الهندسة المستوية
هندسه مستويه
Plane geometry - Géométrie plane
الهندسة المستوية
الهندسة المستوية plane geometry فرع من الرياضيات يهتم بدراسة الأشكال الهندسية التي تقع كل نقاطها في مستوٍ واحد. ومع أن الكلمات: «نقطة» و«مستوي» هي مفاهيم أولية غير مُعرَّفة، فإنه يمكن إعطاء تفسير عملي تطبيقي لها.
السطوح، الخطوط، النقطة
عند النظر إلى الأجسام المحيطة بنا لا يرى منها سوى وجهها؛ إن هذا الوجه هو ما يسمى سطحها. فالسطح ليس له ثخن وإنما هو مجرد وجه ظاهر. ولما كانت الورقة التي يُكتب عليها رقيقة جداً، ويكاد لا يُرى لها ثخن فهي تمثل بصورة تقريبية سطحاً.
ولما كانت الأجسام الصلبة متميزة بأن لها طولاً وعرضاً وارتفاعاً لذلك يقال إن للأجسام الصلبة ثلاثة أبعاد. أما السطح فليس له ارتفاع (أوثخن)، وإنما له طول وعرض فقط، لذلك يقال إن له بعدين.
وليس للخط سوى طول فهو ذو بعد واحد. وقد يكون الخط مستقيماً أو منكسراً أو منحنياً.
أما المستقيم فلا يُعرَّف، ولكنه يمثل عادة بخيط مشدود أو بحرف المسطرة. ويمتد من الجهتين من دون وجود نقط ينتهي عندها.
وكذلك النقطة لا تُعرَّف، وإنما تمثل بالأثر الذي يخلفه رأس قلم على سطح ورقة بيضاء أو موضع تقاطع خطين. كل الأشكال الهندسية هي مجموعات من النقط.
ولتسمية المستقيم تختار منه نقطتان ب، جـ ويقرأ المستقيم ب جـ.
نصف المستقيم هو جزء من مستقيم محدود بنقطة ب ويمتد من جهة واحدة.
الشكل (1) |
والقطعة المستقيمة هي جزء من مستقيم محدود بنقطتين.
والخط المنكسر هو خط مكون من عدة قطع مستقيمة متتالية بحيث ترتبط نهاية كل قطعة ببداية التي تليها.
والخط المنحني هو خط غير مستقيم في أي جزء منه.
المستوي والهندسة المستوية:
يقال عن سطح إنه مستوٍ إذا انطبق حرف المسطرة المستقيم عليه أينما كان. والهندسة المستوية هي دراسة الأشكال المستوية أي الواقعة في مستوٍ واحد.
ويقاس طول قطعة مستقيمة أو منحنية بمقدار ما تحويه من واحدة الطول.
الزاوية: هي الشكل المكون من نصفي مستقيمين محددين بنقطة واحدة تدعى رأس الزاوية(الشكل1)، ويُسمى نصفا المستقيمين ضلعيها.
ولتسمية زاوية تختار نقطة على كل ضلع، مثل ب و جـ في الشكل (1). وتُقرأ ب م جـ الذي يوضع أحياناً على يمينه الرمز < للدلالة على أنه زاوية، وكل من م ب وم جـ ضلع لها. أو يكتفى بذكر الرأس فيكتب < م.
تقاس الزاوية بمقدار ما يدوره أحد ضلعيها لينطبق على الآخر نسبة من الدورة الكاملة. ففي الشكل 1 الزاوية د م ب هي ربع دورة (أو 90ْ) ويقال إنها قائمة أو إن م د وم ب متعامدان. أما الزاوية ب م جـ فهي أكبر من قائمة، أو يقال منفرجة. وهناك زاوية أخرى ب م جـ يمكن أن يدورها م ب لينطبق على م جـ ولكن في اتجاه معاكس للأول وقد أشير إليها بخط متقطع، وقياسها أكبر من نصف دورة وتسمى منعكسة.
مبادئ الهندسة المستوية
الشكل (2) |
انطلق إقليدس في دراسة الهندسة المستوية من فرضيات رأى أنها واضحة حدساً وبالتجربة، سُميت مصادرات (فرضيات) إقليدس. مثلاً من نقطتين يمر مستقيم واحد فقط.
وينجم عن ذلك أن المستقيمين في مستوٍ واحد إما أن يشتركا بنقطتين فيكونا منطبقين، وإما أن يشتركا بنقطة واحدة ويقال إنهما متقاطعان، وإما ألا يشتركا بأي نقطة ويقال إنهما متوازيان.
ورأى إقليدس أنه في المستوي لا يمكن أن يمر من نقطة خارج مستقيم في هذا المستوي سوى مستقيم واحد يوازي هذا المستقيم. وينتج من ذلك أنه في المستوي إذا قطع مستقيم أحد مستقيمين متوازيين فإنه يقطع الآخر.
المضلعات
يمكن أن يحدد في المستوي مناطق يحد كلاً منها خط منكسر مغلق يسمى مضلعاً. وتسمى كل قطعة من هذا الخط المنكسر ضلعاً. ويقال إن المضلع ثلاثي (أو مثلث) إذا كان له ثلاث أضلاع ، ويقال إنه رباعي إذا كان له أربع أضلاع، وهكذا. ويقال إن المضلع محدب إذا لم يقطعه مستقيم ما بأكثر من نقطتين، أما إذا قطعه بأكثر فيقال إنه مقعر. وهذا الأخير تكون إحدى زواياه منعكسة (الشكل2).
المثلث هو أبسط المضلعات، ويليه المضلع الرباعي. ولهذا الأخير حالات خاصة وهي متوازي الأضلاع (الذي يكون كل ضلعين متقابلين فيه متوازيين)، ويكون مستطيلاً إذا كانت زواياه قائمة، ويكون معيّناً إذا تساوت أضلاعه ، ويكون مربعاً إذا كانت أضلاعه متساوية وزواياه قائمة.
ومساحة كل من الرباعيات الخاصة الأخيرة تساوي جداء القاعدة في الارتفاع. ولما كان المثلث نصف متوازي أضلاع كانت مساحته هي نصف جداء القاعدة في الارتفاع.
الشكل (3) المثلثان ب1 جـ1 د1 وب2 جـ2 د2 متشابهان لأن فيهما < ب1=<ب2 و<جـ1= <جـ2 و<د1=<د2 وأطوال أضلاع الأول متناسبة مع مثيلاتها من الثاني بَ1/بَ2 = جـَ1/جـَ2 =د1/د2 ونسبة التشابه 2/3 |
التشابه والتطابق
يقال عن مضلعين إنهما متشابهان إذا كانت زوايا الأول تساوي زوايا الثاني وأضلاع الأول متناسبة مع أضلاع الثاني. وتسمى النسبة بين ضلع من الأول إلى مثيلتها من الثاني نسبة التشابه. وإذا كانت نسبة التشابه تساوي 1 يقال إنهما طبوقان.
تشابه مثلثين:
1ـ بما أن مجموع زوايا مثلث ما قائمتين يكفي أن تكون زاويتان من الأول طبوقتين على زاويتين من الثاني لكي يتشابه المثلثان. وإذا كانت ضلع من الأول طبوقةً على مثيلتها من الثاني (أي نسبة التشابه 1) يكون المثلثان طبوقين (الشكل 3).
2ـ كما يتشابه المثلثان إذا تناسبت ضلعان من الأول مع ضلعين من الثاني وكانت الزاوية المحصورة بينهما في الأول طبوقة على مثيلتها من الثاني.
3ـ أو يتشابه المثلثان إذا كانت أضلاع الأول متناسبة مع مثيلاتها من الثاني.
ملاحظة: إن النسبة بين مساحتي مضلعين متشابهين تساوي مربع نسبة التشابه. فالنسبة بين مساحتي المثلثين في الشكل ( 3) هي 4/9.
الدائرة: بفرض م نقطة في المستوي و ر عدداً حقيقياً. تسمى مجموعة نقط المستوي التي تبعد عن م مسافة ر دائرة، وتسمى م مركزها و ر نصف قطرها.
وضع نقطة بالنسبة لدائرة: تكون النقطة على الدائرة إذا كان بعدها عن مركزها يساوي نصف القطر، وتكون خارج الدائرة إذا كان بعدها عن المركز أكبر من نصف القطر، وتكون داخل الدائرة إذا كان بعدها أصغر من نصف القطر. فالدائرة منحنٍ مغلق.
الشكل (4) |
وضع مستقيم بالنسبة لدائرة: إذا كان مستقيم س ع يبعد عن مركز الدائرة بعداً أكبر من نصف قطرها(الشكل 4) تكون جميع نقطه خارج الدائرة. ويكون مماساً للدائرة إذا كان بعده عن مركزها يساوي نصف قطرها. وفي هذه الحال تكون نقطة واحدة (ب) من المستقيم واقعة على الدائرة هي مسقط المركز على المستقيم، وبقية نقط المستقيم كلها خارج الدائرة. ويكون المستقيم س ع قاطعاً للدائرة في نقطتين (ب، جـ) إذا كان بعده عن مركزها م أصغر من نصف قطرها. ولا يمكن أن يشترك مستقيم مع الدائرة بأكثر من نقطتين فالدائرة منحنٍ مغلق محدب، وتسمى القطعة المستقية ب جـ وتراً في الدائرة.
إذا قُسم محيط دائرة م إلى أقسام متساوية بالنقط ب، جـ، د، هـ، و ووصل بينها على التوالي يُحصل على مضلع منتظم محدب أضلاعه متساوية وزواياه متساوية، وإذا لم يُوصل بينها على التوالي يحصل على مضلع منتظم مقعر، يسمى مضلعاً نجمياً (الشكل 5).
الشكل (5) |
محيط الدائرة: لما كانت جميع الدوائر متشابهة كانت النسبة بين محيطي دائرتين ح1 و ح2 تساوي النسبة بين قطريهما 2ر1 ، 2ر 2: ح1/ح2= 2ر1/2ر2؛ إذاً ح1/2ر1 = ح2/2ر2.
فإذا أخذت أي دائرة أخرى وجدت النسبة نفسها التي يُرمز لها بالحرف اليوناني π. وقد وجد أن هذه النسبة الثابتة تساوي تقريباً 3.1416 فيمكن أن يكتب بوجه عام ح/2ر = π فمحيط الدائرة ح = 2 π ر.
مساحة الدائرة: لما كانت جميع الدوائر متشابهة كانت مساحاتها متناسبة مع مربعات أنصاف أقطارها. فإذا كانت سط مساحة دائرة ما و ر نصف قطرها تكون النسبة سط/ر2 ثابتة، وقد وجد أنها تساوي π؛ إذاً سط = π ر2.
محمد وائل الأتاسي
| مراجع للاستزادة: |
- ERNESTINE CAMIP, Plane Geometry (Kendall Hunt Pub. Co. 1993).
- التصنيف : الرياضيات و الفلك - النوع : علوم - المجلد : المجلد الواحد والعشرون - رقم الصفحة ضمن المجلد : 628 مشاركة :
متنوع
المجلدات الصادرة عن الموسوعة العربية
