برهان رياضي

Mathematical reasoning - Raisonnement mathématique

البرهان الرياضي

 

إن برهان Raisonnement قضية «رياضية» هو سلسلة منتهية من التحويلات تقود إلى القضية انطلاقاً من قضايا صحيحة (مبرهنات) أو يفترض أنها صحيحة (موضوعات) بمساعدة قواعد استنتاج صحيحة، وبرهان (إثبات) مُبرهنةٍ ما هو استنتاجُ المطلوبِ انطلاقاً من فروض معطاة وبمساعدة قواعد استنتاج صحيحة.

وعندما يراد إثبات قضية رياضية يستحسن، في حال الإمكان، وضعها في صيغة اقتضاء ق ¬ ك، إن ذلك يتيح صياغة عكس هذه القضية بسهولة. يسمى العنصر الأيمن (المقدم) «ق» في الاقتضاء فرضاً، ويسمى العنصر الأيسر (التالي) «ك» طلباً. وعلى سبيل المثال تكتب المبرهنة: في كل متوازي أضلاع: ينصف كل من القطرين القطر الآخر، في صيغة اقتضاء كما يأتي: إذا كان الرباعي متوازي أضلاع، فإن قطريه ينصِّف كل منهما الآخر. فالفرض هو أن الرباعي متوازي الأضلاع، والطلب هو أن ينصف كل من قطريه القطر الآخر.

طرائق البرهان

هناك طريقتان رئيستان للبرهان: البرهان المباشر وينضوي تحته الاستقراء التام، والبرهان غير المباشر.

أ ـ البرهان المباشر: وفيه يكون الانطلاق من فروض قُبلت على أنها حقيقة (صحيحة) وبالاستعانة بمبرهنات سابقة وبقواعد استنتاج صحيحة وبعد عدد منته من الخطوات يُتوصَّل إلى الطلب.

ب ـ البرهان التدريجي: ويسمى عادة البرهان بالاستقراء التام (الاستقراء الرياضي). وتنص مبرهنة الاستقراء التام على ما يأتي: إذا كان ن متغيراً على مجموعة الأعداد الطبيعية وكانت ق(ن) قضية (جملة مفتوحة) يكون فيها ن المتغير الوحيد،

ـ وإذا كانت ق(0) صحيحة،

ـ وإذا أمكن إثبات صحة ق(ن+1) بفرض أن ق(ن) صحيحة مهما كان العدد الطبيعي ن،

فعندئذ تكون ق(ن) صحيحة من أجل جميع الأعداد الطبيعية.

يمكن تعديل مبرهنة الاستقراء التام لتكون على النحو الآتي:

إذا كانت ق(ن) صحيحة في حالة عدد طبيعي ن₅.

وإذا أمكن إثبات صحة ق(ن+1) بفرض أن ق(ن) صحيحة مهما كان العدد الطبيعي ن،

فعندئذ تكون ق(ن) صحيحة في حالة جميع الأعداد الطبيعية التي هي £ن₅.

حـ ـ البرهان غير المباشر: يُحدَّد في البرهان غير المباشر، كما في أي برهان، الفرض والطلب أولاً، ثم يُؤتى بالبرهان بعد ذلك.

وللقيام بالبرهان يكون الانطلاق من افتراض أن نفي الطلب صحيح والوصول من ذلك، وبالاستعانة بقواعد الاستنتاج الصحيحة، إلى أن نفي الفرض صحيح (وهذا ما يسمى خُلْفاً). ولمّا كانت القضية ونفيُها لا تصحّان في آن واحد، كان لابد أن يكون الطلب صحيحاً. باستعمال الرموز: إن برهان صحة الاقتضاء ق ¬ ك يكون ببرهان صحة الاقتضاء (نفي ك ¬نفي ق).

تستعمل هذه الطريقة كثيراً في الحياة اليومية، فإثبات صحة القضية «إذا هطل المطر ابتلّت الأرض» يكافئ إثبات صحة القضية «إذا لم تبتل الأرض فإن المطر لم يهطل»، وإثبات صحة القول «إذا كان المدير موجوداً فإن سيارته تكون واقفة أمام المبنى» يكافىء إثبات صحة القول «إذا لم تكن سيارة المدير واقفة أمام المبنى فإنه غير موجود».

البرهان الموضوعاتي

إن هذا النمط من البرهان لا يقع في التصنيف المنطقي وإنما في حقل التطبيق، فقد يكون هذا البرهان مباشراً أو غير مباشر. ويهدف هذا البرهان إلى استخلاص جميع النتائج المنطقية لنظام موضوعاتي بصفة مجردة. وتكون النتائج المستخلصة خواصَّ لعناصر المجموعة التي تَعَرَّفها نظامُ الموضوعات.

وتستعمل الطريقة الموضوعاتية كثيراً في الرياضيات، إذ يُحاول أن يُعطى كل تعريف الشكل الأكثر تناسقاً واختزالاً ووضوحاً.

 

موفق دعبول

 

الموضوعات ذات الصلة

 

الأعداد الطبيعية، الزمرة، الطبولوجية، المجموعة، المنطق، الموضوعاتية (طريقة).

 

مراجع للاستزادة

 

ـ برتران رسل، أصول الرياضيات (ترجمة محمد مرسي أحمد، أحمد فؤاد الأهواني (دار المعارف بمصر 1965).

- P.R. Hamos, Introduction á la théorie des ensembles, Mouton et Gauthier - villars 1967.

- M. Baginski, G. schwanitz, W. Glaewe, P. Goll, Einführung indie mathematische Logik. (Volk und wissen, Volkseigener verlag Berlin 1972).

---

- التصنيف : الرياضيات و الفلك - النوع : علوم - المجلد : المجلد الرابع - رقم الصفحة ضمن المجلد : 931 مشاركة :