استقرار منظومات

System stability - Stabilité des systèmes

 

استقرار المنظومات

أديب بطح

استقرار المنظومات الخطية

معايير (شروط) الاستقرار

 

تمتلك المنظومات systems خصائص عدة، من أهمها ما يأتي:

- الاستقرار stability: هي قدرة المنظومة - في حالة شروط عمل ابتدائية مُعطاة - على استعادة حالة العمل المتوازنة بعد خضوعها لاضطراب طبيعي، بحيث تبقى المنظومة برمتها متماسكة عمليًّا.

- قابلية التحكم controllability: لتكون المنظومة الديناميكية الخاضعة لدخل معين قادرة على فعل ما يجب أن تكون قابلة للتحكم.

ويكون شعاع حالة النظام قابلاً للتحكم تحكمًا كاملاً أو جزئيًّا إذا توفر تابع تحكم مستمر يسمح بنقل من الشروط الابتدائية إلى قيمته النهائية في مدة محدودة .

- قابلية الرصد observability: لمعرفة ما يجري داخل منظومة ديناميكية تحت المراقبة لا بد أن تكون هذه المنظومة قابلة للرصد.

يكون شعاع حالة النظام قابلاً للرصد في المدة إذا أمكن تحديد الشرط الابتدائي للشعاع ، بمعرفة دخل النظام وخرجه لجميع قيم الزمن .

- قابلية القلب invertibility: في الجبر الخطي توصف المصفوفة المربعة بأنها قابلة للقلب أو غير شاذة إذا وُجدت مصفوفة تحقق العلاقة حيث هي المصفوفة الواحدية.

استقرار المنظومات الخطية

- تمثيل المنظومات في فضاء الحالة:

يوصف النظام اللامتغير مع الزمن في فضاء الحالة باعتباره خطيًّا على النحو الآتي (المعادلة1):

حيث هو شعاع الحالة و هو شعاع مستقر الحالة.

يُنسب الاستقرار المعتبر هنا إلى حالة الدخل الصفري ، وهي حالة استجابة النظام الطبيعية natural response (أو الحرة). ويسمى الاستقرار باستقرار الدخل الصفري.

- الاستقرار التقاربي Asymptotic stability:

تكون المنظومة مستقرة تقاربيًّا إذا كان الشرط التالي محققاً، لكلِّ ، ولكلِّ حالة ابتدائية محدودة وغير صفرية كما في المعادلة (2):

حيث:

يتجه شعاع الحالة للنظام بوجود والشروط الابتدائية نحو مركز الإحداثيات عندما يكون هذا الشرط محققاً.

الشكل (1): استقرار النظام الموصف بمعادلات الحالة

هامش الاستقرار:

تكون المنظومة مستقرة في الدائرة M إذا كان الشرط التالي محققًا: لكلِّ ، ولكلِّ حالة ابتدائية محدودة يكون شعاع الحالة يحقق ما يلي (المعادلة 3):

في هذه الحالة يبقى شعاع الحالة داخل الدائرة M ذات نصف قطر محدود.

- عدم الاستقرار:

إذا لم يستوفِ شرط هامش الاستقرار يقال عن النظام إنه غير مستقر. وفي هذه الحالة ينتقل الشعاع لكلِّ ، والحالة الابتدائية إلى اللانهاية عندما .

- تمثيل المنظومات بمصفوفة تابع التحويل:

في المنظومات الموصفة بمصفوفة تابع التحويل H(s) يرتبط شرط مقارب الاستقرار حصرًا بأقطاب H(s).

يُوصف النظام اللامتغير مع الزمن في النطاق s انطلاقًا من مصفوفة تابع التحويل باعتباره خطيًّا كما كما في المعادلة (4):

ويكون مميز كثير الحدود polynominal كالتالي (المعادلة 5):

حيث هي القيم الخاصة للمصفوفة A، أو أقطاب .

- الاستقرار التقاربي:

تكون المنظومة مستقرة تقاربيًّا إذا وقعت أقطاب تابع التحويل في النصف الأيسر من المستوي العقدي، أي إذا جرت المحافظة على بقاء قيمة المركبة الحقيقية للأقطاب سالبة، أي:

في هذه الحالة، تنتهي استجابة النظام إلى الصفر مع تزايد الزمن إلى اللانهاية.

• الاستقرار الهامشي marginal stability:

تكون المنظومة مستقرة هامشيًّا إذا وُجدت أقطاب على المحور التخيلي من تعددية واحدة (قطب مضاعف)، وبقية الأقطاب في النصف الأيسر من المستوي العقدي. وفي هذه الحالة لا تنمو الاستجابة الطبيعية للنظام ولا تضمحل، بل تبقى ثابتة أو تهتز بمطال ثابت.

ملاحظة1: في الاستقرار الهامشي، يُفترض ضمناً توافق أي من أقطاب نظام التحريض مع أيٍّ من أقطاب التابع على المحور التخيلي. وفي الحالة المعاكسة يكون النظام غير مستقر.

وعلى سبيل المثال، المعادلة (6):

ليكن و، فإن:

ومن ثمّ يكون النظام غير مستقر. وبالمثل في حالة الأقطاب المترافقة على المحور التخيلي، يكون:

و

وبالتالي فإن معادلة الخرج تعطى بالمعادلة:

ومن ثمّ يكون النظام غير مستقر.

-ملاحظة 2: في بعض الحالات الخاصة يراد للنظام أن يكون مستقرًا هامشيًّا: على سبيل المثال، في حالة (H(s) = K/s) أو المهتز .وبخلاف هذه الحالة يقال عادةً إن النظام مستقر (وإن كان مستقرًا هامشيًّا).

- عدم الاستقرار:

يكون النظام غير مستقر إذا كان لديه قطب واحد على الأقل في النصف الأيمن من المستوي العقدي، أو لديه أقطاب على المحور التخيلي بتعددية أكبر من الواحد. في هذه الحالة تنتهي استجابة النظام الطبيعي إلى اللانهاية إذا سعى الزمن إلى اللانهاية.

-تمثيل المنظومات بمصفوفة الاستجابة النبضية:

لتوصيف المنظومات بمصفوفة استجابتها النبضية يُربَط شرط مقارب الاستقرار بالقيمة المطلقة لكل عنصر، أو بتكامل القيمة المطلقة لكل عنصر من .

يوصف النظام اللامتغير مع الزمن في نطاق الزمن انطلاقًا من مصفوفة الاستجابة النبضية باعتباره خطيًّا كما في المعادلة (10):

-الاستقرار التقاربي:

يكون النظام مستقرًا تقاربيًّا إذا تحقق الشرط كما في المعادلة (11):

حيث A هو العنصر المنتهي الثابت الموجب، و هو العنصر (i,j) من مصفوفة الاستجابة .

-الاستقرار الهامشي:

يكون النظام مستقرًا هامشيًّا إذا احتُفظ بالشرط التالي المعادلة (12):

حيث B رقم منتهٍ موجب.

ملاحظة: في الاستقرار الهامشي يُفترض ضمنًا توافق أي من أقطاب نظام التحريض مع أيٍّ من أقطاب التابع على المحور التخيلي. وفي الحالة المعاكسة يكون النظام غير مستقر.

-عدم الاستقرار

يكون النظام غير مستقر وإن لم يحقق عنصر واحد من لـ شرط الاستقرار.

توصيف آخر للاستقرار: يكون النظام مستقرًا ويكون محدود الدخل والخرج bound-in, bound out (BIBO) إذا كان خرجه محدودًا لأيِّ دخل محدود. وهذا التعريف أعمّ من التعريفات السابقة بقطع النظر عن كون النظام خطيًّا أو لا متغيرًا زمنيًّا.

يمكن تفسير استقرار الأنظمة الوحيدة الدخل والوحيدة الخرج (SISO) وفق التعريف (BIBO) كما يلي:

بافتراض أن الدخل محدود لكلِّ حيث C1 هو عنصر منتهٍ ثابت، وبافتراض أن استجابة النظام محدودة أيضًا مقابل هذا الدخل لكلِّ ، حيث C2 هو عنصر منتهٍ ثابت، يقال إن النظام مستقر استقرارًا محدود الدخل محدود الخرج (BIBO) إذا كانت مخارج النظام الموافقة محدودة لجميع المداخل المحدودة الممكنة.

مثال:

دراسة استقرار نظام موصف في فضاء الحالة، حيث:

الحل :

يكون شعاع الحالة لكلّ (المعادلة 13):ِ

ويكون شرط الاستقرار التقاربي للشعاع x(t) (المعادلة 14):

وهو كافٍ ليكون النظام مستقرًا هامشيًّا لأن لكلِّ و

إن مميزة متعدد الحدود للنظام هي (المعادلة 15):

والقيم الخاصة للمصفوفة A تساوي -1 و -2، وكلاهما يقع في النصف الأيسر من المستوي العقدي، لذلك يعدّ النظام مستقراً تقاربيًّا.

وتعطى الاستجابة النبضية للنظام وفق المعادلة (16):

حيث M هي مصفوفة تحويل المصفوفة A إلى الشكل القطري (المعادلتان 17 و 18).

بتطبيق شرط الاستقرار التقاربي (المعادلة 19):

يكون النظام مستقرًا تقاربيًّا.

عند تحريض النظام بدخل محدود يكون خرجه (المعادلة 20):

ومن ثمَّ يكون النظام مستقرًا استقرارًا محدود الدخل ومحدود الخرج BIBO.

معايير (شروط) الاستقرار

وهي معايير تقدِّم المعلومات ذات الصلة المباشرة بشأن استقرار النظام من دون تطبيق تعريفات الاستقرار ومن دون الحاجة إلى إجراءات عددية معقدة. والمعايير الأكثر انتشارًا هي:

1 -المعايير الجبرية:

تكون متاحة مع إعطاء معلومات تتعلق بتوضع جذور كثير الحدود في النصف الأيسر أو الأيمن للمستوي العقدي. منها: معيارا روث Routh وهورفيتز Hurwitz اللذان يُستعملان لدراسة استقرار الحلقات المغلقة مباشرة من دون اللجوء إلى توابع تحويل للدارة المفتوحة.

-معيار نايكويست Nyquist

يشير إلى استقرار أنظمة الحلقة المغلقة، ويستند إلى مخطط نايكويست لتابع تحويل الحلقة المفتوحة.

-معيار بود Bude:

هو أساسًا معيار نايكويست الذي جرى توسيعه ليشمل مخططات بود لتابع تحويل الحلقة المفتوحة.

-معيار نيكولز Nichols:

هو أساسًا معيار نايكويست الذي جرى توسيعه ليشمل مخططات نيكولز لتابع تحويل الحلقة المفتوحة.

-معيار توضع الجذور:

طريقة تحديد توضع جذور متعدد الحدود المميز لنظام الحلقة المغلقة عندما يتغير واحد أو أكثر من مُوسطات parameters النظام (ثوابت ربح النظام).

-معيار ليابونوف Lyapunov:

يستند إلى خصائص توابع ليابونوف للنظام، ويمكن تطبيقه على الأنظمة الخطية واللاخطية.

استقرار المنظومات اللاخطية

• الاستقرار وفق معنى ليابونوف:

تستند مقاربة ليابونوف إلى المعادلات التفاضلية التي تصف النظام وتقدم معلومات عن استقراره من دون اشتراط حل المعادلات.

يمكن تجميع نتائج ليابونوف في طريقتين أساسيتين: طريقة ليابونوف الأولى والثانية.

يُعطى توصيف النظام في فضاء الحالة بالنموذج الرياضي التالي (المعادلة 21).

حل المعادلة:

تعريف توازن النظام:

يسمى الشعاع بحالة توازن النظام

إذا حقق العلاقة لجميع قيم t.

لتحديد حالات التوازن ليس من الضروري حل المعادلات الديناميكية ، ولكن ينبغي حل المعادلات الجبرية فقط.

عندما يكون النظام خطيًّا غير متغير مع الزمن - أي - فإن هناك حالة توازن وحيدة عندما يكون ، وله عدد لانهائي من حالات التوازن عندما يكون .

عندما يكون النظام غير خطي توجد حالة واحدة أو أكثر من حالات التوازن. ويمكن إزاحة كل حالة توازن عن مبدأ الإحداثيات باستخدام التحويل المناسب بحيث تكون حالة التوازن الجديدة محققة للشرط لجميع قيم t.

تعريف الاستقرار

تكون حالة التوازن للنظام

مستقرة إذا توافر لأيِّ رقم حقيقي رقمٌ حقيقي، فإذا كان فإن لجميع قيم t.

إذا لم تعتمد على تكون حالة التوازن مستقرة بانتظام.

يوضح الشكل (2) حالة توازن النظام بوجود متغيرين. يمكن تمييز المناطق و داخل الدائرتين اللتين مركزهما وأنصاف أقطارهما و .

تتكون المنطقة من جميع النقاط التي تحقق الشرط .

لأيِّ يوجد بحيث - انطلاقًا من الحالة الابتدائية التي تمتد داخل -يكون مسار محتوى داخل .

الشكل (2): حالة التوازن المستقرة

تعريف الاحتواء

يكون الحل للنظام

محتوى داخل إذا كان هناك لكلِّ ثابت، بحيث إذا تحقق فإن لكل ِّ. وإذا لم يعتمد على كان الحل محتوى داخل بانتظام.

تعريف الاستقرار التقاربي

تكون حالة التوازن للنظام

مستقرة تقاربيًّا إذا كان النظام مستقرًا، وإذا كان الحل قريباً بما فيه الكفاية من ويتقارب من كلما ازداد الزمن.

-طريقة ليابونوف الأولى، الطريقة غير المباشرة:

تستند طريقة ليابونوف الأولى إلى تقريب المعادلة التفاضلية غير الخطية من المعادلة التفاضلية الخطية.

يجري تنفيذ التقريب لكل حالة توازن على حدة، واستنتاج المحافظة على الاستقرار في منطقة صغيرة حول حالة التوازن المعينة فقط؛ لهذا السبب تكون طريقة ليابونوف الأولى ذات قيمة محدودة.

بافتراض أن النظام غير خطي، وبنشر العلاقة وفق سلسلة تايلور حول النقطة تُكتب العلاقة (23):

تنطوي المصفوفة على أطراف من الدرجة العالية. وإذا كانت هي نقطة التوازن، ينجم عن ذلك أن. وإذا كانت فإن

ويكون التقريب الأول:

وتستند طريقة ليابونوف الأولى إلى النظرية التالية: إذا كانت جميع القيم الخاصة للمصفوفة A تحتوي على أجزاء حقيقية غير صفرية يمكن استخلاص الاستنتاجات المتعلقة باستقرار النظام اللاخطي في جوار من دراسة استقرار النظام الخطي .

لقد خفضت نظرية ليابونوف الأولى مشكلة دراسة استقرار الأنظمة غير الخطية إلى طرق راسخة لدراسة استقرار النظم الخطية.

- طريقة ليابونوف الثانية، الطريقة المباشرة:

تستند طريقة ليابونوف الثانية إلى المفهوم التالي: إذا كان للنظام حالة توازن فإن الطاقة الكليّة المخزّنة في النظام تضمحل مع الزمن إلى أن تصل إلى قيمتها الدنيا عند حالة التوازن ؛ لذا يتطلب تحديد استقرار النظام الخطي أو اللاخطي تحديد التابع السلّمي الذي يسمى تابع ليابونوف.

تعريف التوازن

يحقق تابع ليابونوف اللامتغير مع الزمن - المصمّم باستعمال - الشروط التالية لكل ولكل قيم في جوار النقطة التي تمثل نقطة التوازن:

1 - يكون التابع ومشتقاته الجزئية معرفة ومستمرة.

2 -

3 - لكل

4 - لكل قيم

حيث

نظرية الاستقرار:

بما أن النظام معطى بالعلاقة (25):

وبافتراض أن تابع ليابونوف يمكن أن يكون محددًا لهذا النظام تكون حالة التوازن مستقرة تقاربيًّا فيقال عندئذٍ إن النظام مستقر بمفهوم ليابونوف.

نظرية تابع ليابونوف

بافتراض النظام الخطي اللامتغير مع الزمن هو: حيث و، وبافتراض التابع السلّمي، حيث P هي مصفوفة متناظرة حقيقية محددة موجبة، يكون هو تابع ليابونوف للنظام إذا- وفقط إذا- لأيِّ مصفوفة متناظرة حقيقية محدّدة موجبة Q وُجدت مصفوفة متناظرة حقيقية محددة موجبة P بحيث تكون العلاقة (26) محققة:

مثال:

بافتراض النظام الخطي حيث:

المطلوب تحديد تابع ليابونوف للنظام.

الحل:

بافتراض أن للتبسيط، فإن

باعتبار

الاستقرار: (المعادلة 27)

تنتج المصفوفة (المعادلة 28):

ويكون تابع ليابونوف (المعادلة 29):

يجري تحري باستخدام التعريف . ويُحقق الشروط الثلاثة الأولى لتعريف التوازن.

أما الشرط الرابع فإن (المعادلة 30):

يحقق الشرط الرابع. ومن ثمّ، يكون هو تابع ليابونوف، والنظام مستقر تقاربيًّا.

- طريقة بوبوف:

يمكن تمثيل العديد من الأنظمة الفيزيائية اللاخطية بتغذية خلفية تربط النظام الخطي الديناميكي والعنصر اللاخطي.

الشكل (3): تمثيل الأنظمة اللاخطية

تعتمد إجرائية تمثيل نظام بهذا الشكل على النظام الخاص المعني حيث لا توجد صعوبة في تمثيل النظام بشكل تغذية خلفية في الحالة التي يحتوي فيها نظام التحكم على عناصر لاخطية فقط. والغريب هو استخدام الاستجابة الترددية للنظام الخطي المستندة إلى أدوات التحكم التقليدية مثل مخطط نايكويست ومعياره.

يقال إن النظام مستقر بالمطلق إذا كان لديه نقطة توازن مستقرة تقاربيًّا وموحدة بشكل شامل، وتقع في مبدأ الإحداثيات لكل اللاخطيات في القطاع المعني.

تُعطي دائرة بوبوف ومعاييره للنطاق الترددي الشروط الكافية للاستقرار بصفة إيجابية دقيقة وحقيقية لتوابع النقل المؤكدة.

يمكن تطبيق هذين المعيارين بيانيًّا في حالة نظام وحيد الدخل-وحيد الخرج.

دراسة سلوك نظام ممثل بمعادلات الحالة بافتراض أن الدخل r = 0: (المعادلة 31)

حيث قابلةللتحكم و(A,C) قابلة للرصد، والتابع من دون ذاكرة المتغير مع الزمن، واللاخطي، والمتقطع باستمرار.

تعريف انتماء تابع من دون ذاكرة:

يقال عن التابع من دون ذاكرة

إنه ينتمي إلى القطاع:

1- إذا كان

2- إذا كان

3- مع إذا كان

الشكل (4): قطاع التابع من دون ذاكرة

تعريف الاستقرار المطلق Absolate stability:

يقال إن نظام الدارة المغلقة مستقر استقرارًا مطلقًا في القطاع إذا كان مبدأ الإحداثيات موحدًا بشكل شامل ومستقرًا تقاربياً لمجمل اللاخطية الموجودة في القطاع المعني، ويكون مستقرًا استقرارًا مطلقًا في النطاق المنتهي إذا كان موحدًا ومستقرًا تقاربياً.

معيار بوبوف:

يمكن تطبيق معيار بوبوف إذا تحققت الشروط التالية:

1- يحقق التابع اللاخطي الثابت مع الزمن شرط القطاع .

2- يحقق التابع اللاخطي الثابت مع الزمن الشرط .

3- مع

4- توضع أقطاب في الجزء الأيسر من المستوي أو على المحور التخيلي.

5- استقرار النظام هامشيًّا في الحالة الشاذة

نظرية الاستقرار المطلق:

يكون نظام الحلقة المغلقة مستقرًا استقرارًا مطلقًا إذا كان: حيث ، وكان الثابت q يحقق العلاقة (32):

التفسير البياني:

يُعرف مخطط بوبوف P بالعلاقة (33):

يكون نظام الحلقة المغلقة مستقرًا استقرارًا مطلقًا إذا وقع P إلى يمين الخط الذي يقطع النقطة بميل.

الشكل (5): دالة استقرار المنحني الترددي لتابع التحويل

• مثال:

بافتراض نظام من الدرجة الثانية (المعادلة 34):

المطلوب رسم دالة استقرار النظام.

يأخذ هذا النظام الشكل المصفوفي المطلوب لاستخدام معيار بوبوف إذا كانت ، ومن ثمّ ، حيث :

بافتراض أن تنتمي إلى القطاع ، حيث ، ثم

تنتمي إلى القطاع ، حيث، يأخذ شرط بوبوف الصيغة (35)

تكون هذه المتراجحة محققة لجميع القيم و k المنتهية الموجبة، باختيار.

حتى عند، تكون المتراجحة السابقة محققة لجميع قيم. وهكذا يكون النظام مستقرًا استقرارًا مطلقًا لكل اللاخطية في القطاع ، حيث تكون صغيرة اعتباطيًّا.

يبيّن الشكل (6) مخطط بوبوف لـ في حالة ، حيث يقارب مخطط بوبوف الخط المائل بميل يساوي الواحد عند مبدأ الإحداثيات من الجانب الأيمن. لذلك فإنه يمتد إلى يمين أي خط بميل أقل من الواحد، ويقطع المحور الحقيقي في المبدأ ويتقارب كلما اتجهت نحو .

الشكل (6): دالة استقرار المنحني الترددي للنظام

•معيار الدائرة:

عند السماح بأن تكون النظم اللاخطية متغيرة مع الزمن فإن معيار بوبوف لا يعود قابلاً للتطبيق. ويعطي معيار الدائرة الأداة لتحليل الاستقرار المطلق للاخطية المتغيرة مع الزمن.

يُعرَّف ليكون قرصًا مغلقًا في المستوي العقدي الذي قطره القطعة المستقيمة التي تربط النقاط و .

الشكل (7)

وبافتراض أن النظام سلّمي (المعادلة 36):

حيث هي تحقيق الحد الأدنى لـ G(s) و . يكون النظام مستقرًا استقرارًا مطلقًا إذا تحقق أحد الشروط التالية بحسب الاقتضاء:

1-إذا كان فلا يُدخل مخطط نايكويست لـ القرص ولا يحيطه m مرة في اتجاه عكس عقارب الساعة، حيث m هو عدد أقطاب مع الأجزاء الحقيقية الموجبة.

2-إذا كان فإن يكون مستقرًا وفق هورفيتزو وينتمي مخطط نايكويست لـ إلى يمين الخط العمودي المعرف بـــ .

3-إذا كان فإن يكون مستقرًا وفق هورفيتز، وينتمي مخطط نايكويست لـ إلى داخل القرص .

إذا تحقق شرط القطاع فقط في المجال [a,b] فإن الشروط المذكورة آنفًا تضمن أن النظام مستقر استقرارًا مطلقًا في نطاق منتهٍ

مراجع للاستزادة: - P. Kundur, Definition, Classification of Power System Stability, IEEE Trans on power system, vol. 19, nb 2, 2004. - P. N. Paraskevopoulos, Modern Control Engineering, 2002.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

- التصنيف : هندسة التحكم والأتمتة - النوع : هندسة التحكم والأتمتة - المجلد : المجلد الثاني مشاركة :