الهندسة التفاضلية

هندسه تفاضليه

Differential geometry - Géométrie différentielle

الهَنْدَسَةُ التَّفَاضُليَّةُ

الهندسة التفاضلية differential geometry فرع من فروع الهندسة يُعنى بدراسة الأشكال الهندسية، وفي مقدمتها المنحنيات curves، والسطوح surfaces ومغلفات envelopes أسر المنحنيات والسطوح في الفضاءات الإقليدية واللاإقليدية استناداً إلى طرائق التحليل الرياضي، وفي مقدمتها حساب التفاضل، ويتم التركيز خصوصاً على الخصائص التفاضلية للأشكال الهندسية، وهي الخصائص الصامدة للحركة.

ارتبط ظهور الهندسـة التفاضلية ارتباطاً وثيقاً بظهور مفهوم الإحداثيات coordinates وتطورها في النصف الأول من القرن السابع عشر على يد ديكارت[ر] René Descartes ت(1596-1650) وپيير فيرما[ر]Pierre Fermat  ت(1601-1665). وتلا ذلك ظهور بعض المفاهيم المندرجة ضمن الهندسة التفاضلية، مثل المماس tangent والتماس contact والتقوس curvature والمنشور (منشئ المنحني) evolute والخطوط «الجيوديزية» geodesical lines في أعمال كل من نيوتن[ر]I. Newton  ت(1643-1727) وليبنتز[ر]G. Leibniz  ت(1646-1716) والأخويـن بـرنولي  Jacob & Johann Bernoulli  ت(1654-1705) (1667-1748).

جاءت المساهمة الكبرى في ميدان الهندسة التفاضلية في القرن الثامن عشر على يد أولر[ر] L. Euler  ت(1707-1783) الذي عيّن التمثيل الوسيطي للمنحني، وحدد المتجهات الأساسية للسطوح، كما أدخل مفهوم الالتواء، وأثبت جملة من المبرهنات المهمة. وقد نُشر في عام 1795 أول مؤلف مجمل في الهندسة التفاضلية أعده مونجG. Monge  ت(1746-1818).

كان القرن التاسع عشر أهم محطة في تطور الرياضيات عامة والهندسة التفاضلية خاصة. ففي عام 1826 أثبت لوباتشيڤسكي N. Lobachevsky ت(1792-1856) وجود فضاءات أخرى (الفضاءات الزائدية) مختلفة عن فضاء إقليدس الذي بقي حقبة طويلة جداً الفضاء الوحيد الذي تقوم الدراسات على أساسه. وفي عام 1827 قام غوص C. Gauss  ت(1777-1855) في مؤلفه «دراسة عامة للسطوح المنحنية» بصياغة مفهوم هندسة السطوح وتطويرها. كما أوجد الشكلين التربيعيين الأول والثاني للسطح. واستناداً إلى «الهندسة الزائدية» - المكتشفة من قبل غوص ولوباتشيڤسكي على نحو أساسي - قام ريمان[ر] G.Riemann ت(1826-1866) عام 1854 بوضع تصور لفضاءات جديدة (الفضاءات الناقصية)، سميت فيما بعد فضاءات ريمان. وتطورت هندسة هذه الفضاءات في النصف الثاني من القرن الثامن عشر تطوراً ملحوظاً، ووجدت تطبيقات مهمة لها في الميكانيك والنظرية النسبية.

تطورت الهندسة التفاضلية - من جهة أخرى - بارتباطها بنظرية الزمر، ففي عام 1872 عرّف كلاينCh. Klein  ت(1849-1925) في بحثه «برنامج إيرلانغ» الهندسة بأنها نظرية لامتغيرات زمر التحويلات المستمرة، ثم بنى ماريوس س.ليMarius S. Lie  ت(1842-1899) نظرية هذه الزمر التي سميت فيما بعد بزمر لي.

في بداية القرن العشرين أخذ تطور الهندسة التفاضلية منحى جديداً تمثل بالانتقال من دراسة الأشكال الهندسية في أجزاء صغيرة منها (في جوارات ما من الشكل المدروس) إلى دراسة هذه الأشكال عموماً. ومن هنا أصبحت «الطوبولوجيا» ونظرية زمر لي تؤديان دوراً أساسياً في الهندسة التفاضلية. وبهذا حلت المتعددات التفاضلية ذات البعد n وما يُعرَّف عليها من البنى الهندسية محل المنحنيات والسطوح التي كانت الموضوعات الأساسية للهندسة التفاضلية التقليدية، وأبرز دور في تطور هذه الهندسة قام به الرياضي الفرنسي كارتانJ. Cartan  ت(1869-1951)، ومن بعده العلماء الروس والسوڤييت.

ومن الموضوعات التي تدرسها الهندسة التفاضلية:

نظرية المنحنيات في R³:

تدرس المنحنيات النظامية في نظرية المنحنيات theory of curves. وهي التي يمكن تعيينها موضعياً بمعادلات وسيطية من الشكل:

x = x(t)¨ y = y(t)¨ z = z(t)

حيث:

x(t)¨ y(t)¨ z(t)¨

دوال قابلة للمفاضلة بالنسبة إلى الوسيط t.

1- التمثيل الوسيطي للمنحني:

يدعى التطبيق:

منحنياً وسيطياً من الصف C^k (k > 0)، ويرمز له بـ (I¨ r(t)) إذا كانت الدوال x(t)¨ y(t)¨ z(t) قابلة للمفاضلة k مرّة، حيث I مجال مفتوح من المحور الحقيقي R، وr (I) Ì R³ حامل المنحني الوسيطي. يكون المنحني (I) نظامياً إذا كان  " t Î I^.. r¢ (t) ¹ 0في الحالة الخاصة:

يكون: x = x(s)¨ y = y(s)¨ z = z(s) تمثيلاً طبيعياً للمنحني، حيث الوسيط الطبيعي s = s (t) هو طول قوس المنحني، ويعطى بالعلاقة:

2- طرق تعيين المنحني

أ- المنحنيات المستوية: هي التي تقع بكاملها في المستوي. يتعين المنحني (I¨ r(t)) وسيطياً بالمعادلتين:x = x(t)¨ y = y(t)

وحامله r (I) مجموعة مفتوحة. ينطبق المنحني على حامله إذا كان بسيطاً. ويتعين ديكارتياًً إما بالشكل الظاهري: y = f(x) حيث f دالة تشكيل وقابلة للمفاضلة على المجال I وخطها البياني:

 C = {(x¨ f(x)) Î R²| x Î I} هو منحنٍ بسيط يقبل التمثيل الوسيطي الآتي: x = t¨ y = f(t). أو ضمنياً بـ: F = F (x¨ y) حيث F دالة قابلة للمفاضلة، والمنحني هو المجموعة

C = {(x¨ y) Î R²| F (x¨ y) = 0 grad F = {∂¨ F¨ ∂¨ F} ≠ 0}

وعموماً (grad F = 0) مجموعة مغلقة جزئية من المستوي oxy.

ب- المنحنيات الفراغية: هي المنحنيات التي لا يمكن أن تقع بكاملها داخل المستوي. يتعين المنحني الفراغي وسيطياً بـ x = x(t)¨ y = y(t)¨ z = z(t). وهذا التمثيل إما أن يكون لكامل المنحني وإما لجوار نقطة اختيارية منه؛ أو ديكارتياً بالشكل الضمني الآتي:

F = F (x¨ y¨ z). G = G (x¨ y¨ z)

حيث F. G دالتان قابلتان للمفاضلة، والمنحني هو المجموعة:

C = {(x¨ y¨ z) Î R³| F (x¨ y¨ z) = 0¨ G (x¨ y¨ z) = 0}

شريطة أن تكون رتبة المصفوفة اليعقوبية

في كل نقطة من نقاط مساوية2.

3- المنحنيات الوسيطية في الفضاء الثلاثي

ليكن المنحني معيناً في الفضاء R³ بالمعادلات الوسيطية:

x = x(t)¨ y = y(t)¨ z = z(t)

أو بدلالة الوسيط الطبيعي S:

x = x(s)¨ y = y(s)¨ z = z(s)

إذا كانت الدوال السابقة من الصف C^k (حيث k ≥ 3)، عندها ترتبط بهذا المنحني في النقطة الموافقة لـ t = t₀ (أو لـ S₀ = S(t₀)) مفاهيم مهمة أبرزها:

متجه واحدة المماس T:

المستقيم المماس هو المستقيم المار من النقطة r (t₀) والموازي لـ T. والمستوي الناظم هو المستوي المار من r (t₀) والمتعامد مع T.

التقوس k: هو قياس ميل المنحني عن المماس (الشكل-1)، أو قياس سرعة تغيّر منحى المنحني (الشكل-2)، ويساوي طويلة متجه التقوس K = T˙ = r^.. :

نصف قطر التقوس للمنحني هو العدد

مثال: المستقيم هو منحنٍ تقوسه معدوم، وكل منحنً تقوسه معدوم هو مستقيم.

متجه واحدة الناظم الأساسي

المستقيم الناظم الأساسي هو المستقيم المار من النقطة r (t₀) والموازي لـ N. والمستوي الملاصق هو المستوي المار من r (t₀) والموازي للمتجهين T ¨ N.

متجه واحدة ثنائي الناظم B هو B = T ^ N.

المستقيم ثنائي الناظم هو المستقيم المار من r (t₀) والموازي لـ B. والمستوي المار من هذه النقطة والموازي للمتجهين B¨ T هو المستوي المقوِّم.

الالتفاف τ: هو معدل تغير منحى متجه واحدة ثنائي الناظم:

معادلات فرينيه: تسمى الثلاثية المتعامدة (T¨ N¨ B) ثلاثية فرينيه، أما معادلاته فهي:

T ˙ = kN ¨  N ˙ = - kT + τB¨ B˙ = τN

تستخدم هذه المعادلات استخداماً واسعاً في الهندسة التفاضلية

عصام آصف ديبان

الهندسة التحليلية ـ الهندسة اللاإقليدية.

- RICHARD W. SHARP, Differntial Geometry (Sprimger 1997).

التصنيف : الرياضيات و الفلك

النوع : علوم

المجلد: المجلد الواحد والعشرون

رقم الصفحة ضمن المجلد : 583

آخر أخبار الهيئة :

معجم المصطلحات

الأطلس الجغرافي

البحوث الأكثر قراءة

اصدارات الموسوعة العربية

أسماء الباحثين

هل تعلم ؟؟

• - هل تعلم أن الأبلق نوع من الفنون الهندسية التي ارتبطت بالعمارة الإسلامية في بلاد الشام ومصر خاصة، حيث يحرص المعمار على بناء مداميكه وخاصة في الواجهات

• - هل تعلم أن الإبل تستطيع البقاء على قيد الحياة حتى لو فقدت 40% من ماء جسمها ويعود ذلك لقدرتها على تغيير درجة حرارة جسمها تبعاً لتغير درجة حرارة الجو،

• - هل تعلم أن أبقراط كتب في الطب أربعة مؤلفات هي: الحكم، الأدلة، تنظيم التغذية، ورسالته في جروح الرأس. ويعود له الفضل بأنه حرر الطب من الدين والفلسفة.

• - هل تعلم أن المرجان إفراز حيواني يتكون في البحر ويتركب من مادة كربونات الكلسيوم، وهو أحمر أو شديد الحمرة وهو أجود أنواعه، ويمتاز بكبر الحجم ويسمى الش

• هل تعلم أن الأبسيد كلمة فرنسية اللفظ تم اعتمادها مصطلحاً أثرياً يستخدم في العمارة عموماً وفي العمارة الدينية الخاصة بالكنائس خصوصاً، وفي الإنكليزية أب

• - هل تعلم أن أبجر Abgar اسم معروف جيداً يعود إلى عدد من الملوك الذين حكموا مدينة إديسا (الرها) من أبجر الأول وحتى التاسع، وهم ينتسبون إلى أسرة أوسروين

• - هل تعلم أن الأبجدية الكنعانية تتألف من /22/ علامة كتابية sign تكتب منفصلة غير متصلة، وتعتمد المبدأ الأكوروفوني، حيث تقتصر القيمة الصوتية للعلامة الك

شراء النسخة الورقية