اعداد صحيحه (حلقه)

Integers - Entiers relatifs

الأعداد الصحيحة (حلقة ـ)

 

بعد أن عَرَفَ الإنسان نظام الأعداد الطبيعية 0، 1، 2، 3، واستطاع حلَّ بعض المعادلات الجبرية البسيطة عليه، وجد أن هذا النظام لا يفي بكل حاجاته فهو لا يستطيع به مثلاً حل المعادلة س+ 7=2، أي أنه لا يوجد عدد طبيعي يحقق هذه المعادلة، من هنا نبعت الحاجة إلى نظام جديد يسدّ النقص في النظام السابق فكان نظام الأعداد الصحيحة integers   . و+1 و-1 و+2 و-2،...  والذي يرمز له بـ ص (Z).

عُرِّفت على مجموعة الأعداد الصحيحة ص عمليتا جمع وضرب تجعلُ منها حلقة تبادلية واحدية كاملة، وعلاقة ترتيب (وهي أصغر أو يساوي) تجعلها مرتبة تماماً.

تعريف الأعداد الصحيحة بعلاقة تكافؤ في ط × ط والعمليات عليها

1ـ ترمز ط لمجموعة الأعداد الطبيعية 0، 1، 2، 3، . و ط × ط لمجموعة الجُداء ط في ط أي مجموعة الأزواج (س،ع) حيث ينتمي كل من س و ع إلى ط. تُعرَّف على ط × ط العلاقة ~ التالية:

(أ، ب) ~ (أَ، بَ) ⇔ أ + بَ = ب + أَ

تتصف هذه العلاقة بأنها:

ـ انعكاسية لأن أ + ب = ب + أ يقتضي (أ، ب) ~ (أ، ب)

ـ تناظرية لأن:

(أ، ب) ~ (أَ، بَ) ⇔ أ + بَ = ب + أَ ⇔ أَ + ب = بَ + أ ⇔ (أَ، بَ) ~ (أ، ب)

 ـ متعدية لأن:

(أ، ب) ~ (أَ، بَ) و (أَ، بَ) ~ (أً، بً) مكافئ لـ:

أ + بَ = ب + أَ و أَ + بً = بَ +أً

وهذا يعطي بجمع كل طرف إلى الطرف الذي يماثله والاختصار:

أ + بً = ب + أً ⇔ (أ، ب) ~ (أً، بً) وهكذا تكون العلاقة المعرّفة في ط × ط علاقة تكافؤ.

تسمى مجموعة صفوف التكافؤ من ط × ط (أي المجموعة الخارجة لـ ط × ط على ~) مجموعة الأعداد الصحيحة.

أمثلة على الأزواج المتكافئة: إن الأزواج (17، 20)، (6، 9) و(13، 16) متكافئة وتمثل عدداً صحيحاً واحداً، والأمر ذاته يصح في الأزواج (8، 3)، (7، 2)، (15، 10) و(12، 7).

وفي كل صف تكافؤ زوج تكون إحدى مركبتيه على الأقل مساوية الصفر، ففي المثال الأول يوجد الزوج (0، 3) أما في المثال الثاني فيوجد الزوج (5، 0). يمثل الزوج (0، 0) صف التكافؤ (أ، أ) وذلك مهما كان العنصر أ من ط، وهكذا يقبل كل عدد صحيح ممثلاً قانونياً هو أحد الأشكال التالية (مـ، 0) أو (0، ن) أو (0، 0) حيث تنتمي كل من مـ وَ ن إلى ط*.

تقابل هذه الأشكال الثلاثة المختلفة للتمثيلات القانونية على التوالي الأعداد الصحيحة الموجبة والسالبة والصفر بالشكل الذي جرت العادة باستعماله في الحسابات الابتدائية. وينتج من هذا أنه إذا كانت ب في العدد (أ، ب) أصغر من أ فإن هذا العدد موجب، أما إذا كانت ب أكبر من أ فإنه سالب.

يرمز لصف تكافؤ الزوج (مـ، 0) بـ مـ ولصف تكافؤ الزوج (0، ن) بـ -ن وصف تكافؤ الزوج (0، 0) بـ0.

ترمزصَ لمجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة بما في ذلك الصفر، كما ترمز صً لمجموعة الأعداد السالبة بما في ذلك الصفر فيكون

ص = صَ È صً و {0} = صً  Ç صً

2ـ الجمع في ص: بفرض أن (أ، ب)، (حـ، د) زوجان من ط × ط، فإن الزوج (أ + جـ، ب+ د) يسمى مجموع هذين الزوجين بالترتيب الذي وردا فيه، يرمز لعملية الجمع الجديدة في ص بالإشارة +، التي لا تختلف عن إشارة الجمع في ط.

يجب أن لا يتغير حاصل الجمع بتغيير الممثل لصف التكافؤ أي إنه ينبغي أن تكون علاقة التكافؤ منسجمة مع عملية الجمع، أي إذا كان:

(أ، ب) ~ (أَ، بَ) و (جـ، د) ~ (جـَ، دَ)

فيجب أن يكون:

 [(أ،ب) + (جـ،د)] ~ [(أَ،بَ) +(جـَ،دَ)]

أو: (أ + جـ، ب + د) ~ (أَ + جـَ، بَ + دَ)

لدينا:

(أ، ب) ~ (أَ، بَ) ⇔ أ + بَ = ب + أَ

(جـ، د) ~ (جـَ، دَ) ⇔ جـ + دَ = د + جـَ

وهذا يقتضي:

أ + جـ + بَ + دَ = ب + د + أَ + جـَ

أو: (أ + جـ، ب + د) ~ (أَ + جـَ، بَ + دَ)

 أي إنه يمكن أن يؤخذ أي ممثلٍ لصف تكافؤ لإجراء عملية جمع عنصرين من ص.

يتصف الجمع في ص بأنه:

ـ تجميعي س + (ع + ف) = (س + ع) + ف؛ ∀س، ع، ف Эص

ـ تبادلي س + ع = ع + س؛ "س، ع Эص

ـ ذو عنصر محايد هو الصفر 0 = (0 ، 0)؛ س + 0= س، ∀س Эص

 ـ كل عنصر من ص نظور (أي له نظير)، ونظير سэ ص هو العنصر سَ بحيث يكون س + سَ = (0 ، 0)؛ ويرمز للنظير سَ بـ -س وهذا يعلل لماذا يرمز لـ (0، س) بـ -س.

تشكل المجموعة ص مزودةً بعملية الجمع هذه زمرة تبادلية.

وينتج من تعريف الجمع أن حاصل جمع أي عددين صحيحين موجبين أو سالبين هو عدد صحيح موجب أو سالب على الترتيب، وأن نظير أي عدد صحيح موجب هو عدد صحيح سالب.

3 ـ الضرب في ص: بفرض أن (أ،ب)، (جـ، د) زوجان في ط × ط، فإن الزوج (أ جـ + ب د، أ د + ب جـ) يسمى جُداء هذين الزوجين ويكتب:

(أ، ب) × (جـ، د) = (أ جـ + ب د، أ د + ب جـ)

حيث رمز لعملية الضرب بالإشارة × التي لا تختلف عن إشارة الضرب في ط. لا يتغير حاصل الضرب بتغيير الممثل لصف التكافؤ، أي أن علاقة التكافؤ ~ منسجمة مع عملية الضرب في ص؛ وهذا يعني أن الجداء (أ، ب) × (جـ، د) مكافئ للجداء (أََ، بَ) × (جـَ، دَ) إذا كان (أ، ب) و(جـ، د) مكافئين على الترتيب لـ (أََ، بَ)و (جـَ، دَ)

يتصف الضرب في ص بأنه:

ـ تجميعي س × (ع × ف) = (س × ع) × ف؛ ∀س، ع، ف Эص

تبادلي س × ع = ع × س؛ ∀س، ع Эص

ـ توزيعي بالنسبة للجمع س × (ع + ف) = س × ع + س × ف، ∀س، ع، ف Эص

 ـ ذو عنصر محايد (1، 0) ويرمز له بـ 1، ويكون:

 س × 1= 1 × س= س؛ ∀س Э ص

ينتج من تعريف الضرب أن جداء أي عددين صحيحين موجبين معاً أو سالبين معاً هو عدد موجب، وجداء عدد صحيح موجب بآخر سالب هو عدد صحيح سالب.

4ـ ص حلقة صحيحة: تشكل مجموعة الأعداد الصحيحة ص مزودة بعمليتي الجمع والضرب حلقة واحدية تبادلية، إضافة إلى ذلك فإن ص حلقة كاملة أي:

س × ع =0 تقتضي س =0 أو ع =0 بذلك تصبح ص حلقة صحيحة (حلقة تبادلية واحدية وكاملة). 

 5 ـ غَمْر ص لـ ط:إن التطبيق

تا: ط ←ص

  أ ← (أ، 0)

تباكل (تشاكل متباين)، كذلك فإن تا تماكل (تشاكل تقابلي) لـ ط على المجموعة

 تا(ط)= {(أ،0)| أЭ ط} الجزئية من ط × ط وهذا يبرر الاصطلاح أ = (أ، 0).

 6 ـ علاقة الترتيب في ص: تُعرّف في ص العلاقة ≤ بحيث أن س ≤ ع ⇔ ع - س Эصَ (وتقرأ س أصغر أو تساوي ع أو س أصغر من ع اختصاراً). تتصف هذه العلاقة بأنها:

ـ انعكاسية لأن س - س =0 Эصَ

ـ متخالفة التناظر لأن (س ≤ ع و ع ≤ س) تكافئ ع- س Эص وس- ع Эص وهذا يقتضي

  س-ع Э صَ Ç صً ={0}أي أن س - ع =0 أو س = ع.

ـ متعدية لأنه إذا كان (س ≤ ع وع ≤ ف) أي إذا كان ع – س Эصَ وف – ع Эصَ فإن

ع - س + ف - ع Эصَ

أي أن ف - س Эصَ ومن ثمَّ فإن س ≤ ف.

ينتج مما سبق أن ≤ علاقة ترتيب؛ يضاف إلى ذلك أنها علاقة ترتيب كلية، لأنه مهما يكن س،ع эص، فإما أن يكون س – ع эصَ أي أن  ع ≤ س، أو أن يكون س – ع Эصً أي س ≤ ع؛ كما أنه يمكن أن يكون س-ع Эصَ∩صً={0} وعندها يكون س=ع.

7 ـ ص مزودة بعلاقة الترتيب ≤ هي سلسلة ( Chaine): إذا كان س عدداً صحيحاً موجباً فإن س Эصَ وهذا يكافئ س -0 Э صَ وهذا يكافئ س ≥ 0

وإذا كان ع عدداً صحيحاً سالباً فإن ع эصً وهذا يكافئ ع -0 Э صً وهذا يكافئ ع ≤ 0

 ومن ثمّ فإن كل عدد صحيح سالب ع أصغر من أي عدد صحيح موجب س لأن: (ع سالب Ü ع ≤ 0

وس موجب

Ü

0 ³ س

 وبما أن علاقة الترتيب متعدية فإن ع ≤ س).

أخيراً مهما يكن س Эص وع ≤ ف فإن س + ع ≤ س + ف وذلك لأن:

ع ≤ ف ⇔ ف - ع Эصَ

وعليه فإن:

ف - ع + س - س = (س + ف) - (س + ع) صَ وهذا يقتضي س + ع ≤ س + ف

تبين الخاصة الأخيرة أن علاقة الترتيب (≤) منسجمة مع الجمع في ص.

تلخص النتائج السابقة بالقول إن ص مزودة بالجمع وعلاقة الترتيب (≤) هي زمرة مرتبة.

8 ـ علاقة الترتيب إزاء الضرب: إذا كان س ≤ ع فإن ع – س эصَ وبفرض أن ف эصَ فإن: (ع - س) × ف эصَ أو ع ف - س ف эصَ ومنه يكون س ف ≤ ع ف.

يتبين من ذلك أن المتراجحة تبقى محافظة على جهتها إذا ضُرب طرفاها بعدد صحيح موجب وتنعكس هذه الجهة إذا ضُرب طرفاها بعدد صحيح سالب.

إن ص مصحوبة بعمليتي الجمع والضرب وعلاقة الترتيب (≤) هي حلقة مرتبة.

القيمة المطلقة لعدد صحيح

إن القيمة المطلقة لأي عدد صحيح س هي أكبر العددين س و- س ويرمز لها بـ |س|، وعلى هذا فإنه:

إذا كان 0≤ س فإن س= |س|

وإذا كان س ≤ 0 فإن - س= |س|

وتحقق القيمة المطلقة للأعداد الصحيحة مايلي:

|س×ع| =|س| × |ع|

|س+ع| ³ |س| + |ع|

كذلك يكون:

 - |س| ³ س ³ |س|

- |ع| ³ ع ³ |ع|

وبالجمع ينتج: -(|س|+|ع|) ³ س+ع ³ |س|+|ع|

إن ص عدودة (قابلة للعد) وعددها الأصلي _oص

القسومية (قابلية القسمة) في ص

 يقال عن العدد الصحيح جـ ≠ 0 إنه يقسم عدداً صحيحاً آخر ب أو إن جـ قاسم لـ ب (أو إن ب قسوم على جـ) إذا وجد عدد صحيح د بحيث يكون ب = حـ × د، ويكتب عندها جـ|ب (وتقرأ حـ تقسم ب). يسمى د حاصل قسمة ب على جـ وهو وحيد. أما إذا كان جـ لايقسم ب فنكتب جـ† ب.

يقسم أيُّ عدد صحيح جـ ≠0 الصفر وذلك لأن 0= 0 × جـ. كذلك يقسم العددان ا و -1 أي عدد صحيح ب، إذا كان ب ≠0، فإن العدد الصحيح ب قسوم على ب وعلى - ب. تتصف القسومية بمايلي:

ـ إذا كان جـ | ب فإن جـ | -ب وَ -جـ | ب وَ -جـ | -ب

ـ إذا كان جـ | ب وَ ب | د عندئذ يكون جـ | د

ـ إذا كان جـ | ب وَ جـ | بَ فإن ج | (ب ± بَ) 

ـ إذا كان جـ | ب فإن جـ | ك ب  وذلك مهما كان العدد ك من ص

ـ إذا كان جـ | ب فإن |جـ| ³|ب|

ـ إذا كان جـ | ب وكذلك ب | جـ عندئذ يكون ب = ± جـ

بفرض أن ب وجـ عددان صحيحان موجبان، فإنه يوجد عددان صحيحان ح، ر غير سالبين بحيث يكون:

ب = جـ × ح + ر؛ \ ³ ر< جـ

إن ح وَ ر وحيدان. تسمى هذه القسمة «الإقليدية» ويسمى ح «حاصل قسمة ب على حـ» كما يسمى ر الباقي.

تُعممُ عملية القسمة السابقة على الشكل التالي:

بفرض أن ب وحـ عددان صحيحان، فإنه يمكن تعيين ح و ر بحيث يكون:

 ب = جـ × ح + ر؛ \ ³ ر < |جـ|

إن تقسيم 72 على -14 هو: 72 = (-14) × (-5) + 2؛ 0 < 2 < |-14|

 إن حاصل القسمة -5 والباقي 2.

 كذلك فإن تقسيم -94 على 11 هو: -94 =11(-9) + 5؛ 0 < 5 < 11 إن -9 حاصل القسمة والباقي 5.

 كذلك فإن تقسيم 94 على 11 يعطى بـ: 94 =11 × (8) + 6؛ 0 < 6 < 11 إن حاصل القسمة 8 والباقي 6.

 وأخيراً فإن تقسيم -94 على -11 يعطى بـ -94= (-11) × 9 + 5؛ 0 < 5 <|-11|

التوافق (التطابق) مقاس ن

بفرض أن ن عدد صحيح قيمته المطلقة أكبر من الواحد، وأن سَ، س Э ص فإنه يقال عن س و سَ إنهما متوافقان (متطابقان) مقاس ن إذا وإذا فقط كان س-سَ قسوماً على ن، أي إذا وإذا فقط كان لـ س وسَ باقي القسمة على ن ذاته ويكتب:

س ≡ سَ (مقا ن)

يلاحظ أن س- سَ قسوم على ن إذا وإذا فقط كان قسوما على -ن

س ≡ سَ (مقا ن) ⇔ س ≡ سَ (مقا -ن)

 لذلك يكفي دراسة التوافق لأجل 1< ن.

التوافق مقاس ن هو علاقة تكافؤ على ص لأنها تتصف بمايلي:

ـ انعكاسية لأن ن| (س - س) ⇔ س ≡ س (مقا ن)، "س Эص

ـ متناظرة لأن س ≡ سَ (مقا ن) ⇔ ن|(س - سَ) ⇔ ن| سَ - س ⇔ سَ≡ س (مقا ن)

ـ متعدية لأن س ≡ سَ (مقا ن) وَ سَ ≡ سً (مقا ن) مكافئان لـ ن|(س - سَ)

وَ ن|(سَ - سً)  Ü ن| (س - سَ) + (سَ - سً)  Üن| (س - سً)  Ü س ≡ سً (مقا ن)

 ترمز ص/ن ص لمجموعة صفوف التكافؤ لهذه العلاقة أوالمجموعة الخارجة لـ ص على التوافق مقاس ن، كما ترمز ب لصف تكافؤ ب Эص وفق هذه العلاقة. تزود ص/ن ص بعمليتي الجمع والضرب التاليتين:

ب + جـ = ب⁺جـ وَ ب × جـ = ب×جـ؛ " ب،جـ Э ص

هاتان العمليتان منسجمتان مع علاقة التوافق، أي إذا كان ب =بَ و جـ = جـَ

فإن: ب + جـ = بَ + جـَ وَ ب × جـ = بَ × جـَ لأن

ب = بَ⇔ ب ≡ بَ (مقا ن) ⇔ ن | (ب - بَ) ج = جـَ ⇔ جـ ≡ جـَ (مقا ن) ⇔ ن | (جـ - جـَ)

{ Ü

ن | (ب - بَ) + (جـ - جـَ)  Ü ن | (ب + جـ) -(بَ + جـَ)  Ü(ب + جـ) ≡ (بَ + جـَ) (مقا ن)

ن | (ب - بَ) (جـ - جـَ)، ن | جـَ (ب - بَ)، ن | بَ (جـ - جـَ)  Ü ن | (ب - بَ) (جـ - جـَ) + جـَ (ب - بَ) + بَ (جـ - جـَ)

 إذن: ن | (ب جـ - بَ جـَ)  Ü ب جـ ≡ بَ جـَ (مقا ن)

إن ص/ن ص مزودة بعملية الجمع زمرة تبادلية كما إن ص/ن ص مزودة بالضرب مونوئيد (مجموعة مزودة بعملية ثنائية تجميعية وتملك عنصراً محايداً) يضاف لذلك إن الضرب توزيعي بالنسبة للجمع وينتج عن ذلك أن ص/ن ص مزودة بالجمع والضرب حلقة تبادلية واحدية.

إذا لم يكن ن أولياً فإن هناك عددين س و ع يحققان:

 ن= س × ع، س ≠1، ع 1≠، ن ≠ س، ن ≠ ع.

وتكون عندها الحلقة ص/ن ص غير كاملة وذلك لأن

 س × ع = ن = 0، أما إذا كان ن أولياً فإن س وع غير موجودين وتصبح الحلقة ص/ن ص حقلاً.

تستعمل التوافقات الحسابية في الحساب ونظرية الأعداد فهي تسمح باختصار عمليات القسومية، وذلك لأنه يمكن الاستعاضة عن كل عدد بباقي قسمته والذي هو أصغر منه أو مساوٍ له؛ ومثال ذلك لمعرفة قسومية العدد 9999997 على 7 يكتب:

10≡ 3 (مقا 7) ⁷10 ≡⁷3 (مقا 7) ≡ 3 (مقا 7)

ولكن 9999997= ⁷10 -3 و7  |⁷10 -3، فالعدد المفروض يقبل إذن القسمة على 7.

إلهام حمصي

 

الموضوعات ذات الصلة

 

الحلقة ـ العلاقة الثنائية.

 

مراجع للاستزاذة

 

ـ عبد الغني طنطاوي، مبادئ التحليل الرياضي (جامعة دمشق 1972).

ـ ش. بيزووم. زمانسكي، الرياضيات العامة والجبر والتحليل، القسم الأول، ترجمة عدنان الحموي (دمشق،وزارة التعليم العالي 1976).

-O.ORE, Invitation to the Number Theory (Westminster, Maryland 1969).

---

- التصنيف : الرياضيات و الفلك - النوع : علوم - المجلد : المجلد الثاني - رقم الصفحة ضمن المجلد : 740 مشاركة :