داله (تابع)

Function - Fonction

الدالة (التابع)

 

يعدّ مفهوم الدالة (التابع) function واحداًًُ من أهم المفاهيم وأكثرها مركزية في جميع فروع العلوم الرياضية.

تُعَرّف الدالة عامة بأنها قاعدة د تسمح بمقابلة عناصر من مجموعةٍ س بعناصر تنتمي إلى مجموعةٍ ع. وفي الحساب التفاضلي والتكاملي، يشار غالباً إلى الدالة بقاعدة بسيطة مثل:

د (س) = 2س³ + 5، أو ربما بقاعدة أكثر تعقيداً مثل:

في هذين المثالين لم تُذْكَر المجموعتان س، ع صراحة، إذ إنهما تُفتَرضان ضمناً أنهما مجموعة الأعداد الحقيقية ح. بيد أنه عندما يتقدم المرء في دراسته للرياضيات، فإنه يقابل دوال أعم، ويتوصل إلى ضرورة تقديم تعريف عام ودقيق للدالة.

تعريف: الدالة د شيء رياضي له ثلاث دعامات هي: مجموعتانس، ع، وقاعدة تسمح بمقابلة كل عنصرٍ س من س بعنصر وحيد ع من ع. تسمى س ساحة domain (أو منطلقset of departure، أو مجموعة تعريفset of definition) الدالة د، وتسمى ع مدى range (أو مستقر set of arrival، أو مجموعة قيم د set of value) الدالة د.

يُعَبّر عادة عن العنصر الوحيد ع المقابل للعنصر س بالشكل د (س)، ويسمى خيال image س وفق د.

للإشارة إلى الدالة د، التي ساحتها س ومداها ع، غالباً ما يُستعمل الرمز د: س¬ع[الذي يُقرأ: «د دالة من س إلى ع»، أو «د دالة من س في ع»]، ثم تُكتب قاعدة التقابل بين عناصر س، ع. وعلى سبيل المثال، فإن الرمز

يعني أن د هي دالة من ح ₊، مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة، إلى ح، مجموعة الأعداد الحقيقية، بحيث يكون خيال كل عدد حقيقي موجب وفقها هو جذره التربيعي. [ويقال غالباً في هذه الحالة إن د دالة حقيقية real function (لأن مداها ح) لمتغير حقيقي real variable (لأن ساحتها مجموعة جزئية من ح)].

وفي الحالات التي تكون فيها المجموعتان س، ع واضحتين من السياق، يُكْتَفى لكتابة الدالة بإيراد قاعدتها (د (س) = …) من دون ذكرٍ للمجموعتين س، ع. ففي المثال السابق يقال أحياناً:

«لتكن لدينا الدالة »، أو «لتكن لدينا الدالة»، أو حتى «الدالة».

تعريف: لتكن الدالة د: س₀¬ع، ولتكن س₀ مجموعة جزئية من س₀ نعرف مقصور restriction د على س (الذي يرمز إليه بـِ د| _س0) بأنه الدالة:

د| _س0: س₀¬ع، حيث د| _س0 (س) = د (س) أياً كان  س من س₀.

وإذا كانت س^* مجموعة تحوي تماماً س، فنعرف الممَّدد extension هـ للدالة د إلى  سبأنه الدالة.

هـ: س^*¬ع، حيث هـ (س) = د (س) أياً كان س من  س₀. من الواضح أن هـ دالة مقصورها على س هو الدالة د، وأن من الممكن إيجاد عدة ممدَّدات للدالة د.

مثال: لنأخذ الدالتين

د: ح ¬ح، حيث د(س) = س² + س + 1

ط: ح₊ ¬ح، حيث ط(س) = س² + س + 1

من الواضح أن ط مقصور د علىح₊، [لاحظ أن الدالتين د، ط مختلفتان على الرغم من تطابق قاعدتيهما، وذلك لأن ساحتيهما مختلفتان. واضح أيضاً أن د ممدد ط إلى ح. وبافتراض أن أ عدد حقيقي ما، فإن الدالة:

ك: ح¬ح، حيث ك(س)=	}	س2+س+1	عندما س <0
		أ	عندما س ³ 0

هي ممدد أيضاً للدالة ط إلى ح. ولما كان من الممكن أن يأخذ العدد الحقيقي أ عدداً غير منته من القيم، فإن عدد الممددات التي أوردناها للدالة ط إلى ح غير منتهٍ.

تعريف:

 لتكن الدالة د: س¬ع، ولتكن س₀ مجموعة جزئية من س. نسمي مجموعة أخيلة عناصر س₀ وفق د، ويشار إليه بالرمز د (س₀)، أي إن: د (س₀) = {د (س): س ' س₀}

وعندما تكوند(س₀) مجموعة وحيدة العنصر في ع، يقال إن د دالة ثابتة constant.

وإذا كانت ع₀ مجموعة جزئية من ع، فإنه يُرمز بـ د^-1 (ع₀) إلى مجموعة كل عناصر س التي أخيلتها وفق د تقع على ع.

تسمى المجموعة د^-1 (ع₀) الخيال العكسي، أو الصورة العكسيةinverse image  أو counter image   للمجموعةع₀ وفق د. وهكذافإن:

د^-1 (ع₀) = }س 'س: د(س) 'ع₀{

مثال: لتكن لدينا الدالة

إذا كانت س0 المجموعة الجزئية [2،¥[ من الساحة ح، فيمكن التحقق أن.

يمكن التحقق أيضاً أن:

مثال: لتكن الدالة

د: ح¬ح، حيث د(س) = 2س² + 2

يمكن التحقق أن:

د^-1([0،5]) = [-1،1]

لاحظ أن:

د^-1([0،5])) = د ([-1،1]) = [2،5]¹[0،5].

تعريف: لتكن د: س¬ع، هـ: ع¬صدالتين، نعرف المركَّب composite للدالتين د، هـ بأنه دالة نرمز إليها بالشكل:

هـ o د: س¬ ص، بحيث يكون (هـo د)(س) = هـ (د(س)).

لاحظ أن هذا التعريف يقتضي أن تكون ساحة هـ مساوية خيال الدالة س وفق د.

مثال: مركَّب الدالة

د: ح¬ح، حيث د(س) = س³ + 1، والدالة

هـ: ح¬ح، حيث هـ(س) = جب س

هو الدالة:

هـ: ح¬ح ،حيث (هـoد)(س) = جب (س³ + 1)

تعريف: يقال عن دالة د: س¬ع إنها متباينة injective إذا كان الخيالان وفق د لكل زوج من النقاط المختلفة في س مختلفين. ويقال عن د إنها غامرة surjertive إذا كان كل عنصر من ع خيالاً وفق د لواحد، على الأقل، من عناصر س. وإذا كانت د متباينة وغامرة، فيقال عنها إنها دالة تقابلية bijective function أو تقابل bijection.

إن كون د دالة متباينة يعتمد على قاعدة د؛ وكونها غامرة يعتمد على مداها أيضاً. ويمكن التوثق من أن مركَّب دالتين متباينتين دالة متباينة، ومركَّب دالتين غامرتين دالة غامرة. يترتب على هذا أن مركَّب تقابلين تقابل.

إذا كانت  د: س¬عتقابلاً، فمن الممكن تعريف دالتها العكسيةinverse functionد^-1: ع¬سكما يأتي: لكل عنصر ع من ع يمكن إيجاد عنصر وحيد س من س، بحيث يكون د (س) = ع (س موجود ووحيد لأن د غامرة ومتباينة)؛ وهذا العنصر هو خيال ع وفق  د^-1، أي أن  د^-1 (ع) = س. وهكذا فإن المعادلة س= د^-1(ع) هي نتيجة حل المعادلة ع = د (س) للحصول على س. ومن الممكن التحقق أنه إذا كانت د تقابلاً، فإنَّ د^-1تقابل أيضاً.

مثال: الدالة د: ح¬ح، حيث د(س) = س²ليست متباينة ولا غامرة. مقصورها هـ على مجموعة الأعداد الحقيقية غير السالبة  دالة متباينة، لكنها ليست غامرة. والدالة ، الناتجة من تغيير مدى د، غامرة وليست متباينة. أما الدالة  الناتجة من د بتغيير كل من ساحتها ومداها، فهي متباينة وغامرة، أي أنها تقابل، ومن ثم لها دالة عكسية هي:

تسمىد^-1 هذه دالة الجذر التربيعي.

تُستعمل في التحليل الرياضي دوال حقيقية أعم من الدوال الحقيقية لمتغير واحد (التي تنتمي إليها كل الدوال التي أوردناها في الأمثلة السابقة). هذه الدوال هي الدوال الحقيقية لعدة متغيرات، أي الدوال الحقيقية التي ساحتهاح^ن، حيث ن £2 ونعني بالرمز ح^ن الجداء الديكارتي:ح × ح × ح × ....× حالذي عدد مضاريبه ن . فمثلاً الدالة التالية:

د: ح²¬ح،

هي دالة حقيقية لثلاثة متغيرات.

وثمة دوال أعم تُستعمل في التحليل الرياضي أيضاً هي الدوال المتجهية لعدة متغيرات

functions of several variables vector- valued، وهي دوال ساحتها ح^ن ومداها ح^ط،

حيث ن £ 2، ط £2. وكمثال على هذه الدوال نورد الدالة:

د: ح³¬ح³،

بيد أنه سيُكتفى في هذا البحث بتقديمٍ سريعٍ وموجزٍ للأنماط المختلفة من الدوال الحقيقية لمتغير حقيقي واحد.

تقسم هذه الدوال عادة إلى قسمين: دوال ابتدائية، ودوال غير ابتدائية.

 1 - الدوال الابتدائية elementary functions

تقسم هذه الدوال إلى قسمين: دوال جبرية، ودوال متسامية.

أولاً: الدوال الجبرية algebraic functions، وهي تلك التي يرتبط فيها المتغير س بالدالةع = د (س) بمعادلة جبرية منالنمط:

حيث: أ₀، أ₁،...،أ_نأعداد حقيقية،ن_م، ط_مأعداد صحيحة غير سالبة، ك عدد صحيح موجب. وعلى سبيل المثال: فإن المعادلة:

3س²ع⁵ – 8س ع + س³ -1 =0

معادلة جبرية. وإذا كان من الممكن حل المعادلة (*) جبرياً بالنسبة إلى ع، فإن كلاً من حلولها يكون إحدى الدوال الجبرية التالية:

1ـ الدالة الصحيحةintegral function:

ع (د) (س) = أ₀ س_ن + أ₁ س^ن-1 + ... + أ_ن-1 س + أ_ن

2ـ الدالة الكسريةfractional function:

شريطة أن تكون ساحة هذه الدالة المجموعة ح مطروحاً منها مجموعة قيم س التي تعدم المخرج.

3ـ دالة القوةpower function:

ع = (د) س = س^λ

حيث λ عدد حقيقي ثابت. فإذا كان λ عدداً صحيحاً، فإن هذه الدالة تصبح دالة صحيحة أو كسرية أو ثابتة. أما إذا كان λ كسراً، فإن الدالة تصبح دالة جذرية كالدالة:

ساحة هذه الدالة هي ح  إذا كان ن عدداً صحيحاً فردياً، و

إذا كان ن زوجياً، وأخيراً إذا كان λ عدداً أصم irrational، فيفترض أنالساحة هي ح₊

 (أو  إذا كان λ >.).

ثانياً: الدوال المتسامية transcendental functions، وهي تلك التي لا يمكن أن يرتبط فيها المتغير س بالدالة ع (د (س))  بمعادلة جبرية من النمط (*) الذي ورد آنفاً. وأبسط أنماط هذه الدوال (الابتدائية المتسامية) هي:

1ـ الدالة الأسّيّة exponential fuction:

ع (د (س)) = ب^س

حيث ب عدد موجب لا يساوي الواحد.

2ـ الدالة اللغاريتمية logarithmic function:

ع (د (س)) = لع_ب س

حيث ب عدد موجب لا يساوي الواحد.هذا وإن ساحة هذه الدالة هي ح₊.

3ـ الدوال المثلثاتية trigonometric functions:

ع = جب س، ع = تجب س، ع = ظل س، تظل س

ع = قا س، ع = تقا س

إن ساحة الدالتين جب، تجب هي ح، أما ساحة الدالتين ظل، قا فهي:

أما ساحة الدالتينتظل، تقا فهي:

ح – {ك p: ك عدد صحيح}

وإن الدوال العكسية لهذه الدوال، وهي الدوال التي يُشار إليها بالرموز

ع = قوس جب س، ع= قوس تجب س، ع = قوس ظل س

ع = قوس تظل س، ع= قوس قا س،ع = قوس تقا س

على الترتيب، هي دوال أولية أيضاً.

وتجدر الإشارة إلى أن المركَّب لعددٍ منتهٍ من الدوال الجبرية والمتسامية هو دالة أولية.

وعلى سبيل المثال، فإن الدالة لع جب س هي دالة أولية.

2- الدوال غير الابتدائية nonelementary functions

وهي الدوال المغايرة للدوال الابتدائية. ومن أهم هذه الدوال تلك التي يعبر عنها بعدة صيغ تحليلية، أو بمتسلسلات أو جداءات غير منتهية، أو بتكاملات مُعرّفة definite integrals تابعة لوسيط، أو بمعادلات تفاضلية لا يمكن التعبير عن حلولها بشكل ترابيع quadratures.

أمثلة على دوال غير أولية:

ـ دالة القيمة المطلقة لِـ س، وهي دالة ، حيث:

د (س) =	}	- س	عندما س ³ 0
		س	عندما س  £0

ويشار وعادة إلى هذه الدالة بالرمز د (س) = |س|

ـ دالة الإشارة signum function

ع= د (س) =	}	- 1	عندما يكون س > 0
		0	عندما يكون س  =0
		+1	عندما يكون س < 0

 

ـالدالة

ـ الدالة ع = د (س) التي تمثل حل المعادلة التفاضلية:

س² عً + س عَ + (س²-1)ع = 0

ـ الدالة  د (س) التي تمثل مجموع المتسلسلة (المتقاربة)

خضر الأحمد

 

مراجع للاستزادة:

ـ خضر الأحمد؛ المدخل إلى التحليل الرياضي (منشورات جامعة الرياض 1979).

- James Munkres; Topology: A First Course (Prentice-Hall Inc. 1975).

- T. Flett; Mathematical Analysis (McGraw-Hill 1966).

 

---

- التصنيف : الرياضيات و الفلك - النوع : علوم - المجلد : المجلد التاسع - رقم الصفحة ضمن المجلد : 164 مشاركة :