هندسه لااقليديه

Non-Euclidean geometry - Géométrie non euclidienne

الهندسة اللاإقليدية

 

الهندسة اللاإقليدية noneuclidean geometry هي فرع من الرياضيات، يعتمد على مسلمات إقليدس الأربع[ر: الهندسة الإقليدية] ويرفض المسلمة الخامسة التي تنص على إمكانية إنشاء مستقيم وحيد موازٍ لمستقيم مفروض من نقطة خارجة عنه.

جرت محاولات كثيرة للبرهان على مسلمة إقليدس الخامسة، منها محاولات يونانية وإسلامية وأوربية، ولكن لم تكن أي منها مقنعة، فقد كانت جميعها ملتزمة بأشكال مرسومة، لذلك سرعان ما يتأثر الباحث بالشكل، فيتوهم أنه توصل إلى برهان، في حين أن ما توصل إليه هو صورة حسية، ولا تصح الصورة الحسية برهاناً رياضياً.

كان أولَ من انتبه إلى خطر الاعتماد على الشكل المرسوم الروسي نيقولا إيڤانوڤيتش لوبتشڤسكيNikolay Ivanovich Lobachevsky  ت(1793-1856)، فاستغنى عنه بمجموعة من الرموز والعلاقات التي تعبر عن المقدمات الأساسية وراح يستنتج من هذه المقدمات نتائج مجردة. وقد أدخل في حسبانه كل مقدمات إقليدس ماعدا المسلمة الخامسة، آملاًً في أن يعثر على تناقض في نتائجه، إذ لو كان بالإمكان إثبات صحة هذه المسلمة بالاعتماد على المقدمات الأخرى لكانت نتيجة منطقية لها، وعندئذٍ سيؤدى رفضها إلى تناقض. ولكنه لم يعثر على هذا التناقض، بل استطاع البرهان على أنه في حال القبول بكل مقدمات إقليدس ورفض المسلمة الخامسة يصبح من الممكن من نقطة خارج مستقيم تمرير مستقيمين موازيين له (أو أكثر) لا واحد فقط.

تابع هذا الباحث عمله، فعرَّف المسافة بين نقطتين، ووجد أن مجموع زوايا المثلث أقل من قائمتين، وأن الفرق بين المجموع وبين القائمتين يتناسب مع مساحة المثلث. كما استطاع التوصل إلى مثلثات خاصة بهذه الهندسة الجديدة التي سميت فيما بعد الهندسة الزائدية hyperbolic geometry، ومثلثاتها هي أيضاً تسمى مثلثات زائدية. فإذا كانت أطوال أضلاع المثلث هي a, b, c، وزوايا المثلث المقابلة لها بالترتيب هي A, B, C كانت علاقة الجيوب

(حيث sin هو الجيب و sinh الجيب القطعي). وهكذا تأكد هذا الباحث من أنه توصل إلى هندسة جديدة لاإقليدية noneuclidean geometry، وقد توصل المجري يانوس بوليايJanos Bolyai  ت(1802-1860) إلى النتائج نفسها في الوقت نفسه تقريباً أو بعد عام من لوبتشڤسكي.

في عام 1854 وفي جامعة غوتينغن Göttingen قدّم الشاب الألماني برنارد ريمان[ر] Bernhard Riemann ت(1826-1866) بحثاً في الهندسة فكان ما عرضه هذا الشاب فتحاً جديداً في عالم الرياضيات؛ إذ قال: «ليست هناك هندسة واحدة بل هناك هندسات»، أما الهندسة التي تُنسب إليه عادة فهي الهندسة التي تقبل مسلمات إقليدس الأربع الأولى ولكنها ترفض الخامسة.

إن هذه الهندسة تتطابق أو تتفق مع هندسة الكرة ولذلك تسمى هندسة كروية spherical geometry حيث:

1- تعدّ كل دائرة عظمى عليها (أي التي مركزها هو مركز الكرة) ممثلة لمستقيم، فالمستقيم لا يمتد إلى اللانهاية، ولا يوجد مستقيمان متوازيان.

2- إن الزاوية بين مستقيمين متقاطعين تمثَّل بالزاوية بين مماسي الدائرتين العظيمتين في نقطة تقاطعهما.

3- إذا كانت الأقواس الممثلة لأضلاع المثلث والمعطاة بالراديان هي a, b, c، وكانت زوايا المثلث المقابلة لها هي بالترتيب A, B, C كانت علاقة الجيوب هي:

ولكن ريمان قال إن بالإمكان تعريف هندسات جديدة، وإن الأمر يتوقف على تعريف المسافة. فالأمر كله يتوقف على تعريف طول منحنٍ، وذلك لعدم وجود تعريف مسبق للمستقيم. ولأنه من غير الممكن تحديد صفات المستقيم الذي يتصوره الجميع مثل الخيط المشدود، إلا إذا قبلنا بمسلمة إقليدس الخامسة. أما في حال رفضها فأي منحنٍ نتصوره يمكن أن يسمى مستقيماً. وسيعثَر عندئذٍ على هندسة أخرى أو ربما لا يعثر. وعند القبول بمسلمة إقليدس سيمكن التوصل - كما هو معلوم - إلى نظرية فيثاغورس حيث يصبح عنصر المسافة:

ds²= dx²+ dy²+ dz²

أما لو عُرِّفت المسافة غير هذا التعريف لبدت الهندسة الإقليدية مجرد هندسة من هندسات. وهذه الهندسات كلها لا إقليدية، ولكن ربما لا يحصَل على هندسة إطلاقاً. وأهم شرط للحصول على هندسة هو أن توجد إلى جانب المسافة زمرة تحويلات تحافظ على هذه المسافة.

وقد يتساءل المرء: أيمكن استعمال هندسة لوبتشڤسكي مثلاً في أعمال البناء والتصنيع أم هندسة ريمان أم غير ذلك من هندسات؟ في الحقيقة هذا ممكن من الناحية النظرية، ولكنه غير مفيد عملياً، لأن هذا سيعقد الأمور، وخاصة أن الهندسات اللاإقليدية تصلح للسرعات الهائلة وللمسافات الكبيرة جداً التي تتجاوز ملايين السنين الضوئية؛ أما في نطاق ضيق كالذي يوجد فيه الإنسان فقد بُرهن أن هندسة إقليدس كافية كما هي كافية إلى مدى الكثير من الأقمار الصناعية.

وتعد هندسة النظرية النسبية الخاصة مثالاً على إحدى الهندسات اللاإقليدية. فهي إقليدية لولا أن البعد الزمني يلزم أن تقدر واحداته مقرونة بالعامل التخيلي ic حيث i² = -1، وc سرعة الضوء. أما عنصر المسافة فيها فهو ds² = dx² + dy² + dz² + (icdt)² حيث x, y, z هي الإحداثيات الديكارتية المكانية وt الزمن. وهذا لا يُطبق إلا في حال السرعات الكبيرة، أما الزمرة التي تحافظ على هذه المسافة فتدعى زمرة تحويلات لورنتز.

وائل الأتاسي

مراجع للاستزادة:

ـ وائل الأتاسي، مدخل إلى هندسة لوبتشڤسكي مع فكرة عن هندسة ريمان (مطبعة الخطيب، حمص 2001).

-CARL BOYER, A History of Mathematics, 2nd edition (John Wiley & Sons, New York 1991).

---

- التصنيف : الرياضيات و الفلك - النوع : علوم - المجلد : المجلد الواحد والعشرون - رقم الصفحة ضمن المجلد : 625 مشاركة :