زمره

Group - Groupe

الزمرة

 

الزمرة group هي زوج مرتب (ثنائية) (G,*) حيث G مجموعة و* قانون تشكيل داخلي (عملية ثنانية) على G يحقق الفرضيات الثلاث الآتية:

1) a*(b*c) = (a*b)*c، وذلك مهما تكن a,b,c من G. (الخاصة التجميعية).

2) يوجد عنصر e من G بحيث يكون e*a = a*e = a، وذلك مهما تكنa ∈G ء  e) حيادي(G.

3) لكل عنصر a ∈G يوجد عنصر b ∈G بحيث يكون b) b*a = a*b = e  يدعى نظير a).

يلاحظ أن الفرضية الثانية تشترط أن المجموعة G غير خالية.

ظهر مفهوم الزمرة في أعمال العالم الرياضي الفرنسي إيفارست غالوا(1811ـ1832)Evariste Galois، حيث ورد مفهوم زمرة الخارج ضمناً في اقتراحاته عام 1830، في حين يعود تعريف زمرة الخارج إلى العالم الرياضي الألماني أوتو لودفيغ هولدر Otto Ludwig Holder عام 1889. كذلك فإن أوجستين لويس كوشي (1789ـ1857)Augustine Louis Cauchy  استعمل مفهوم زمرة التباديل في دراسة حلول المعادلات الحدودية، ثم إن العالم الرياضي النروجي نيلس هينريك آبل (1802ـ1829)Niels Henrik Abel استخدم الفكرة في دراسة حلول المعادلات الحدودية، إذ أثبت أن المعادلة الحدودية من الدرجة الخامسة لا يمكن حلها بالجذور.

كان العالم الفرنسي جوزيف لويس لاغرانج (1736ـ1813)Joseph Louis Lagrange أحد المصنفين الأوائل، واستخدم ليونهارد أولر (1707ـ1783)Leonhard Euler أفكار لاغرانج للزمرة في إثبات إحدى مبرهناته العددية.

أما التعريف المذكور آنفاً فقد ظهر عام 1882 في أعمال ولتر دايك Walter Dyck وأعمال هاينريخ فيبر Heinrich Weber.

الزمرة التبديلية (الآبلية) Commutative (Abelian) Group: إذا كانت (G,*) زمرة تحقق الشرط الإضافي الآتي:

a*b = b*a وذلك مهما تكن a,b ∈G (الخاصة التبديلية)

سميت زمرة تبديلية.

إن الفرضيتين الثانية والثالثة فيهما زيادة، حيث يمكن الاكتفاء بذكر جهة واحدة بالنسبة للحيادي والنظير فيقال G تملك حياديًا يمينيًا (يساريًا)، ولكل عنصر في G يوجد نظير يميني (يساري) في G.

يعبر أحيانًا عن الزمرة (G,*) بـ G فقط .

أمثلة: مجموعة الأعداد الصحيحة مع الجمع (+,Z) زمرة تبديلية. أما مجموعة الأعداد الكسرية (المنطقة) مع الضرب (., Q) فليست زمرة (لأن الصفر ليس له نظير).

5 4 3 2 1 0 *     5 4 3 2 1 0 *     5 4 3 2 1 0 * 5 4 3 2 1 0 0     5 4 3 2 1 0 0     5 2 1 4 3 0 0 0 5 4 3 2 1 1     2 3 4 5 0 1 1     4 5 3 2 0 1 1 1 0 5 4 3 2 2     1 0 5 4 3 2 2     3 1 5 0 4 2 2 2 1 0 5 4 3 3     4 5 0 1 2 3 3     2 4 0 5 1 3 3 3 2 1 0 5 4 4     3 2 1 0 5 4 4     1 0 2 3 5 4 4 4 3 2 1 0 5 5     0 1 2 3 4 5 5     0 3 4 1 2 5 5 زمرة تبديلية     زمرة غير تبديلية     ليست زمرة

مرتبة عنصر من زمرة Element’s Order: إذا كانت G زمرة، وكان a عنصرًا من G، فإن مرتبة العنصر a هي أصغر عدد صحيح موجب n بحيث aⁿ = 1 (حيث 1 هو حيادي G). ويقال عن a إنه من المرتبة n.

إذا لم يمكن إيجاد العدد الصحيح الموجب n فيقال إن a من مرتبة لانهائية.

الزمرة المنتهية Finite Group: يقال عن زمرة G إنها منتهية إذا كان عدد عناصر G منتهيًا.

مثال: زمرة دورانات مثلث متساوي الأضلاع، زمرة تباديل {1,2,3,4,5,6}.

مرتبة زمرة Order of a Group: إن مرتبة زمرة منتهية G هو عدد عناصرها ويرمز إليها بـ |G|.

الزمرة الجزئية Subgroup: إذا كانت (G,*) زمرة، وكانت H مجموعة جزئية غير خالية من G، وكانت H مع مقصور قانون التشكيل الداخلي * على H زمرة، فإن (H,*) تدعى زمرة جزئية من الزمرة (G,*) وعندئذٍ تُكتب H ≤ G.

أي أنه إذا كانت H مغلقة بالنسبة إلى قانون التشكيل الداخلي * ( أي إن a,b ∈H يقضي a*b ∈H)، وكان لكل عنصر a ∈Hنظير b ∈H، فإن (H,*) زمرة جزئية من الزمرة (G,*).

إذا كانت H زمرة جزئية من زمرة منتهية G فإن مرتبة H تقسم مرتبة G [ أي أن |H| تقسم |G| ].

إذا كانت كل من H و K زمرة جزئية من زمرة G، فإن HK ={hk : h ∈H , k ∈K} زمرة جزئية من G إذا وإذا فقط كانت HK = KH.

إذا كانت G زمرة منتهية من المرتبة n وكانت m تقسم n فقد يكون لـ G زمرة جزئية من المرتبة m وقد لا يكون.

الزمرة الجزئية الحقيقية Proper Subgroup: إذا كانت G زمرة حياديها e، فإن كلاً من G و{e} تدعى زمرة جزئية غير حقيقية من G.

وكل زمرة جزئية أخرى من G تدعى زمرة جزئية حقيقية.

المنظم the Normalizer: إذا كانت (*,G) زمرة، وكان a عنصرًا من G، فإن منظم العنصر a ∈G هو المجموعة:

N (a) = {x ∈G : xax ^-1 = a }

 إذا كانت G زمرة وكانت A G فإن المجموعة:

NG (A) = {g ∈G : gAg ^-1 = A}

حيث: {gAg ^-1 = {gAg ^-1 : x ∈A

تدعى منظم المجموعة A في G.

الزمرة الجزئية الدوارة Cyclic Subgroup: إذا كانت (G,0) زمرة، وكان a عنصرًا من G، فإن:

H ={a ⁿ : n ∈Z }

هي الزمرة الجزئية الدوارة المولدة بالعنصر a ∈G ويرمز لها H = < a >.

إن مرتبة العنصر a ∈G هي مرتبة الزمرة الجزئية الدوارة المولدة بالعنصر a.

الزمرة الدوارة Cyclic Group: تدعى الزمرة (G,0) دوارة إذا وجد عنصر a ∈G بحيث:

G = {aⁿ : n ∈Z }

أي إذا كانت G = < a > .

ومن المعلوم أن < a > تكون غير منتهية إذا كانت القوى المختلفة لـ aكلها مختلفة. وتكون منتهية إذا وجدت قوتان مختلفتان a^m, a¹ متساويتان [أي a^m =a^t ].

مثال : إن الزمرة (Z₁₂ , t) تشكل زمرة دوارة مولدها a = 1، أي إن Z₁₂=<1> وإن H = <3> = {0,3,6,9} هي زمرة جزئية دوارة منها.

الزمرة الدورية Periodic Group: يُقال عن زمرة (G.0) إنها دورية إذ كان كل عنصر من عناصرها ذا مرتبة منتهية.

أنور اللحام

الموضوعات ذات الصلة:

 

الحقل ـ الحلقة.

 

مراجع للاستزادة:

- John. A. Fraleigh, A First Course in Abstact Algebra (Addison-Wesley 1970).

D.J.Dummit & R.M.Foote, Abstract Algebra (Prentice-Hall 1999).

---

- التصنيف : الرياضيات و الفلك - النوع : علوم - المجلد : المجلد العاشر - رقم الصفحة ضمن المجلد : 400 مشاركة :