حلقه

Ring - Anneau

الحلقة

 

الحلقة ring (س ، +، ×) هي مجموعة غير خالية س، مزودة بقانوني تشكيل داخليين، يسمى أحدهما جمعاً ويرمز له بـ +، والآخر ضرباً ويرمز له بـ ×، بحيث يتحقق ما يلي:

1- المجموعة س تكون زمرة تبديلية بالنسبة للجمع[ر].

2- الضرب تجميعي؛ أي: (س × ع) × ص = س × (ع × ص) لكل ثلاثة عناصر س، ع، ص من س.

3- الضرب توزيعي على الجمع، أي:

س × (ع + ص) = س × ع + س × ص، (ع + ص) × س= ع × س + ص × س لكل ثلاثة عناصر س، ع، ص من س.

وفيما يلي يستخدم الرمز س، بغية الاختصار للدلالة على الحلقة.

تسميات:

1- تسمى الزمرة التبديلية (س، +) الزمرة الجمعية للحلقة س، ويسمى محايد هذه الزمرة صفر الحلقة س، ويرمز له، تجاوزاً بالرمز \.

2- إذا كان الضرب تبديلياً على س فإنها تسمى حلقة تبديلية.

3- إذا كان يوجد في س عنصر محايد بالنسبة للضرب فإنه يسمى واحد الحلقة س، ويرمز له، تجاوزاً، بالرمز 1 وتسمى س، حينئذٍ، حلقة واحدية.

أمثلة:

1- كل من مجموعات الأعداد: الصحيحة ص، المنطقة ع، الحقيقة ح، العقدية ق[ر]، حلقة تبديلية، وواحدية بالنسبة للجمع والضرب المألوفين عليها.

2- مجموعة الأعداد الصحيحة الزوجية حلقة تبديلية وغير واحدية بالنسبة لجمع الأعداد وضربها.

3- مجموعةُ المصفوفات المربعة من المرتبة الثانية م₂ (ح)، التي عناصر كل مصفوفة منها أعداد حقيقية، حلقة واحدية وغير تبديلية بالنسبة لجمع المصفوفات وضربها:

إنّ صفر هذه الحلقة هووواحدها هو ، وإنَّ:

4- لـيكن هـ'   ص ، هـ < \إذا كان س، ع 'ص ، وكـان: [س ك ع عندما وفقط عندما س º ع (قياس هـ)]، فتـكون ك علاقة تـكافـؤ على ص، وتـكـون مجموعةُ صفوفِ التكافؤ ص/هـ ص = {[\]، [1]، [2]،...، [هـ -1]}، بفرض أن [س] = {س + هـ × ص: ص 'ص} وَ \³س ³ هـ -1 حلقةً تبديليةً وواحديةً بالنسبة للجمع والضرب الآتيين:

[س] + [ع] = [س + ع]، [س] × [ع] = [س× ع]، حيث صفرها هو [\] وواحدها هو [1].

قواعد عامة

1- للمعادلة أ + ع = ب، حيث أ، ب  'س حل وحيد في س هو ع = ب+ (-أ) = ب - أ.

2- الضرب توزيعي على الطرح في س.

3- إذا كان أ، ب 'س فإنّ:

أ× \= \= \× أ، (-أ) × ب = - (أ × ب) = أ × (-ب)، (-أ) × (-ب) = أ × ب.

4- إذا كان أ، ب 'س وَ أ ≠ \، ب ≠ \، أ × ب = \[ولكن ليس من الضروري أن يكون ب × أ = \(انظر المثال الثالث)]، فإنه يقال إن أ قاسم يميني للصفر وإن ب قاسم يساري للصفر. وإذا كانت الحلقة تبديلية فيقال إن هذين العنصرين قاسمان للصفر فيها.

فمثلاً: [2]، [3] قاسمان للصفر في الحلقة ص/6ص.

5- المنطقة الصحيحة (التكاملية) هي حلقة تبديلية وواحدية، ولا تتألف من صفرها فقط، ولا تحوي قواسم للصفر. فمثلاً، كل من الحلقتين ص، ص/هـ ص، بفرض أن هـ أولي، منطقة صحيحة، بينما كل من الحلقتين م₂ (ح)، ص/6ص ليست بمنطقة صحيحة.

«ملاحظة: يحذف بعضهم شرط كون الحلقة واحدية عند تعريف المنطقة الصحيحة».

6- تعريف: إذا كان هـ 'ص، هـ <\، فإنّ: أ ^هـ = أ × أ × … × أ، هـ أ = أ + أ + … + أ، (-هـ) أ = هـ (-أ). أما إذا كان هـ = \فإنّ

\أ = \'س. ومنه (أ+ب)² = (أ+ب) × (أ+ب) = أ ²+ ب × أ + أ× ب + ب². وإذا كانت الحلقة س تبديلية فإنّ:

(أ + ب)²=أ ²+2 أ × ب + ب²، وإنّ:

(أ+ب)^هـ= أ ^هـ + هـ أ ^هـ-1 × ب + … + (ر^هـ) أ ^{هـ - ر} × ب ^ر + ... + ب ^هـ،

حيث:

7- يقال عن المجموعة الجزئية غير الخالية ج من الحلقة (س ، +،×) إنها حلقة جزئية منها إذا كان:

س - ع 'ج، س × ع 'ج وذلك لكل عنصرين س، ع ، من ج. وعلى هذا فإن الحلقة س حلقة جزئية من س وإن المجموعة {\} حلقة جزئية من س.

8- يقال عن عنصر ع من حلقة واحدية إنه قَلوبٌ فيها إذا انتمى إليها عنصر مثـل ع^-1، يسمى مقلوب ع، بحيث يكون ع × ع ^-1= ع ^-1× ع = 1.

المميّز

إذا كان هـ أصغر عدد صحيح موجب محقق للشرط هـ س = \لأجل كل س من س فإن هـ يدعى مميّز س.

أما إذا كان هـ غير موجود فإن الصفر يعتبر مميِّز س.

إذا كانت س واحدية فيكفي البحث عن وجود هـ أو عدم وجودها باستخدام الشرط هـ1 =\.

نتائج:

1- مميز الحلقة ص/هـ ص هو هـ.

2- إذا كانت س منطقة صحيحة فإن مميزها يكون إما صفراً أو عدداً أولياً مثل هـ. وفي الحالة الأخيرة، إذا كانت س، ع، …، ص، أيّ عناصر من س، فإنّ:

أ - (س + ع + … + ص) ^هـ = س ^هـ + ع ^هـ + ... + ص ^هـ

ب - س^هـ = س عندما تكون س = ك1، بفرض أن ك عدد طبيعي (مناسب).

3- مبرهنة فِرْما Fermat: إذا كان هـ عدداً أولياً فإنّ:

س ^هـ = س (قياس هـ) لأجل كل عدد صحيح س.

المثاليات

«يفترض فيما يلي أن مـ مجموعة جزئية غير خالية من س»:

1- المثالي الوحيد الجانب: يقال عن مـ إنها مثالي يساري (يميني) لـ س إذا كان س - ع  'مـ، س × أ 'مـ (أ× س 'مـ) وذلك لأجل أيّ س، ع من مـ وأيّ أ من س.

2- المثالي الثنائي الجانب: يقال عن مـ إنها مثالي ثنائي الجانب (أو، اختصاراً، مثالي) للحلقة س إذا كانت مـ مثالياً يمينياً ويسارياً بآنٍ واحد لـ س.

3- نتائج:

أ - إذا كانت س تبديلية فكل مثالي وحيد الجانب لها يكون مثالياً ثنائي الجانب لها.

ب - المجموعة س هي مثالي للحلقة س، والمجموعة {\} هي مثالي للحلقة س، ويدعى الأخير المثالي الصفري.

حـ - كل مثالي (وحيد الجانب أو ثنائي الجانب) للحلقة هو حلقة جزئية منها.

د - تقاطع أيّ مثاليين يساريين (يمينيين، ثنائيي الجانب) للحلقة هو مثالي يساري (يميني، ثنائي الجانب) لها.

هـ - إذا انتمى عنصر قَلوبٌ إلى أيّ مثالي يساري (يميني، ثنائي الجانب) مـ للحلقة الواحدية فإن مـ يساوي الحلقة نفسها.

4- المثاليات الرئيسة:

أ ـ المثالي الرئيس اليميني مـ لـ س المولَّد بعنصر ع 'س: هو المجموعة مـ = {هـ ع + س × ع: هـ 'ص، س 'س}؛ وإذا كانت س واحدية فإنَّ:

مـ = {ك × ع: ك 'س} = س × ع.

ب ـ المثالي الرئيس اليساري مـ لـ س المولد بعنصر ع 'س هو المجموعة:

مـ = {هـ ع + ع × س: هـ 'ص، س 'س}، وإذا كانت س واحدية فإنّ:

مـ = {ع × ك: ك 'س} = ع × س.

حـ - المثـالي الرئيـس مـ لــس المولَّد بعنصر ع 'س: هو المجمـوعـة مـ = (ع) التي تـساوي تقاطع جميع المثـاليـات لـ س التي كـل منـها يحوي ع. فـإذا كـانتس تـبديـليـة فإنّ: (ع) = {هـ ع + س × ع: هـ 'ص، س 'س}، وإذا كانت س تبديلية وواحدية فإن (ع) = س × ع = ع × س. أما إذا كانت س واحدية وغير تبديلية فإن (ع) يتكون من العناصر التي كل منها يساوي مجموعاً منتهياً لعناصر من الشكل س × ع × ف، حيث س، ف 'س.

مثال: المثالي الصفري هو مثالي رئيس مولَّد بصفر الحلقة، أيْ: {\}= (\)، ثم إذا كانت س واحدية فإنها تكون مثالياً رئيساً مولَّداً بواحدها، أي: س = (1).

5- تتمات:

أ - إذا كانت س تبديلية وواحدية، وكانت هـ₁، هـ₂،...، هـ_ر عناصر منها، فإن المثالي (هـ₁، هـ₂،....، هـ_ر) المولَّد بهذه العناصر يتألف من العناصر ذات الشكل:

هـ₁ × س₁ + هـ₂ × س₂+..... + هـ_ر × س_ر، حيث س₁، س_2،... س_ر'س.

ب - يبرهن أن كل مثالي للحلقة ص رئيس، وله الشكل: (ك)، حيث ك £\.

حـ - تسمى المنطقة الصحيحةُ، التي كل مثالي لها رئيس، حلقة المثاليات الرئيسة.

6- بعض العمليات على المثاليات: ليكن مـ₁، مـ₂، مثاليين يساريين (يمينيين، ثنائيي الجانب) لـ س. عندئذ:

أ - حـاصـل ضـرب مـ₁ بـ مـ₂ هو المثالي اليـساري (اليميني، الثنائي الجانب) مـ₁ × مـ₂ المؤلف من العناصر التي كل منها يـساوي مجمـوعـاً منتهياً لعنـاصر من الـشكل س₁× س₂، حيث س₁'مـ_1، س₂'مـ₂.

ب - حاصل جمع مـ₁ مع مـ₂ هو المثالي اليساري (اليمني، الثنائي الجانب) مـ₁ + مـ₂ المؤلف من العناصر التي كل منها له الشكل: س₁ + س₂، حيث س₁'مـ₁، س₂'مـ₂.

 نتيجة: إذا كان (س) + (ع) = (1) في حلقة المثاليات الرئيسة فيقال إن المثاليين (س)، (ع) أوليان فيما بينهما، وهذا يعني وجود عنصرين مثل س₁، ع₁ في هذه الحلقة بحيث يكون:

 س × س₁ + ع × ع₁ = 1.

المثاليات وعلاقات التكافؤ

1- التشاكل الحلقي: هو تطبيق مثل تا: س  ¬سَ ، منطلقه حلقة س ومستقره حلقة سَ، بحيث يكون:

تا(س + ع) = تا(س) + تا(ع)، تا(س × ع) = تا(س) × تا(ع) وذلك لكل عنصرين س، ع من س.

تعرَّف نواة تا بأنها المجموعة:

نو تا = {س:'س ، تا(س) = \َ } = تا ^-1 (\َ )حيث \َ هو صفر سَ. ويبرهن أنّ:

أ - صورة أيّ حلقة جزئية من س وفق تا تكون حلقة جزئية من سَ.

ب - الصورة العكسية لأيّ حلقة جزئية من سَ وفق تا تكون حلقة جزئية من س.

حـ - الصورة العكسية لأيّ مثالي يساري (يميني، ثنائي الجانب) للحلقة سَ. وفق تا تكون مثالياً يسارياً (يمينياً، ثنائي الجانب) للحلقة س.

د - نواة تا تكون مثالياً لـ س.

هـ - الشرط اللازم والكافي كيْ يكون تا متبايناً هو: نو تا ={\}.

إذا كان تا متبايناً وغامراً فإنه يسمى تماثلاً حلقياً، ويقال، حينئذ، إنّ س، سَ متماثلتان ويرمز ذلك س »سَ .

2- التوافق على س: هو علاقة تكافؤ مثل ر معرفة على س بحيث يتحقق ما يأتي:

إذا كان س، ع، ص، ف 'س بحيث س ر ع ، ص ر ف فإنّ:

(- س) ر (- ع)، (س + ص) ر (ع + ف)، (س × ص) ر (ع × ف).

إذا كـانت ر تـوافقـاً على س فإن مجمـوعة صفوف التكافؤ س/ ر حلقة بالنسبة للقانونين: [س] + [ع] = [س + ع]، [س] × [ع] = [س × ع]؛ ويوجد التشاكل الحلقي الغامر  قــا: س ¬س/ر الذي قاعدة ربطه: قا(س) = [س]. تسمى س/ ر حلقة الخارج، ويسمى قا الغمر القانوني.

3- نتائج:

أ ـ إذا كان تا: س ¬سَ تشاكلاً حلقياً، فإنه يوجد توافق مثل ر على س، وتشاكل حلقي متباين مثل

ها: س/ ر¬سَ بحيث يكون تا = ها ^oقا.

يكفي، للبرهان، وضع: [س ر ع عندما وفقط عندما تا(س) = تا(ع)] وَ [ها ([س]) = تا (س)].

ب ـ يوجد تقابل بين مثاليات أيّ حلقة س والتوافقات على هذه الحلقة.

يكفي، للبرهان، وضع: (س ر ع عندما وفقط عندما س - ع 'مـ). فتكون ر توافقاً على س (مقابلاً للمثالي مـ)، وبالعكس يكفي أخذ مـ = {س: س 'س، س ر \} فتكون مـ مثالياً لـ س (مقابلاً للتوافق ر). ويكتب عندها س/مـ بدلاً من س/ر ، ويرمز لصف التكافؤ [س] بالرمز س + مـ حيث س 'س ومنه:

إذا كان تا: س ¬سَ تشاكلاً حلقياً، فإنّ تا(س) » نو س / تا.

عبد الواحد أبو حمدة 

مراجع للاستزادة:

 

- N.Bourbaki, Eléments de mathématique (Algébre).

- A.G.Kurosh, Lectures on General Algebra.

- J.Lambek ,Lectures on Rings and Modules.

---

- التصنيف : الرياضيات و الفلك - النوع : علوم - المجلد : المجلدالثامن - رقم الصفحة ضمن المجلد : 492 مشاركة :