الهندسة الجبرية

هندسه جبريه

Algebraic geometry - Géométrie algébrique

الهندسة الجبرية

الهندسة الجبرية algebraic geometry أحد فروع الجبر الذي يهتم بدراسة الأشكال الهندسية بوساطة المفاهيم والنظريات الجبرية المألوفة، وتعطي الهندسة الجبرية وصفاً للأشكال الهندسية وخواصها بوساطة علاقات جبرية في فضاء الإسقاط.

كانت هناك عدة مقاربات للهندسة، وتصنَّف كلها عادةً باسم هندسة جبرية، وذلك في نهاية القرن التاسع عشر. وقد عمل لازار كارنوLazare Carnot  ت(1753-1823) عملاً نُسِبَ إلى الهندسة الجبرية، وهو عن المنحنيات الجبرية وتقاطعها مع أضلاع مثلث، ولكن هذا المفهوم تطور كثيراً في النصف الثاني من القرن التاسع عشر. تُعرف الهندسة الجبرية بأنها هندسة زمرتها «كوهومولوجية»، أما المقاربات الأحدث فقد انطلقت من عمل واحد قام به غيورغ ف.ب. ريمان[ر]Georg F.B. Riemann  ت(1826-1866)، فإضافة إلى منشورات ريمان الهندسية المعروفة، كان هناك عمل في نظرية الدوال العقدية، ولاسيما تلك المرتبطة بمفهوم سطح ريمان الذي ورد في بحثه الكلاسيكي حول الدوال الآبلية Abelian functions.

في البدء بذل ألفرد كلبشAlfred Clebsch  ت(1833-1872) (مؤسس الهندسة الجبرية والحفيد الرياضي لجاكوبي) كل جهده للاستفادة من نظرية ريمان في الدوال لأغراض هندسية.

لفت كلبش الانتباهَ إلى موضوع الهندسة الجبرية في بحثه عن تطبيق الدوال الآبلية على الهندسة. كانت تلك بداية التصدي لموضوع الهندسة الجبرية في ثلاثة اتجاهات .

انطلق كلبش في البدء من مجرد تطبيق نظرية ريمان الهندسية في الدوال العقدية على دراسة المنحنيات الجبرية، وقد توصل إلى تصنيف المنحنيات بأنواعها، ولاحظ وجود أنواع جزئية لمنحنيات لها النوع نفسه؛ ولكنها تملك نقاط تفرع مختلفة. وكان الاتجاه الثاني هو بناء الدوال الآبلية على قاعدة من الهندسة الجبرية. وفي الاتجاه الثالث استعان بالتكاملات الثنائية على أمل الحصول على نتائج من التماثل مع تطبيق التكاملات الآبلية على دراسة المنحنيات، وقد كانت هذه الدراسات حسب رأي الجبريين أساساً لنظرية الهندسة الجبرية، علماً أنها تراوح بين النجاح الجزئي والكلي، وأحياناً تُمنى بالإخفاق نتيجة التعقيدات الهندسية.

وفي عام 1882 ظهر عملان حددا بغفلة من الرياضيين ملامح اتجاهات السير في القرن العشرين لنظرية الهندسة الجبرية. كان أحدهما دراسة عميقة قام بها كرونكر Kronecker، عالج فيها وضع نظرية الأعداد للكميات الجبرية، فكان لهذا البحث الصعب وقع الصرخة على الجبريين ومنظري نظرية الأعداد. وكان الثاني عملاً مشتركاً بين ديديكند Dedekind وفيبر Fieber عن نظرية الدوال الجبرية، فقد استخدما النظرية الجبرية التي وضعها ديديكند في دراسته الأعداد الجبرية؛ لكي يزيح عمل ريمان في مجال نظرية الدوال عن أساسها الهندسي. وقد أتاحت لهما هذه المحاولة تعريف أقسام من سطح ريمان بطريقة جبرية بحيث أمكن عده صامداً تجاه حقل من الدوال الجبرية. لقد أفضت الطريقة الجبرية الخالصة إلى فتح طريق جديد نحو هندسة جبرية ما بعد الريمانية. وقد بيّن فعلياً أن هذا الطريق هو من أكثر المسالك المثمرة التي اتبعها الباحثون في القرن العشرين.

تعتمد الهندسة الجبرية على دراسة:

1- المتنوعات الجبرية التآلفية affine algebraic variety لحقل مغلق جبرياً وليكن F، وتعرف على أنها مجموعة جزئية مغلقة وغير حلولة في الفضاء Aⁿ. أيّ مجموعة جزئية مفتوحة منها تسمى شبه متنوعة تآلفية quasi-affine variety حيث Aⁿ مجموعة مؤلفة من n عنصراً من F، فإذا كان P Î Aⁿ فإن: P = (a₁, a₂, …, a_n)

حيث ai Î F وi = 1. 2. ….  n وتسمىa_i  إحداثيات P.

2- المجموعات الجبرية algebraic sets: المجموعات الجزئية Y من Aⁿ تسمى مجموعة جبرية، إذا وجدت مجموعة جزئية، ولتكن A ⊇ T بحيث يتحقق:

Y=Z(T) ={P Î Aⁿ : f (P)= 0; for all f Î T}

3- «طبولوجيا» زاريسكي Zariski Topology: وهي «طبولوجيا» على An مغلقاتها هي المجموعات An الجبرية، كما أن مفتوحة زاريسكي هي المتممة في An لمجموعة جبرية. ويعدّ أوسكار زاريسكي الأمريكي من أصل روسي أول من جدد طرق الهندسة الجبرية التي أبدعها اينريك وسيلفسترJ.J.Sylvester  ت(1817-1897) وغيره.

4- الجبر «الكوهومولوجي» و«الهومولوجي» Cohomology & homological algebra:

ترتبط نظرية الجبر «الهومولوجي» و«الكوهومولوجي» بالهندسة الجبرية ارتباطاً وثيقاً. حيث تسمح نظرية الجبر «الهومولوجي» و«الكوهومولوجي» بقياس أسلوب انحراف خواص الفضاءات المتجهية الحلقية عن الفضاءات المتجهية، كما أن أهم الموضوعات الرئيسية «للهومولوجيا» هو دراسة الدوال التامة وعلاقتها مع الدوال الجبرية. كما أن «الكوهومولوجيا» تعد وسيلة نافعة جداً لفهم النتائج المهمة في نظرية ريمان - روخ، وهذه النظرية تستخدم لدراسة السطوح والمنحنيات الجبرية.

يمكن القول: تهدف الهندسة الجبرية إلى إيجاد حلول لنظام حدوديات تآلفي أو للفضاء الإسقاطي في n بعد، وفي تصنيف المتنوعات الجبرية وفي مطابقة الفضاءات الجزئية المناسبة لصفوف التنطيق بحيث تكون المتنوعات الإسقاطية (أو التآلفية) غير شاذة ثم تصنيفها.

للهندسة الجبرية تطبيقات عديدة في نظرية السطوح الجبرية وفي دراسة شذوذ السطوح شبه المتجانسة ذات المميز الموجب وفي نظرية التقاطعات.

صفوان عويرة

- S. AAUIRA, Schwach quasihomogene Hyperflachemsingularitaten in positiver Charakteristik (Berlin 1989).

- R. HARTSHORNE, Algebraic Geometry (California 1977).

- S. IITAKA, Algebraic Geometry (New York 1981).

التصنيف : الرياضيات و الفلك

النوع : علوم

المجلد: المجلد الواحد والعشرون

رقم الصفحة ضمن المجلد : 585

آخر أخبار الهيئة :

معجم المصطلحات

الأطلس الجغرافي

البحوث الأكثر قراءة

اصدارات الموسوعة العربية

أسماء الباحثين

هل تعلم ؟؟

• - هل تعلم أن الأبلق نوع من الفنون الهندسية التي ارتبطت بالعمارة الإسلامية في بلاد الشام ومصر خاصة، حيث يحرص المعمار على بناء مداميكه وخاصة في الواجهات

• - هل تعلم أن الإبل تستطيع البقاء على قيد الحياة حتى لو فقدت 40% من ماء جسمها ويعود ذلك لقدرتها على تغيير درجة حرارة جسمها تبعاً لتغير درجة حرارة الجو،

• - هل تعلم أن أبقراط كتب في الطب أربعة مؤلفات هي: الحكم، الأدلة، تنظيم التغذية، ورسالته في جروح الرأس. ويعود له الفضل بأنه حرر الطب من الدين والفلسفة.

• - هل تعلم أن المرجان إفراز حيواني يتكون في البحر ويتركب من مادة كربونات الكلسيوم، وهو أحمر أو شديد الحمرة وهو أجود أنواعه، ويمتاز بكبر الحجم ويسمى الش

• هل تعلم أن الأبسيد كلمة فرنسية اللفظ تم اعتمادها مصطلحاً أثرياً يستخدم في العمارة عموماً وفي العمارة الدينية الخاصة بالكنائس خصوصاً، وفي الإنكليزية أب

• - هل تعلم أن أبجر Abgar اسم معروف جيداً يعود إلى عدد من الملوك الذين حكموا مدينة إديسا (الرها) من أبجر الأول وحتى التاسع، وهم ينتسبون إلى أسرة أوسروين

• - هل تعلم أن الأبجدية الكنعانية تتألف من /22/ علامة كتابية sign تكتب منفصلة غير متصلة، وتعتمد المبدأ الأكوروفوني، حيث تقتصر القيمة الصوتية للعلامة الك

شراء النسخة الورقية