تطبيق

Application - Application

التطبيق

 

بفرض أن س، ع مجموعتان غير خاليتين (قد تكون س = ع). يقال عن كل علاقة ت من س إلى ع [ر] إنها تطبيق إذا كان كل عنصر من س مرتبطاً بعنصر وحيد من ع بهذه العلاقة، ونكتب:

ت: س ←ع

س ← ع

ويقال إن ع صورة س، وفق التطبيق ت ويكتب ع = ت (س)، كما يقال إن س أصل ع وفق التطبيق ت. وتسمى س منطلق التطبيق وع مستقره.

إن صورة التطبيق ت هي مجموعة صور عناصر منطلقة، ويرمز لها بـ ت (س) إذن:

ت (س) = {ع 'ع | ِ Eس 'س× ع = ت (س)}

يلاحظ مباشرة أن:

ت (س) Êع

إن البيان (بيا) للتطبيق ت هو بيان العلاقة ت من س إلى ع أي إن:

بيا ={(س، ع) | (س، ع) 'س×ع ؛ ع = ت (س)}

يُرمز لمجموعة تطبيقات المجموعة س في المجموعة ع بالرمز ع ^س أو مـ (س، ع).

يكون التطبيقان ت₁، ت₂ 'ع ^سمتساويين، ويكتب ت₁ = ت₂، إذا كان:

ت₁(س) = ت₂(س)، "س 'س فقط، أي إن:

ت₁ = ت₂ Û ت₁(س) = ت₂ (س)، "س 'س

وبالتالي يكون:

ت₁ ¹ ت₂ ÛEس 'س، ت₁(س) ¹ ت₂(س)

 

لتكن س₁ مجموعة جزئية من س وليكن ت 'ع ^س، تسمى المجموعة:

ت (س₁) = {ت (س) | س 'س₁}

الصورة المباشرة لـ س₁.

يمثل التطبيق بمخطط بياني، كما يمكن تمثيله، عندما تكون س، ع، منتهيتين، بمخططٍ سهمي، أي بأسهم تنطلق من عناصر منطلقه لتستقر في عناصر من مستقره.

1ـ لتكن س = {أحمد، هند، زهير، عدنان، هالة، برهان} ومجموعة صفوف مدْرسة:

ع= {1(أ)، 1(ب)، 2(أ)، 2(ب)، 4(أ)، 4(ب)، 5(أ)، 5(ب)}

ولنفرض أن تطبيقاً ت: س ← ع معطى بالمخطط السهمي الآتي (الشكل ـ1):

إن: بيا(ت) = {(أحمد، 1(ب))، )هند،1(أ))، (زهير، 2)أ))، (عدنان، 4(ب))، (هالة، 5(أ))، (برهان، 4(ب))}.

2ـ ليكن التطبيق ت: ح ← ح

 س ← س³ -3س+1

و(الشكل ـ2) يمثّل بيانَ هذا التطبيق.

أمثلة:

1ـ يسمى التطبيق ت: س ← س

س ← س

تطبيقاً مطابقاً على س.

2ـ إن التطبيق ت: ط ← ط

س ← 2س

 تطبيق للأعداد الطبيعية في الأعداد الزوجية منها.

3ـ إن جمع الأعداد الحقيقية تطبيق لـ ح×ح في ح:

ت: ح × ح ← ح

(س₁،س₂) ← س₁+س₂

 وهو قانون تشكيل داخلي[ر] على ح.

4- الإسقاط القائم لنقاط مستقيم س من الفضاء على مستوٍ منه ع، هو تطبيق لنقاط س في ع.

يجب أن يلاحظ كما يلي:

1- يمكن أن يكون عنصرٌ واحد من المستقر ع صورة لأكثر من عنصرٍ من المنطلق س.

2- يمكن أن لايكون عنصر من المستقر ع صورةً لأي عنصرٍ من المنطلق س.

أنواع التطبيقات:

ـ التطبيق المطابق: يكون التطبيق ت 'س ^س مطابقاً إذا كانت صورة كل عنصرمن منطلقه هي ذاتها من مستقره، أي مهما يكن س 'س فإن ت (س) = س، يلاحظ من التعريف السابق أن ت (س) = س.

ـ التطبيق المتباين: يكون التطبيق ت 'ع ^سمتبايناً إذا وإذا فقط كان:

"س₁، س₂ 'س، س₁¹س₂ Ü ت (س₁) ¹(س₂)

أي يكون التطبيق ت 'ع ^سمتبايناً إذا وإذا فقط كانت صورتا عنصرين مختلفين من منطلقه مختلفتين، وهذا يكافئ القول:

"س₁، س₂ ' س، ت (س₁) = ت (س₂) Ü س₁= س₂

ـ التطبيق الغامر: يكون التطبيق ت 'ع ^سغامراً إذا وإذا فقط كان كل عنصر من مستقره صورة لعنصرٍ مواحد من منطلقه، أي أن:

"ع 'ع، E س 'س: ع = ت (س) أي يكون التطبيق غامراً إذا وإذا فقط كان ت (س) = ع

ـ تطبيق التقابل: يكون التطبيق ت 'ع ^ستقابلاً إذا وإذا فقط كان متبايناً وغامراً في آن واحد، أي إذا وإذا فقط:

1ـ "س₁، س₂ ' س، ت (س₁) = ت (س₂) Ü س₁= س₂

2ـ ت (س) = ع

أمثلة:

1ـ التطبيق ت: ط ← ط

س ← ع = 2س

متباين وغير غامر

2ـ التطبيق ت: ح × ح ← ح

(س₁،س₂) ← س₁+س₂

 غامر وغير متباين

3ـ إن الإسقاط القائم لنقاط الفضاء على مستوٍ، تطبيقٌ غامرٌ وغير متباين وذلك لأن للنقطتين الواقعتين على مستقيمٍ واحد عمود على المستوي المسقط ذاته، كما أن كل نقطة من المستوي هي المسقط القائم لنقطة من الفضاء.

تركيب التطبيقات:

ليكن التطبيقان: ت₁: س ←ع وت₂: ع ← فيقابل كل عنصر س 'س وفق ت₁ عنصرٌ واحدٌ ع = ت₁(س) 'ع، كذلك يقابل العنصر ع = ت₁(س) 'ع وفق التطبيق ت₂ العنصر الوحيد ص = ت₂(ع) 'ف ويكون:

ص = ت₂(ع) = ت₂(ت₁ (س)) = (ت₂ O ت₁) (س)

أي يقابل العنصر س 'س العنصر الوحيد ص = (ت₂ O ت₁) (س) 'ف وفق تطبيق ط، يُرمز له بـ ت₂ O ت₁، ويسمى مركب التطبيقين ت₁ وت₂:

ص = (ت₂ O ت₁) (س) = ط (س)

ليلاحظ أن التطبيق ت₂ في الرمز ت₂ O ت₁ قد كُتب أولاً في اليمين، وأن التطبيق ت₁ قد كُتب في اليسار.

لايكون ت₂ O ت₁ معرَّفاً إلا إذا كانت صورة س وفق ت₁ مساوية لمنطلق ت₂.

ليكن التطبيقان:

ت: ح ← ح ، ت: ح ← ح

 س ← 2س+1 س ← س² -3س+1

عندئذ يكون:

" س ' ح: (ت₂ O ت₁) (س) = ت₂(ت₁(س₁)) = ت₂(2س+1)

= (2س+1)² -3(2س+1)+1 = 4س² -2س -1

وأُخذ في هذا المثال س = ع = ف = ح. أما من أجل ت₁ O ت₂ فيلاحظ أن:

(ت₁O ت₂) (س) = ت₁(ت₂(س)) = ت₁(س²-3س+1)

= 2(س²-3س+1) +1 = 2س²-6س+3

في حالة وجود كل من ت₁ O ت₂ و ت₂ O ت₁ كما في السابق فإن:

ت₁O ت₂ ¹ ت₂O ت₁ بشكل عام؛ أما إذا كان:

ت₁O ت₂ = ت₁O ت₂

فإنه يقال عندها إن ت₁، ت₂، تبادليان، يلاحظ أن:

منطلق ت₂O ت₁ = منطلق ت₁

مستقر ت₂O ت₁ = مستقر ت₂

خواص تركيب التطبيقات

1- تركيب التطبيقات تجميعي:

لتكن التطبيقات الثلاثة:

ت₁: س ←ع ، ت₂: ع ← ف ، ت3: ف ← ل

إن (ت₃ O ت₂) O ت₁= ت₃ O(ت₂ O ت₁)

ولإثبات ذلك يلاحظ أن (ت₃ O ت₂) O ت₁ موجود، وهو تطبيق لـ س في ل (الشكل ـ3)، وبشكل مشابه، فإن (ت₃ O ت₂) O ت₁ موجودٌ وهو تطبيق لـ س في ل، وللتطبيقين ت₃ O(ت₂ O ت₁)، (ت₃ O ت₂) O ت₁ المنطلق والمستقر ذاتهما، كذلك فإن:

[(ت₃ O ت₂) O ت₁] (س) = (ت₁O ت₂) (ت₁(س))

= ت₃ ([ت₂ (ت₁ (س))]

= ت₃ [(ت₂O ت₁) (س)]

= [ت₃ O(ت₂ O ت₁)] (س)

وذلك مهما يكن العنصر س 'س، وتنتج بالتالي المساواة المطلوبة، ولذلك يكتب ت₃ O ت₂ O ت₁ بلا أقواس.

2ـ بفرض أن ت₁'ع^س وت₂ 'ف^ع. فإن القضايا التالية صحيحة:

أ ـ إذا كان كل من ت₁، ت₂، متبايناً فإن ت₂ Oت₁ متباين.

ب ـ إذا كان كل من ت₁، ت₂، غامراً فإن ت₂ O ت₁ غامرٌ.

حـ ـ إذا كان كل من ت₁، ت₂، تقابلاً فإن ت₂ O ت₁ تقابل.

د - إذا كان ت₂ O ت₁، متبايناً فإن ت₁ متباين.

هـ - إذا كان ت₂ O ت₁ غامراً فإن ت₂ غامر.

3- إذا كان ت₁ 'ع^سغامراً، وت₂ ، تَ₂'ف^عفإن: ت₂ O ت₁= تَ₂ O تَ₁= ت₂= تَ₂

4- إذا كان ت₂ 'ف^عمتبايناً، ت₁، تَ₁ 'ع^سفإن:

ت₂ O ت₁= ت₂ O تَ₁Ü ت₁= تَ₁

5- ليكن التطبيق ت 'ع^س وليكن مـ _س، مـ _ع التطبيقين المطابقين على س، ع على التوالي، عندئذ يكون:

أ ـ ت Oمـ _س = ت

ب ـ مـ _عO ت = ت

تطبيق الغمر القانوني (canonical surjection)

بفرض أن ر علاقة تكافؤ[ر] على المجموعة س، وأن  مجموعة الخارج لـ س على ر وهي مجموعة صفوف التكافؤ لهذه العلاقة، يؤخذ التطبيق:

( صف تكافؤ س 'س وفق هذه العلاقة)

يلاحظ أن هذا التطبيق غامرٌ كما يصح فيه:

π(س) = π(ع) Û س ر ع يسمى التطبيق π، الغمر القانوني (أو التطبيق القانوني) لـ س على.

تطبيق التباين القانوني:

ليكن س₁ جزءاً من مجموعة س وليكن التطبيق:

ب: س₁ ← س

س ← س = ب (س)

ليلاحظ أن ب متباين وأن ب (س₁) = س₁ É س. يسمى ب تطبيق التباين القانوني لـ س₁ في س.

تحليل تطبيق إلى عوامل:

ليكن التطبيق ت 'ع^سولتكن ر علاقة تكافؤ على س معينة بـ

ت (س) = ت (ع) Û س ر ع

 

ويؤخذ كذلك تطبيق التباين القانوني: ب:ت (س) ←ع

يلاحظ أنه مهما يكن س 'س فإن:

 

ويقال إنه قد تم تفريق التطبيق ت إلى ثلاثة عوامل (الشكل ـ4).

معكوس تطبيق:

ليكن التطبيق ت 'ع^س. إن الصورة العكسية للعنصر ع 'ع وفق التطبيق ت والتي يرمز لها بـ ت^-1 (ع)، هي مجموعة العناصر من س التي صورتها ع وفق ت أي:

 ت^-1 (ع) = {س 'س | ت (س) = ع}

س = ت^-1 (ع)Û ع = ت (س)

إن الصورة العكسية للمجموعة الجزئية ع₁ من ع وفق التطبيق ت والتي يُرمز لها بـ ت^-1 (ع₁) هي المجموعة التالية:

ت^-1 (ع₁) = {س ' س | ت (س) ' ع₁}

ليكن التطبيق ت: ح ← ح

س ← س³

والمجموعة الجزئية ح₁ = ل[9، 25]. إن ت^-1 (ح₁) هي المجموعة:

 ت^-1 (ح₁)= {س ' ح: 3 ³ س ³ ج5ج، ج-5ج³ س ³ ج -3 ج}

يكون التطبيق ت 'ع^س تقابلاً إذا وإذا فقط وجد تطبيقس^ع بحيث يكون:

ط O ت = مـ _س، ت O ط = مـ _ع

ينتنج عن ذلك أن ط تقابلٌ يسمى معكوس التقابل ت ويرمز له بـ ت^-1 أي إن:

ت^-1 O ت = مـ _س، ت O ت^-1 = مـ _ع

يتصف معكوس تطبيق بالخواص التالية:

1ـ (ت^-1)^-1 = ت

2ـ إذا كان ت₁ 'ع^س، ت₂ ' ف^ع تقابلين فإن:

(ت₂ O ت₁)-1 = ت₁^-1O ت₂^-1

خواص الصور المباشرة والعكسية لأجزاء مجموعة:

ليكن التطبيق ت 'ع^س، وليكن س₁، س₂ جزأين من س، وليكن ع₁، ع₂ جزأين من ع. إن الخواص التالية صحيحة:

أولاً:

1ـ إذا كان س₁ Ê س₂ فإن ت (س₁) Ê ت (س₂)

2ـ ت (س₁Èس₂) = ت (س₁) È ت (س₂)

3ـ ت (س₁Çس₂) = ت (س₁) Çت (س₂)

وإذا كان التطبيق متباينا فإن:

ت (س₁Çس₂) = ت (س₁) Çت (س₂)

ثانياً:

1ـ إذا كان ع₁ Ê ع₂ فإن ت^-1 (ع₁) Ê ت^-1 (ع₂)

2ـ ت^-1 (ع₁ È ع₂) = ت^-1 (ع₁) È ت^-1 (ع₂)

3ـ ت^-1 (ع₁ Çع₂) = ت^-1 (ع₁) Çت^-1 (ع₂)

مقصور التطبيق:

ليكن التطبيق ت: س ←ع وليكن س₁ جزءاً غير خالٍ من س، يسمى التطبيق:

ت₁: س₁←ع المعين بـ:

ت (س) = ت₁(س)، "س ' س₁ (*)

مقصور التطبيق ت على س₁ وتكتب ت₁/ س.

ليكن التطبيقان ت: ح ← ح⁺ ، ت1: ح ← ح⁺

 س ← س² س ← س²

 

إن ت₁ مقصور (ت) على مجموعة الأعداد الطبيعية ط لأنه محقق لـ (*).

بفرض أن س₁، ع₁ جزءان من س وع على التوالي بحيث يكون:

ت (س₁) Ê ع₁، فإنه يمكن أن يُعرّف تطبيق ت₁: س₁←ع₁ معين بـ

ت (س) = ت₁(س)، "س ' س₁

يسمى مقصور (ت) على س₁ منطلقاً و ع₁ مستقراً.

إذا لم يكن التطبيق ت: س ←ع تقابلاً، فقد يكون غالباً من الممكن والمفيد الحصول على مقصورٍ غامرٍ وذلك باختيار ع₁= ت (س₁)، وإذا كان ت₁ متبايناً بالإضافة إلى كونه غامراً فعندها يسمى ت₁ مقصوراً تقابلياً على س₁ منطلقاً و ع₁ مستقراً.

لنأخذ التطبيقات:

يلاحظ أن:

ت غير متباين وغير غامر

ت₁ متباين وغير غامر وهو مقصور ت على

  نن

 

ط متباين وغامر وهو المقصور التقابلي لـ ت على

إن المقصور التقابلي هام في التحليل وذلك لاستخدامه في تعريف الدالة العكسية، وفي المثال السابق يُعرّف المقصور التقابلي هذا الدالة العكسية الجيبية والتي يرمز لها جب^-1(س) أو قوس جب س.

التباديل:

يسمى كل تطبيق تقابلٍ لمجموعة منتهية على ذاتها تبديلاً. سيرمز بـ ج لمجموعة التباديل على المجموعة س أي:

ج = {ت 'س^س، ت تقابل}

يلاحظ في ج مايلي:

1ـ إذا كان ت₁، ت₂ 'ج Ü ت₁ O ت₂ 'ج

2ـ ت₁O(ت₂O ت₃) = (ت₁O ت₂)O ت₃، "ت₁، ت₂، ت₃ 'ج

3ـ "ت ' ج فإن ت^-1 ' ج

4ـ "ت ' ج، ت O  مـ _س = مـ _س O ت = ت

والثانية (ج، O) زمرة غير تبادلية.

مثال:

إذا كان س = {1، 2، 3} فإن زمرة التباديل على هذه المجموعة هي:

إلهام حمصي

 

مراجع للاستزادة:

 

ـ صلاح أحمد، التحليل (1) (مطبعة جامعة دمشق، 1967).

ـ إلهام حمصي، الجبر(1) (جامعة دمشق 1981).

ـ محمد عادل سوزان، موفق دعبول، الرياضيات المعاصرة (1) (مؤسسة الرسالة، بيروت 1986).

 

---

- التصنيف : الرياضيات و الفلك - النوع : علوم - المجلد : المجلد السادس - رقم الصفحة ضمن المجلد : 541 مشاركة :