برمجه رياضيه لاخطيه

Nonlinear programming - Programmation non-linéaire

البرمجة الرياضية اللاخطية

 

تعد البرمجة الرياضية اللاخطية أكثر شمولية من البرمجة الخطية [ر]، إذ لا تشترط أن يكون تابع الهدف خطياً (من المرتبة الأولى)، كما أنها تكوِّن أيضاً جزءاً هاماً واساسياً من بحوث العمليات، وانتشرت تطبيقات هذه البرمجة في كل فروع العلم من هندسة وفيزياء وكيمياء وجيوفيزياء...الخ.

ولعل من أهم المواضيع التي تعتمد في المقام الأول على البرمجة الرياضية اللاخطية وهو ما يسمى بالمسائل العكسية، وذلك في العلوم التجريبية والعلوم التطبيقية. ومفهوم المسألة العكسية هو تقدير وسائط فيزيائية أو هندسية...الخ اعتماداً على معطيات تجريبية مقيسة في مخبر أو في حقل، أو حسب طبيعة المسألة ويكون لهذه الوسائط عادة دلالات هامة لمتخذي القرار. ويمكن الاستفادة من البرمجة اللاخطية أيضاً في مواضيع التنبؤ والتقدير في الإحصاء التطبيقي.

إن مسائل البرمجة اللاخطية تتألف أيضاً، كما هو الحال في مسائل البرمجة الخطية، من تابع الهدف؛ الذي ربما يكون خطياً أو لاخطياً وتوابع قيود رياضية، ربما تكون خطية أو لاخطية أيضاً. وتقسم تبعاً لذلك إلى عدة أقسام أهمها:

1 ـ البرمجة اللاخطية وغير المقيدة

 في هذا النوع من المسائل يكون لدينا فقط التابع الهدفي، ولا توجد أية قيود رياضية في هذه الحالة، ويمكن أن نكتب ذلك رياضياً كما يلي:

 

ويوجد طرق كثيرة لحل تلك البرامج يذكر منها في حال كون تابع الهدف قابلاً للاشتقاق طريقة نيوتن Newton، وطريقة دافيدون، وفلتشر، وباول Davidon, Fletcher, Powell، وطريقة برويدن وفلتشر وغولدفارب وشانو Broyden, Fletcher, Goldfarb, Shanno، ويذكر منها في حال كون تابع الهدف غير قابل للاشتقاق طريقة هوك  Hooke وجيفس Jeeves وطريقة نلدر Nelder وميد Mead.

2- البرمجة اللاخطية المقيدة والمحدبة

وهي أن يكون تابع الهدف محدباً في حالة التقليل،وأن يكون مقعراً في حالة التعظيم، وأن تكوَّن القيود الرياضية بمجملها (منطقة الإمكانات) مجموعة مغلقة ومحدبة في الفضاء الحقيقي.

ويمكن أن نكتب ذلك رياضياً كما يلي:

 

ويوجد طرق كثيرة لحل تلك البرامج، من أهمها: طريقة فرانك Frank ووولف Wolf وطرائق البرمجة التربيعية المتتابعة Successive quadratic programming methods، وطرائق الجزاء وتابع الحاجز Penalty and barrier function methods.

3- البرمجة غير الخطية وغير المحدبة

وهذه المسائل قد يكون فيها التابع الهدفي غير مقعر أو غير محدب، أو تكون منطقة الإمكانات غير محدبة. وهناك عدة طرق، بيد أنها جميعها عشوائية وتسمى بالطرق الاحتمالية العشوائية stochastic methods، بينما توصف الطرق السابقة بأنها طرق محددة determinestic methods, تستخدم هذه الطرق كثيراً في الفيزياء وفي حلول المسائل العكسية وكذلك في فروع الهندسة وغيرها. ويستحسن استخدام هذه الطرق عند البحث عن حلول عامة أو شاملة global solutions لا حلول موضعية  local solutions، وذلك عندما تكون المسائل كبيرة الحجم أو مسائل معقدة رياضياً، وتماثل هذه الطرق في كيفية عملها طريقة مونت كارلو الشهيرة Monte Carlo method.

 

محمد طلاس

 

مراجع للاستزادة:

 

-M.Minoux, Programation mathematique (Dunod 1983).

-P.Caron, A. Juhel, and F.Vandevelde, programmation lineaire (Dunod 1988).

---

- التصنيف : الرياضيات و الفلك - النوع : علوم - المجلد : المجلد الرابع - رقم الصفحة ضمن المجلد : 904 مشاركة :