التحليل الدالي
تحليل دالي
Functional analysis - Analyse fonctionnelle
التحليل الدالي
التحليل الدالي functional analysis يُستعمل هذا التعبير للدلالة على فرع من فروع الرياضيّات، وهو توسيع وتعميم للتحليل الرياضيّ التقليدي، وذلك عن طريق تحويل المفاهيم، التي تبدو أساسيّة في مختلف أوجه هذا الأخير، إلى مفاهيم مجرّدة. فيضع المرء منظومة من المسلّمات، ثم يُثبتُ انطلاقاً منها مبرهنات تشمل المبرهنات التقليديّة حالاتٍ خاصّةً. وكثيراً ما يَظْهَرُ العديد من النتائج التقليديّة، وغيرها من النتائج التي لم تكن قد صيغت من قبلُ، حالاتٍ خاصّةً من مبرهنة مجرّدة واحدة. لعمليّة الانتقال إلى الصيغة المجرّدة هذه مفعولٌ توضيحي، ويتجلى في حذف العناصر الزائدة وإظهار العلاقات المستترة غير المتوقّعة، وهذا ما يؤدي عموماً إلى تعميق فهم النتائج السابقة وإلى تمهيد الطريق للتوصل إلى نتائج جديدة.
يهتم التحليل الدالي، إضافة إلى دوره في تنظيم التحليل الرياضي التقليدي وتوضيحه بالكثير من المسائل التي تخصّه. إذ كثيراً ما يحدث في الرياضيّات أن يؤدّي مفهوم جديد أُدْخِل لحلِّ مسألة بعينها إلى طرح سلسلة من المسائل المتعلِّقة به، والتي قد لا يكون لها صلة بالمسألة الأصليّة، ولا يُستثنى التحليل الدالي من هذه القاعدة. ومن ثم فإن الكثير من مسائل التحليل الدالي هي تعميم لمسائل في الجبر المجرّد، وتأخذ طابعاً مُشابهاً من الناحية الشكليّة على الأقل. ويلاحظ، بأسلوب مماثل، كيف يتقاطع التحليل الدالي مع الطبولوجيا[ر] من دون وجود حدود واضحة.
لذلك يعتقد العديد من الرياضيين عند تأمّل التحليل الدالي بعمق، أنّه نتيجة دمج فرعَي الجبر والطبولوجيا. ويمكن عندئذ تعريف التحليل الدالي بأنّه ذلك الفرع من الرياضيّات الذي تُعْتَمد فيه وجهة النظر هذه منطلقاً ومنهجاً. ومن جهة أخرى تجب الإشارة إلى أنّ العديد من العاملين في حقل التحليل الرياضي التقليدي ما زالوا غير مبهورين بإنجازات التحليل الدالي، ويعتقدون أنّ الشرح السابق متفائل جدّاً، إذ ما تزال النظريات العميقة في التحليل الرياضي عصيّة على التجريد.
ويُعَد إدخال «دوال معمّمة» بأنواع مختلفة سمةً أساسيّة ومهمة في بعض تطبيقات التحليل الدالي في التحليل الرياضي التقليدي. فيمكن لفضاء دوال ذات خواص مألوفة أن يُحْتَضَن في فضاء أوسع تكون عناصره ذات طبيعة مجرّدة، بحيث يمكن إجراء عمليات التحليل المألوفة من اشتقاق وغيرها بحرّية أكبر، وبحيث تأخذ مبرهنات التحليل التقليديّة صيغاً أبسط وأكثر أناقة. ولعلّ نظريّة التوزيعات للوران شوارتز مثال مهم على هذه المقولة.
عمران قوبا
مراجع للاستزادة: |
- S. Banach,Théorie des opérations linéaires (Chelsea Publishing Company 1955).
- N. Dunford & al.,Linear Operators (Wiley Classics Library edition, 1988).
- التصنيف : الرياضيات و الفلك - النوع : علوم - المجلد : المجلد السادس - رقم الصفحة ضمن المجلد : 133 مشاركة :
متنوع
اخترنا لكم
المجلدات الصادرة عن الموسوعة العربية
