ميكانيك تحليلي

Analytical mechanics - Mécanique analytique

الميكانيك التحليلي

 

الميكانيك التحليلي analytical mechanics هو دراسة الميكانيك بوساطة الحسابات الجبرية التي تحلّ محل طريقة نيوتن[ر] الهندسية، وبهذا المعنى يكون الميكانيك التحليلي قد اتبع المسار نفسه الذي اتبعته الهندسة التحليلية[ر] التي يُبحث فيها عدد خواص الأشكال بوساطة الحساب وليس بوساطة إنشاءات هندسية بحتة.

كان رائدا الميكانيك التحليلي ليونارد أولر[ر] L.Euler ومن ثم ماكلوران C.Maclauran عبَّرا عن القوى بوساطة مساقطها على ثلاثة محاور ثابتة في جملة الإحداثيات الديكارتية. لكن لوي لاغرانج[ر] هو الذي وضع الميكانيك التحليلي في المقام الذي يحتله اليوم، فقد انطلق في علم التوازن من مبدأ الانتقالات الافتراضية virtual displacements ثم أنشأ ديناميك التوازن بوساطة تطبيق مبدأ دالامبير [ر]، أي بإدخال قوى العطالة في الحركة.

المبادئ الأساسية في الميكانيك

قبل شرح المبادئ التي يقوم عليها الميكانيك التحليلي ومعادلات لاغرانج لابد من ذكر المبادئ التي كانت سائدة في الميكانيك:

- محصلة مجموعة قوى: عندما تؤثر عدّة قوى في نقطة فإنه يمكن الاستعاضة من هذه القوى بمحصلة وحيدة تؤثر في النقطة نفسها؛ وهذه المحصلة هي مجموع القوى المؤثرة بعدّها متجهات (أشعة).

- قانون الفعل ورد الفعل: تتساوى قوة الفعل مع قوة رد الفعل، وتعاكسها بالاتجاه.

- مبدأ فعل القوة: يمكن زلق القوة المؤثرة في جسم على حاملها دون أن تغير من فعلها.

- القانون الأساسي في الميكانيك ( قانون نيوتن الثاني): عندما تؤثر قوة في جسم مادي كتلته m فإنه يكتسب تسارعاً بحيث يكون .

- قانون العطالة: هو نتيجة مباشرة لقانون نيوتن الثاني: إذا لم تؤثر في الجسم أيّة قوة فإن التسارع الشعاعي يكون معدوماً، ومن ثمّ تكون حركة الجسم حركة مستقيمة منتظمة. وقد صاغ نيوتن مبدأ العطالة على الشكل الآتي: «كل جسم يستمر في حالته السكون أو الحركة المستقيمة المنتظمة مادام لا يخضع لقوى تغير من حالته».

- حركة مركز الثقالة: إن حركة مركز ثقل مجموعة مادية هي حركة نقطة متمركزة في مركز الثقل، وكتلتها تساوي مجموع كتل المجموعة.

- نظرية كمية الحركة: إن مشتق شعاع كمية الحركة (الاندفاع) بالنسبة إلى الزمن لمجموعة مادية يساوي محصلة متجهات القوى الخارجية المؤثرة في المجموعة. وإن مشتق شعاع الاندفاع الزاوي (عزم كمية الحركة) بالنسبة إلى الزمن لمجموعة مادية يساوي محصلة متجهات عزوم القوى الخارجية المؤثرة في المجموعة بالنسبة إلى نقطة مفروضة.

- مبدأ دالامبير: تحقق القوى الخارجية المؤثرة في مجموعة مادية وقوى ردود الأفعال وقوى العطالة المعادلات الأساسية في التوازن في أيّة لحظة في أثناء الحركة؛ أي إن مجموع تلك القوى ومجموع عزومها بالنسبة إلى نقطة ما يساوي الصفر.

مبدأ العمل الافتراضي

الانتقالات الافتراضية: هي انتقالات وهمية لامتناهية في الصغر تحقق معادلة القيد (الارتباط)، وتتم بثبوت الزمن t، ويرمز لها بـ تمييزاً لها من الانتقالات الحقيقية. والقيد هو المنحني أو السطح الذي تتحرك عليه المجموعة المادية. والقيد المثالي هو القيد الذي يكون فيه مجموع أعمال قوى رد الفعل يساوي الصفر0 ويقصد بالقيد المحرر القيد الذي يسمح لنقاط المجموعة بمغادرته0

نص مبدأ العمل الافتراضي: الشرط اللازم والكافي لتوازن مجموعة مادية مرتبطة (أي تفرض قيود على حركتها) بقيود مثالية هو أن يكون مجموع الأعمال الافتراضية وفقاً لانتقالات افتراضية مساوياً الصفر في حالة القيود اللامحررة، ومساوياً الصفر أو أقل منه في حالة الارتباطات المحررة.

التعبير الرياضي لمبدأ العمل الافتراضي

للارتباطات المقيدة حيث δA العمل الافتراضي

وفي الإحداثيات الديكارتية يكون:

δA = (X δx, Y δ y , Z δ z) =0

حيث Z, Y, X مركبات القوى على المحاور الإحداثية δx و δy و δz الانتقالات الافتراضية التي تحقق معادلات الارتباطات وفقاً للعلاقات:

( ∂f / x) ∂x + ( ∂ f / ∂ y) + ( ∂f / ∂z) = 0

وf (x, y,z) = 0  معادلة الارتباط

وتحقق الانتقالات الحقيقية العلاقات الآتية:

(∂f/ ∂ x) dx + (∂ f/ ∂ y) dy + (∂f/ ∂t) dt= 0

لا يحوي مبدأ العمل الافتراضي قوى ردود الفعل للارتباطات المثالية، ويستخدم هذا المبدأ على نحو واسع في الميكانيك. فبالاعتماد عليه يمكن بسهولة حل مسائل توازن الجسم الصلب والمجموعات المادية.

إذا لم تكن جميع الارتباطات المفروضة على المجموعة المادية مثالية فإنه ينبغي إضافة قوى الاحتكاك إلى القوى المفروضة، ومن ثمّ تضاف في هذه الحالة أعمال قوى الاحتكاك مع جميع أعمال القوى المفروضة.

وإذا طلب تعيين قوة رد الفعل من أجل ارتباط مثالي فإنه ينبغي تطبيق مبدأ التحرر من الارتباط وذلك بطرح القيد جانباً والاستبدال به قوة رد الفعل المباشر التي تضاف إلى القوى المفروضة، وينظر عندئذ إلى المجموعة على أنها مجموعة حرة غير مرتبطة، وبهذه الصورة يمكن حل مسائل التوازن وتعيين قوة رد الفعل مباشرة من شرط التوازن. ويعني مبدأ التحرر من الارتباط عدّ المجموعة المادية طليقة شريطة الأخذ بقوة رد الفعل بديلاً من الارتباط نفسه.

معادلات لاغرانج

الإحداثيات المعممة: يتحدد وضع أيّ نقطة في الفراغ بنصف قطرها الشعاعيالذي مركباته في جملة الإحداثيات الديكارتية z, y, x. وقد يبدو أكثر ملاءمة اختيار جملة إحداثيات أخرى تحدد وضع المجموعة، وتكون مستقلة فيما بينها، وتدعى تلك الإحداثيات الإحداثيات المعممة، ويرمز لها بالرمز q_j، حيث j = 1, 2, …… s و s عدد الإحداثيات المعممة.

تكون الإحداثيات الديكارتية توابع للإحداثيات المعممة q_j والزمن t:

x = x (q₁, …………q_s, t)

y = y (q₁, …………q_s, t)

z = z (q₁, …………q_s, t)

أو بالصورة الشعاعية:

وعندئذ تعطى سرعة النقطة بالعلاقة:

حيث q^/_j السرعة المعممة الموافقة للإحداثي q_j.

ويعبّر عن الانتقال الافتراضي بالعلاقة:

حيث dδ q الانتقال الافتراضي المعمم. وتعطى عبارة العمل الافتراضي بدلالة الإحداثيات المعممة بالعلاقة:

δA = Σ (X δx + Y δy + Z δz) = Q ₁δq ₁ + Q ₂δq ₂+………..

حيث Q₁, Q₂ القوى المعممة.

الصيغة الرياضية لمعادلات لاغرانج:

لتكن مجموعة مادية خاضعة لقيود هولونومية عددها k:

f_α = (x, y, z, t) = 0 α = 1, 2, ……k

وعدد الإحداثيات المعممة هي q₁ …… q_j …… q_s

وانطلاقاً من معادلة دالامبير- لاغرانج للمجموعة المادية:

إن إجراء بعض التحويلات فيما يخص المعادلة (1) بدلالة الإحداثيات المعممة يؤدي إلى:

دليل هو i ودليل q هو j أينما وجدا في هذا النص.

وبالرجوع إلى العلاقة (1) وبعد إدخال الطاقة الحركية T ومشتقاتها

تنتج العلاقة:

حيث:

القوة المعممة.

وبما أن δq متحولات مستقلة؛ فإن العلاقة (2) تؤول إلى:

إن هذه المعادلات صحيحة بالنسبة إلى مجموعة مادية خاضعة لقيود مثالية. أما إذا كانت القوى المفروضة هي قوى كمونية؛ أي إنها تشتق من كمون:

فعلى هذا الأساس تكون

Q = SÑ U (∂ r / ∂ q) = - ∂ U / ∂ q

لذا فإن العلاقة (3) في حالة القوى الكمونية تأخذ الشكل الآتي:

وبإدخال التابع L (q, q΄, t) = T - U

وبما أن

 

(لأن U مستقلة عن q΄) ينتج الشكل النهائي لمعادلات لاغرانج، وهي معادلات تفاضلية من المرتبة الثانية بالنسبة إلى المتحولات q.

حيث L تابع لاغرانج.

معادلات هاملتون:

تكتب معادلات هاملتون بالصيغة:

حيث H تابع هاملتون، متحولاته هي الإحداثيات المعممة q_j والاندفاعات p_j.

مبدأ هاملتون:

أكثر الصيغ عمومية لقانون حركة المجموعة الميكانيكية يعطى بمبدأ هاملتون أو مبدأ الفعل الأصغر وحسب هذا المبدأ فإن كل مجموعة ميكانيكية تتميز بتابع معيّن؛ هو تابع لاغرانج

L (q_j, q'_j, t)

وحركة المجموعة تستوفي الشرط الآتي (نص مبدأ هاملتون): تشغل المجموعة بين اللحظتين t₁ و t₂ أوضاعاً معيّنة تتميز بقيم للإحداثيات q₁ و q₂؛ عندئذ تتحرك المجموعة بين الوضعين الموافقين لــt₁ و t₂بحيث يأخذ التكامل الآتي:

أصغر قيمة ممكنة. يسمى S بالفعل action.

 وللتبسيط الرياضي نفرض أن للمجموعة الميكانيكية درجة حرية واحدة مما يقتضي تعيين تابع واحد q(t).

ليكن q(t)التابع الذي من أجله يأخذ S نهاية أصغرية. وهذا يعني أن التابع S يزداد عند الاستبدال بـ  q(t)بتابع من الشكل:

q(t)+ δq(t)

حيث  δ q(t)هو تغيّر صغير للتابع  q(t)بين اللحظتين t₁ و t₂ وبحيث يكون:

δq(t₁) = δq(t₂) = 0 (انظر الشكل 1). وكذا فإن مبدأ الفعل الأصغر يكتب بالشكل:

وبإجراء عملية التغيير والمكاملة يتم الحصول على معادلة لاغرانج بدرجة حرية واحدة:

وفي الحالة العامة عندما يكون للمجموعة الميكانيكية عدد من درجات الحرية تنتج معادلات لاغرانج (4) التي سبق ذكرها.

محمد سعيد محاسنة

الموضوعات ذات الصلة:

لاغرانج ـ الميكانيك ـ هاملتون.

مراجع للاستزادة:

ـ محمد سعيد محاسنه، الميكانيك الفيزيائي (مطبوعات جامعة حلب، 1979-1980).

ـ محمد سعيد محاسنه، الميكانيك الفيزيائي (جامعة دمشق،1992).

- F. GANTMACHER, Lectures in Analytical Mechanics, , Mir Publishers (Moscow 1970).

---

- التصنيف : الرياضيات و الفلك - النوع : علوم - المجلد : المجلد العشرون - رقم الصفحة ضمن المجلد : 256 مشاركة :