قانون ذي الحدين

قانون ذي حدين

Binomial law - Loi de binôme

قانون ذي الحدين

قانون ذي الحدين binomial law، هو القانون الذي يعطي مفكوك القوة n لمجموع عددين a وb؛ حيث ينتمي n لمجموعة الأعداد الطبيعية N، (أي مفكوك (a + b)² حيث n ∈ N).

أول من درَس هذا الموضوع (حسب الوثائق المعروفة حالياً) هو العالم العربي أبو بكر محمد بن الحسين الكرجي (أو الكرخي) في القرن الحادي عشر الميلادي. وقد ذكر مفكوك القوة الثانية والثالثة والرابعة والخامسة، وعرف أن عدد حدود المفكوك للقوة n هو n +1. وأن الحدود هي من الشكل λ_i a^{n - i} bⁱ حيث λ_i هي أمثال الحد i؛ i = 0, …, n. أي أن

ثم أورد قاعدة لمعرفة أمثال المفكوك من أي مرتبة، كما ذكر السموءل بن يحيى بن عباس المغربي (توفي نحو سنة 570هـ/1175م) في كتابه «الباهر»:

«قال الكرجي: إذا أردت ذلك وضعت على التخت واحدًا وواحداً تحته، ثم نقلت الواحد إلى سطر آخر وضممت الواحد إلى الواحد الذي تحته يكون اثنين ووضعته تحته، ثم وضعت الواحد الآخر تحته فيصير واحداً واثنين وواحداً، ثم نقلنا الواحد من السطر الثاني إلى سطر آخر، وضممت الواحد إلى الاثنين يكون ثلاثة كتبناها تحت الواحد، وضممنا الاثنين إلى الواحد الذي تحتها فتصير ثلاثة، ثم وضعت الواحد الآخر تحته فيصير واحداً وثلاثة وثلاثة وواحداً» وهكذا. كما في الجدول التالي (المأخوذ من مخطوطة كتاب «الباهر»):

الذي يعطي أمثال مفكوك ذي الحدين حتى المرتبة الثانية عشرة، مثلاً:

     a + b)⁷ =   a⁷ + 7a⁶ b +21a⁵ b² + 35a⁴ b³ + 35a³ b⁴ + 21a² b⁵ + 7a b⁶ + b⁷⁾

وبرهان ذلك سهل باعتماد مبدأ الاستقراء الرياضي[ر]:

1) إن القضية محققة من أجل n = 2 إذ إن:

    a + b)² =  (a + b)  + (a + b) =  a²  + 2ab +  b²⁾

2) نفرض أن القضية صحيحة من أجل n = k، ولنبرهن على صحتها من أجل n = k + 1

     (a + b)^k+1 =  (a + b)^k  + (a + b)

     (a^k + a₁a^k-1b +...+ a₁a^k-1b +...+ a_k-1ab^k-1+ b^k)  (a + b) =

     a^k+1 + b₁a^kb +...+ b₁a^{k+1- i} bⁱ +...+ b_kab^k + b^k+1  =

حيث b₀=b_k+1و b_i=a_i+a_i-1حيث i = 1, …, k

ومن ثم فالقضية صحيحة دوماً، مهما تكن المرتبة n.

وبذا كان السبق للعالم العربي أبي بكر الكرجي في اكتشاف قانون ذي الحدين، واكتشاف الطريقة العملية لتحديد الأمثال من مثلث حدد خوارزمية تشكيله.

وجاء بعد ذلك العالم البريطاني إسحاق نيوتن [ر]  (1642-1727) I.Newton، وكتب القانون بالشكل:

فعرف باسم «قانون نيوتن» أو «قانون ذي الحدين» والبعض يدعوه «قانون الكرجي ـ نيوتن».

والأحق أن يدعى «قانون الكرجي» نسبة إلى أول من وضعه.

واستفاد العالم الفرنسي بليز باسكال[ر] (1623ـ1662) Blaise Pascal من ملاحظة أن

فأعاد تشكيل مثلث الأمثال معتمدًا الخوارزمية نفسها التي كتبها الكرجي، فعرف هذا المثلث باسمه «مثلث باسكال».

والأحق أن يدعى «مثلث الكرجي» نسبة إلى أول من وضعه.

مثال (1): بفرض a = 1 و b = x يكون:

فمثلاً عندما n = 10:

مثال (2): بفرض a = 1 و b = 1 يكون:

أنور توفيق اللحام

ـ السموءل المغربي، الباهر في الجبر، تحقيق صلاح الأحمد و رشدي راشد (منشورات وزارة التعليم العالي، دمشق 1972).

- D.W.JORDAN & P. SMITH¨ Math­ematical Techniques (Oxford University Bress 2002).

التصنيف : الرياضيات و الفلك

النوع : علوم

المجلد: المجلد الخامس عشر

رقم الصفحة ضمن المجلد : 175

آخر أخبار الهيئة :

معجم المصطلحات

الأطلس الجغرافي

البحوث الأكثر قراءة

اصدارات الموسوعة العربية

أسماء الباحثين

هل تعلم ؟؟

• - هل تعلم أن الأبلق نوع من الفنون الهندسية التي ارتبطت بالعمارة الإسلامية في بلاد الشام ومصر خاصة، حيث يحرص المعمار على بناء مداميكه وخاصة في الواجهات

• - هل تعلم أن الإبل تستطيع البقاء على قيد الحياة حتى لو فقدت 40% من ماء جسمها ويعود ذلك لقدرتها على تغيير درجة حرارة جسمها تبعاً لتغير درجة حرارة الجو،

• - هل تعلم أن أبقراط كتب في الطب أربعة مؤلفات هي: الحكم، الأدلة، تنظيم التغذية، ورسالته في جروح الرأس. ويعود له الفضل بأنه حرر الطب من الدين والفلسفة.

• - هل تعلم أن المرجان إفراز حيواني يتكون في البحر ويتركب من مادة كربونات الكلسيوم، وهو أحمر أو شديد الحمرة وهو أجود أنواعه، ويمتاز بكبر الحجم ويسمى الش

• هل تعلم أن الأبسيد كلمة فرنسية اللفظ تم اعتمادها مصطلحاً أثرياً يستخدم في العمارة عموماً وفي العمارة الدينية الخاصة بالكنائس خصوصاً، وفي الإنكليزية أب

• - هل تعلم أن أبجر Abgar اسم معروف جيداً يعود إلى عدد من الملوك الذين حكموا مدينة إديسا (الرها) من أبجر الأول وحتى التاسع، وهم ينتسبون إلى أسرة أوسروين

• - هل تعلم أن الأبجدية الكنعانية تتألف من /22/ علامة كتابية sign تكتب منفصلة غير متصلة، وتعتمد المبدأ الأكوروفوني، حيث تقتصر القيمة الصوتية للعلامة الك

شراء النسخة الورقية