مصفوفات

Matrixes - Matrices

المصفوفات

 

المصفوفة matrix على حقل[ر] (أو حلقة [ر] تبديلية) F هي مجموعة من عناصر F مرتبة على m سطراً وn عموداً، على شكل مستطيل. تسمى m وn أبعاد المصفوفة dimensions of the matrix، وm x n مرتبة order المصفوفة. يعبر عن العنصر الموجود على السطر i والعمود jبالرمز a_ij.

ولها استخدامات كثيرة في الإحصاء والاحتمال والتجارة، وفي كثير من العلوم الأخرى.

لمحة تاريخية

ظهر مفهوم المصفوفة للمرة الأولى عام 1850 في كتابات عالم الرياضيات الأمريكي (البريطاني المولد) جيمس سيلفيستر James Joseph Sylvester  مابين(1814-1897)، مشيراً إلى طريقة التعبير عن المحدَّد[ر]. وفي عام 1855 أوضح العالم الرياضي البريطاني السير آرثر كيليSir Arthur Kelly  مابين(1821-1895) أنه يمكن التعبير عن تحويل خطي linear transformationباستخدام المصفوفة .

مثلاً التحويل الخطي

يكتب بالشكل

وأنه إذا عبّر عن تحويلين خطيين متتالين بمصفوفتيهما، أمكن التعبير عن تركيبهما بمصفوفة ثالثة تنتج وفق قاعدة محددة. مثلاً:

وهذا ما قاد كيلي إلى اعتبار المصفوفة مفهوماً جبرياً مستقلاً، فعرَّف عملية ضرب مصفوفتين. وفي عام 1858 صاغ مفهوم جبر المصفوفات algebra of matrices. فكان العالم الرياضي الإيرلندي هاملتون William Rowan Hamiltonمابين(1805-1865) قد استخدم عام 1853 مفهوم جبر المصفوفات - ولكن تحت اسم آخر - في التوابع الخطية والتوابع المتجهية (الشعاعية) linear and vector functions .

ومنذ بدايات القرن العشرين بدأ الرياضيون يركّزون انتباههم على التطبيقات (التحويلات) الخطية[ر] أكثر من المصفوفات التي تمثل هذه التطبيقات، وأصبح الجبر الخطي هو مجال دراسة التطبيقات الخطية على الفضاءات الشعاعية[ر].

جبر المصفوفات

1) تساوي مصفوفتين: تتساوى مصفوفتان A وB إذا كانتا من مرتبة واحدة، وكان كل عنصر من A يساوي العنصر المقابل له من B. أي إن [a_ij]_mxn = [b_ij]_sxt إذا كانت: m = s وn = t وa_ij = b_ijلجميع قيم i وj.

2) جمع مصفوفتين: إذا كانت M_mxn (F) مجموعة كل المصفوفات من المرتبة m x nالمعرفة على الحقل F، فإن حاصل جمع مصفوفتين A = [a_ij] وB = [b_ij] من المجموعة M_mxn (F) هو مصفوفة ثالثة C = [c_ij]من المجموعة M_mxn (F) بحيث: c_ij = a_ij + b_ij. أي إن الجمع معرّف على المصفوفات ذات المرتبات المتساوية فقط.

مثال (1): إن

- ينتج من التعريف مباشرة: أن الجمع عملية تجميعية وتبديلية أي أن:

 (A + B) + C = A + (B + C) وA + B = B + A

وذلك لأي A وB وC من المجموعة M_mxn (F).

2) المصفوفة الصفرية: هي مصفوفة كل عناصرها أصفار. أي أن المصفوفة الصفرية من المرتبة m x n تنتمي للمجموعة M_mxn (F). فهي عنصر حيادي في عملية جمع المصفوفات المعرفة على M _{m x n} (F)، فإذا رمزنا لها بـ O، فإن:

A + O = O + A = A لكل مصفوفة A من M_mxn (F).

2) نظير مصفوفة (النظير الجمعي): إن نظير مصفوفة A = [a_ij] من المجموعةM_mxn (F). هي مصفوفة B = [b_ij] من M_mxn (F). حيث b_ij = - a_ijوذلك من أجل كل قيم i وj. أي إن A + B = B + A = O.

إن كل مصفوفة A من M_mxn (F). لها نظير في M_mxn (F).

أي أن «المجموعة M _{m x n} (F) مع عملية جمع المصفوفات تعد زمرة تبديلية».

3) ضرب مصفوفة بعددscalar multiple : لتكن A = [a_ij] مصفوفة من M_mxn (F)، وليكن k Î F إن حاصل جداء العدد k بالمصفوفة A، مصفوفة B = [b_ij] من M_mxn (F).حيث b_ij = k. a_ij؛ وذلك من أجل كل قيم i وj.

أي إن B = k A = k. [a_ij] = [k. a_ij].

- يمكن إخراج عامل مشترك بين جميع عناصر مصفوفة.

مثال (2): إن

مثال (3): إن

4) الفرق بين مصفوفتين: إن الفرق A - B بين مصفوفتين [a_ij] و[b_ij] من المجموعة M _{m x n} (F) هو مصفوفة ثالثة C = [c_ij] من المجموعة M_mxn (F).بحيث: c_ij = a_ij - b_ij. أي إن الفرق A - B = A + (-1). B.

5) حاصل ضرب مصفوفتين: إذا كانت A = [a_ij] مصفوفة من المرتبة m x n، وكانت B = [b_ij] مصفوفة من المرتبة n x t، (A وB معرفتان على الحقل نفسه F)؛ فإن الجداء A. B معرّف، وهو مصفوفة C = [c_ij]من المرتبة m x t، بحيث:

أي إن الضرب A. B معرّف على مصفوفتين A وB عندما يكون عدد أعمدة المصفوفة الأولى A يساوي عدد أسطر المصفوفة الثانية B فقط. وإن العنصر cij من المصفوفة C ـ الواقع على السطر i والعمود j ـ هو حاصل جمع ناتج ضرب عناصر السطر i من المصفوفة Aبمقابلاتها من عناصر العمود j من المصفوفة B.

ومن المهم التنبيه على أن عملية ضرب المصفوفات هي:

أ ) عملية تجميعية.

ب ) ليست تبديلية.

فالمطابقة الجبرية (a + b)² = a² + 2ab + b²غير صحيحة في حالة المصفوفات؛ (لأن عملية ضرب المصفوفات ليست تبديلية).

مثال (4): إن

مثال (5): إن

5) المصفوفة المربعة square matrix: هي مصفوفة تساوى فيها عدد الأسطر مع عدد الأعمدة، أي إنها من مرتبة n x n (ويقال اختصاراً من المرتبة n).

6) المصفوفة الحيادية (المحايدة) identity matrix: هي مصفوفة مربعة من المرتبة n، (يرمز لها I_n)، كل عنصر من عناصر قطرها الرئيسي يساوي الواحد، وبقية عناصرها كلها أصفار.

فإذا كانت المصفوفة A من المجموعة M_n (F) (مجموعة كل المصفوفات المربعة من المرتبة n المعرفة على الحقل F)، فإن:

A. I_n = I_n. A = A.

7) نظير مصفوفة matrix inverse: إذا كانت A مصفوفة من المجموعة M_n (F) فإن المصفوفة B من M_n (F) التي تحقق الشرط A. B = B. A = I_n تدعى نظير المصفوفة A بالنسبة إلى عملية الضرب.

ـ ليس من الضروري أن يكون لكل مصفوفة من M_n (F) نظير. فالمصفوفة التي تملك نظيرًا تدعى مصفوفة عكوسة invertible، والتي لا تملك نظيرًا تدعى مصفوفة شاذة singular.

ـ إذا كانت A مصفوفة عكوسة من المجموعة M_n (F)، أي لها نظير في M_n (F)، فإن هذا النظير وحيد.

8) نظير مصفوفة من المرتبة الثانية: تكون المصفوفة

عكوسة إذا كان: a.d - b.c ≠ 0. ويكون نظيرها

وتكون شاذة إذا كان a. b - b. c = 0.

مثال (6):

9) منقول مصفوفة transpose of a matrix: إذا كانت A = [a_ij] مصفوفة من المرتبة m x n، فإن منقولها هو مصفوفة أعمدتها هي أسطر المصفوفة A، (وأسطرها هي أعمدة المصفوفة A). أي إن منقول المصفوفة A هو مصفوفة B = [b_ij] من المرتبة n x m حيث :b_ij = a_jiوذلك من أجل كل قيم i وj. ويرمز لمنقول A بـ AT.

ـ إن منقول مجموع مصفوفتين يساوي مجموع منقوليهما، أي: (A + B)^T = A^T + B^T

ـ إن منقول جداء مصفوفتين يساوي جداء منقوليهما مع تغيير الترتيب. أي إن: (B. A)^T = B^T. A^T

مثال (7): إن منقول المصفوفة:

المصفوفة الملحقة adjoint matrix

إذا كانت A = [a_ij] مصفوفة مربعة من المجموعة M_n (F) فإن محدد المصفوفة A[ر. المحدد] هو العنصر:

من الحقل F، حيث A_ij هي المصفوفة A بعد حذف سطرها i وعمودها j، ويدعى العنصر D_ij = (-1)^{i + j} det A_ijمن الحقل F، العامل المرافق للعنصر a_ij.

إن المصفوفة [D_ij]^T ـ التي هي منقول المصفوفة [D_ij]- تدعى المصفوفة الملحقة، ويرمز لها بـ adj A.

ويبرهن على أنه: إذا كانت A مصفوفة مربعة من المرتبة n معرفة على حقل F؛ فإن:

A. (adj A) = (adj A). A = (det A). I_n

ينتج من ذلك أنه: إذا كان A ≠ 0؛ فإن المصفوفة A عكوسة ونظيرها

مثال (8):

فالمصفوفة A عكوسة، ونظيرها:

مثال (9):

حساب نظير مصفوفة

لحساب نظير مصفوفة A من المجموعة M_n (F):

1) تحسب المحدد det A، فإذا كان det A ≠ 0 فهي عكوسة، ولها نظير، وإلا فهي شاذة، وليس لها نظير.

2) تحسب العوامل المرافقة D_ij.

3) تكتب المصفوفة الملحقة adj A = [D_ij]^T.

4) تكتب النظير

علمًا أن هناك طريقة أخرى لإيجاد نظير المصفوفة المربعة A من المجموعة M_n (F) اعتماداً على التحويلات الأولية السطرية على المصفوفة الموسعة [A | In] augmented matrix، وربما هي أسهل من الطريقة السابقة؛ وتدعى الطريقة العملية.

حل جملة معادلات خطية بالطريقة المصفوفية

من التطبيقات المهمة لنظرية المصفوفات إيجاد مجموعة الحل لجملة n معادلة خطية ذات n مجهولاً، بعد التعبير عنها بمعادلة مصفوفية. فجملة المعادلات الخطية:

(أو بشكل مختصر a_i1x₁ + a_i2x₂ + … + a_inx_n = b_i ; i = 1, 2 …, n)

يمكن كتابتها بالشكل A. X = B حيث: X = [x₁ x₂ … x_n]^{T و}B = [b₁ b₂ … b_n]^T

فإذا كانت A عكوسة نظيرها: A^-1؛ فإن X = A^-1. B

ـ يبرهن على أن الشرط اللازم والكافي؛ ليكون لجملة المعادلات الخطية:

a_i1x₁ + ai₂x₂ + … + a_inx_n = b_i ; i = 1, 2 …, n حل وحيد؛ هو أن تكون مصفوفة الأمثال A = [a_ij] عكوسة.

مثال (10): لحل جملة المعادلات الخطية:

x + 2 y + 4 z = 1

2x + 4 y + 6 z = 1

4x + 6 y + 8 z = -1

تُكتب بالشكل المصفوفي A. X = B أي:

بضرب طرفي المعادلة بنظير A تصبح X = A^-1. B؛ أي

ما يمكن إيجاد مجموعة الحل لجملة m معادلة خطية ذات n مجهول، بعد التعبير عنها بمعادلة مصفوفية. فجملة المعادلات الخطية:

يمكن حلها بعد كتابة المصفوفة الموسعة لها [A | B]؛ أي المصفوفة:

إجراء بعض التحويلات السطرية الأولية عليها لتصبح مصفوفة مدرجة echelon form (أو مدرجة مختزلة reduced echelon form)، فيحصل على مجموعة الحل لجملة المعادلات الخطية المعطاة.

مصفوفة تطبيق خطي matrix of linear map

التطبيق الخطي: ليكن V وW فضاءين شعاعيين[ر: الفضاء المتجهي] على حقل F.

إن التطبيق   دعى تطبيقاً خطيًا من V إلى W إذا حقق الشرطين التاليين:

1) T (v +w) = T (v) +T (w) وذلك مهما تكن v وw من الفضاء المتجهي V.

2) T (a v) = a T (v) وذلك مهما تكن v من V، وa من الحقل F.

بتعبير آخر: التطبيق الخطي هو تشاكل homomorphism من الفضاء V على الفضاء W المعرفين على الحقل F حيث يحافظ على قانوني التشكيل في الفضاء V. فصورة مجموع متجهين (شعاعين) من V؛ تساوي مجموع صورتيهما في W. وصورة حاصل جداء عدد بمتجه من V تساوي جداء العدد بصورة المتجه في W. مع الانتباه لأن (v + w) هو الجمع المعرف على الفضاء V، وأن T (v) + T (w) هو الجمع المعرف على الفضاء W.

وكذلك عمليتا الضرب (av) وaT (v).

المؤثر الخطي linear operator

مثال (11):

مصفوفة التطبيق الخطي: ليكن V وW فضاءين متجهين على حقل F،

وليكن التطبيق

تطبيقًا خطيًا من VإلىW، ولتكن A = {a₁ , a₂ , …, a_n} قاعدة (أساس) basis للفضاءV، وB = {b₁ , b₂ , …, b_n} قاعدة للفضاء W.

إن مصفوفة مركبات صور عناصر القاعدة A على القاعدة B:

التي يمثل عمودها j إحداثيات الشعاع (المتجه) T (a_j) بالنسبة إلى القاعدة B في الفضاء W تسمى مصفوفة التطبيق الخطي T بالنسبة إلى القاعدتين A وB ويرمز لها بالرمز ، أما إذا كانت A وB هما القاعدتين القانونيتين canonical basesفي V وW؛ فيرمز لمصفوفة التطبيق T بالرمز M (T) وذلك للسهولة.

واضح أن مصفوفة التطبيق T تتعلق باختيار القاعدتين A وB في V وW؛ وأن عدد أعمدة المصفوفة يساوي n، بعد V؛ وأن عدد أسطر المصفوفة يساوي m، بعد W.

إن مصفوفة المؤثر الخطي T على فضاء متجهي V بعده n؛ هي مصفوفة مربعة من المرتبة n.

مثال (12): إن مصفوفة المؤثر الخطي:

بالنسبة إلى القاعدة القانونية  A = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} هي:

أنور توفيق اللحام

الموضوعات ذات الصلة:

الحقل ـ الحلقة ـ الفضاء المتجهي ـ المحدد.

مراجع للاستزادة:

ـ أنور توفيق اللحام، مبادئ الجبر الخطي (منشورات جامعة دمشق 1992).

- BERNARD KOLMAN and DAVID R. HILL, Introductory Linear Algebra (Pearson Prentice 2005).

---

- التصنيف : الرياضيات و الفلك - النوع : علوم - المجلد : المجلد الثامن عشر - رقم الصفحة ضمن المجلد : 817 مشاركة :