ولا كسور عشرية منتهية أو دورية.

ولكن يمكن التعبير عنها بكسور عشرية غير منتهية، مثل:

و، والعدد النيبري ، و وغيرها.

وبإضافة الأعداد المُنْطَقَة إلى غير المُنْطَقَة توسعت دائرة الأعداد لتُكَوِّن ما يسمى بالأعداد الحقيقية real ، والتي ترتبط بالمجموعات السابقة بالعلاقة (1).

التمثيل الهندسي للأعداد الحقيقية:

نشأت فكرة الأعداد الحقيقية بسبب وجود أطوال لا يمكن التعبير عن قياسها باستعمال أعداد صحيحة أو مُنْطَقَة. ولكن إذا قوبل كل عدد حقيقي بنقطة على خط مستقيم (يسمى المستقيم العددي) تملأ هذه النقاط هذا المستقيم بالكامل، ومن ثَمّ يمكن للأعداد الحقيقية قياس الكميات المستمرة على اختلافها.

تُمثَل مجموعة الأعداد الحقيقية بنقط المستقيم على النحو الآتي: تؤخذ نقطة O من وتُقابل بالعدد الحقيقي صفر () وتسمى نقطة المبدأ، ثم تؤخذ نقطة أخرى على يمين O تمثل العدد الحقيقي واحد ()، وكذلك تؤخذ نقطة مناظرة لـ بالنسبة إلى المبدأ، ولتكن تمثل العدد السالب (). ويُقبل أنه يمكن مقابلة أي عدد حقيقي بنقطة وحيدة تدعى صورة، كما يمكن مقابلة أي نقطة M من بعدد حقيقي وحيد ، يدعى فاصلة النقطة M، كما هو مبين بالشكل (1). ويكون هذا العدد الحقيقي موجباً إذا كانت النقطة على يمين نقطة المبدأ O، وسالباً إذا كانت على يسارها.

حقل الأعداد الحقيقية:

الشكل (1): مستقيم الأعداد الحقيقية

بتعريف عمليتي الجمع (+) والضرب (×) المعروفتين على مجموعة الأعداد الحقيقية ؛ تكون البنية حقلاً تبديلياً commutative field لتَحقّق الخواص الآتية:

1 - مجموعة الأعداد الحقيقيةمغلقة بالنسبة إلى هاتين العمليتين؛ أي إن حاصل جمع (ضرب) أيّ عددين حقيقيين هو بدوره عدد حقيقي .

2 -زمرة group تبادلية تتحقق فيها:

• وجود عنصر محايد neutral element هو الصفر

• لكل عنصر مننظير opposite فييرمز إليه بـ بحيث يحقق:

• الجمع عملية تجميعية associative operation على عناصر

• الجمع عملية تبادلية في

().

3 - زمرة تبادلية؛ أي إن الضرب عملية تبادلية فيها ()، وتجميعيه يرمز إلى عنصرها المحايد بـ ، ويسمى الواحد ويرمز إلى مقلوب العنصر من بـ أو بالرمز .

4 - الضرب توزيعي على الجمع، أي تكون العلاقة (2) محققة:

ويُبرهن على أن مجموعة الأعداد المُنْطَقَة تشكل مع القانونين +، × حقلاً جزئياً subfield من الحقل.

إذا زُوِّد الحقل بعلاقة الترتيب order relation ، تكون العلاقة () علاقة ترتيب كلّي ومتعدية على ومنسجمة مع العمليتين (+)، (×).

ويُقصد بالترتيب الكلي، أنه أياً كان من ، فواحدة فقط من العلاقات الآتية تكون محققة:

أو أو (ويمكن ملاحظة أن تعني و)

وأما التّعدّي transitivity of the order فيعني أنّ:

وأما الانسجام مع العمليتين (+) و (×) فيعني تحقق العلاقتين (3) و (4):

إذا أُخِذ بالحسبان الرموز الآتية:

مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة (أو غير السالبة)

مجموعة الأعداد الحقيقية السالبة (أو غير الموجبة).

ينتج أن:

ويُعبَّر عما سبق بالقول: إن حقل مرتب كليّاً totally ordered field.

خواص حقل الأعداد الحقيقية:

1 - يحقق حقل الأعداد الحقيقية خاصة أرخميدسArchimedean ، أي إنه أيّاً كان العدد الحقيقي الموجب تماماً، وأيّاً كان العدد الحقيقي فثمة عدد طبيعي موجب تماماً بحيث يتحقق ، أي تتحقق العلاقة (5).

لذلك يقال عن الحقل : إنه حقل أرخميدي.

2 - مجموعة الأعداد المُنْطَقَة (وغير المُنْطَقَة أيضاً ) مجموعة كثيفة dense set في ، أي إنه يوجد بين كل عددين حقيقيين مختلفين عدد مُنْطق، ويُعبر عن ذلك بالعلاقة (6).

ويمكن الاستنتاج من هذه الخاصة أنه بين كل عددين حقيقيين مختلفين هناك عدد لا نهائي من الأعداد العادية (وغير العادية).

3 - إذا كان فثمة عدد صحيح وحيد يُرمز إليه بـ يحقق العلاقة (7).

يسمى الجزء الصحيح للعدد.

4 - يغمر الحقل الحقل الجزئي ؛ أي إن ثمة تطبيقاً متبايناً يصون الجمع والضرب والترتيب، كما هو موضح بالعلاقة (8).

وعليه يمكن المطابقة بين و.

5 - إن مجموعة غير قابلة للعدّ uncountable، أي إنه لا يوجد تطبيق تقابل (متباين وغامر) بين ومجموعة الأعداد الطبيعية، بخلاف مجموعة الأعداد العادية التي تشكل مجموعة عدودة.

6 - كل عدد حقيقي هو نهاية لمتتالية من الأعداد العادية، وهو أيضاً نهاية لمتتالية من الأعداد غير العادية.

القيمة المطلقة لعدد حقيقي (أو نظيمه):

ليكن، تُعرَّف القيمة المطلقة absolute value للعدد الحقيقي أو نظيم norm ، ويُرمز إليه بـ أو ، بالمقدار الموجب .

وينتج من ذلك تحقق الخواص الآتية:

1 -

2 -

3 -

4 -

5 -

مراجع للاستزادة: - John M. Howie, Real Analysis, Springer, 2005. - Edmund Landau, Foundations of Analysis, American Mathematical Society, 2001. - F.W. Stevenson, Exploring the Real Numbers, Prentice Hall, 2000

 

---

- المجلد : المجلد الثاني مشاركة :