معادلات ماكسويل

Maxwell's equations - Equations de Maxwell

معادلات ماكسويل

 

معادلات ماكسويل في الخلاء:

معادلات ماكسويل Maxwell s equations هي معادلات موضعية تسمح بالتعبير عن الحقلين الكهربائي والمغنطيسي في كل نقطة من الفراغ وفي كل لحظة t، وتُقبل مبدأً في الفيزياء. قام العالم الاسكتلندي جيمس كلارك مكسويل (1831-1879) بدءاً من العام 1855 بترجمة المعارف العلمية في مجال الكهرباء والمغنطيسية، وإعادة صياغتها النظرية، وأضاف مفهوم تيار الانزياح drift current، فتوصَّل إلى بناء نظري موحَّد، تبدو الكهرباء والمغنطيسية في هذا البناء كظاهرتين خاصتين لحقيقة أكثر شمولية، سُمّيت بالكهرمغنطيسية.

تُقدم الصياغة النظرية لمكـسويل المفتاح لفهم طبيعة الظواهر الضوئية، إذ يُوصف الضوء بأنه موجة كهرمغنطيسية. وتسمح هذه الصياغة بالتعبير عن سـرعة الضـوء في الخـلاء من خلال العـلاقة μ₀ε₀c² = 1 التي تنسجم مع القيمة المُقاسة تجريبياً. تمثل c في العلاقة السابقة سرعة الضوء في الخلاء، وتمثل ε₀ الثابتة الكهربائية وتُسمّى السماحية Permittivity، وμ₀ الثابتة المغنطيسية وتُسمّى النفوذية Permeability.

تُكتب معادلات مكسويل في الخلاء، حيث يمكن وجود تيارات كهربائية شعاع كثافتها وشحنات كهربائية كثافتها ρ على الشكل التالي:

تُعبّر المعادلتان Mf وMF عن خواص الحقل الكهرمغنطيسي، في حين تُعبّر المعادلتان MG وMA عن طبيعة الارتباط بين الحقل ومنبعه، أي الشحنات الكهربائية والتيارات الكهربائية. يشار هنا إلى أنّ المعادلتين MG وMA لا تكفيان لتعيين الحقلين الكهربائي والمغنطيسي ، ويجدرالتذكير هنا بنظرية هلمهولتز التي تنص على تعذر تعيين الحقل الشعاعي كاملاً إلا إذا عُرف في الوقت نفسه كلٌّ من تفرُّقه div ودوَّاره rot.

وبالطبع هناك بالتعريف:

ودوّار B هو مفكوك المعيّن:

يُذكِّر بأن الحقلين الكهربائي والمغنطيسي يعرَّفان من خلال قوى التأثير الكهربائي والمغنطيسي التي يُعبّر عنها بعبارة قوة لورنتز، فإذا وُجِدت شحنة كهربائية q سرعتها في منطقة يسودها حقل كهربائي وآخر مغنطيسي ؛ فإنّ هذه الشحنة تخضع لقوة لورنتز التي تُعطى بالعلاقة الشعاعية التي يُرمز فيها للجداء الخارجي بالرمز X:

حيث يرتبط شعاع كثافة التيار الكهربائي بكثافة الشحنة الكهربائية ρ بالعلاقة الآتية التي تُسمّى علاقة انحفاظ الشحنة:

إن هذه العلاقة ليست مبدأً؛ لأنه يُمكن استنتاجها من معادلات مكسويل.

ملاحظة: إن معادلات ماكسويل السابقة محققة في أي وسط، شريطة أن تُكتب عبارتا الكثافة الحجمية للشحنات في الوسط وشعاع كثافة التيار في هذا الوسط. ومن ناحية ثانية فإن معادلات ماكسويل محققة في كل جمل المقارنة الغاليلية.

المحتوى الفيزيائي لمعادلات مكسويل:

1- معادلة مكسويل - غَوص:

ليكن fتدفق الحقل الكهربائي في لحظة ما من سطح مغلق (Σ) يحدّ حيّزاً من الفراغ (V)، يُكتب هذا التدفق بالشكل:

لقد جرى الانتقال من الطرف الثاني إلى الثالث اعتماداً على نظرية أوستروغرادسكي، والانتقال إلى الطرف الرابع جرى اعتماداً على معادلة مكسويل - غَوص. يُلاحظ أن الطرف الرابع يمثل الشحنة الكهربائية Q داخل السطح (Σ) مقسومة على ثابتة السماحية الكهربائية، أي:

 وهي تعبّر عن نظرية غَوص المعروفة في الكهرباء. وما معادلة ماكسويل - غَوص إلاّ تعميم لنظرية غَوص في الحالات المتغيرة مع الزمن. من الواضح أن معادلة ماكسويل - غَوص تُعبّر عن أن منبع الحقل الكهربائي هو الشحنات الكهربائية (ρ). يجب الانتباه - كما سنرى لاحقاً - أن (ρ) ليست المنبع الوحيد للحقل الكهربائي.

2- معادلة ماكسويل - أمبير:

لنحسب جَوَلان الحقل المغنطيسي على منحنٍ مغلق (C) يستند إليه سطح (Σ):

إن الانتقال إلى الطرف الثاني تمَّ اعتماداً على نظرية ستوكس، وإلى الطرف الثالث اعتماداً على معادلة مكسويل - أمبير.

يُمثل المقدار

 شدة التيار الذي يجتاز السطح (Σ). أما المقدار

 فقد أدخله مكسويل وأطلق عليه اسم تيار الانزياح، وهو يظهر في الحالات المتغيرة مع الزمن. أما في الحالات المستمرة فيكون i_D معدوماً وتُصبح معادلة مكسويل - أمبير بالشكل:

المعروفة باسم معادلة مكسويل - أمبير للمغنطيسية الساكنة أو المعادلة الموضعية للحقل المغنطيسي الساكن. ويُرى من هذه المعادلة أن منبع الحقل المغنطيسي الساكن هو التيارات الكهربائية. في حين يُضاف إلى هذا المنبع منبع آخر هو تيارات الانزياح. ويُلاحظ أن عبارة تيار الانزياح تُكتب بدلالة الحقل الكهربائي، ومن ثمّ فإن الحقل الكهربائي المتغير هو منبع للحقل المغنطيسي.

3- معادلة التدفق المغنطيسي:

ليكن (Σ) سطحاً مغلقاً يحدّ حيّزاً من الفراغ (V) في لحظة ما، يُكتب تدفق الحقل المغنطيسي من خلال (Σ) بالشكل:

وذلك اعتماداً على نظرية أوستروغرادسكي ومعادلة التدفق المغنطيسي.

تعبّر العلاقة السابقة عن انحفاظ تدفق الحقل المغناطيسي، أي أن هذه الخاصة محققة في الحالات المتغيرة مع الزمن كما هي محققة في الحالات الساكنة. يُلاحظ أن معادلة التدفق المغنطيسي تختلف عن معادلة ماكسويل - غَوص بأن الطرف الثاني في الثانية يحتوي كثافة الشحنة الكهربائية التي تولِّد الحقل، في حين لا يوجد في الأولى ما يقابل هذا الحد، بعبارة أخرى لا يوجد شحنات مغنطيسية.

4- معادلة مكسويل - فارادي:

يُكتب جَوَلان الحقل الكهربائي على منحنٍ مغلق (C) وفق العبارة الآتية:

حيث استخدمت نظرية ستوكس للانتقال إلى الحد الثاني ومعادلة مكسويل - فارادي للانتقال إلى الحد الثالث. يمثل (S) سطحاً يستند إلى المنحني (C).

يُلاحظ أن الطرف الأخير يحتوي على الحد

 الذي يُمثل تدفق الحقل المغنطيسي الذي يعبر المنحني (C)، والحد الأخير يساوي القوة المحركة الكهربائية المتولدة في دارة كهربائية مغلقة منطبقة على المنحني وذلك لأن:

وهو ما يُعرف بنظرية فارادي.

في الحالة الخاصة التي يكون فيها الحقل ساكناً يكون ، وهي تُعبر عن انحفاظ الحقل الكهربائي الساكن.

وبالعودة إلى علاقة جَوَلان الحقل الكهربائي في الحالة العامة المكتوبة أعلاه يُستنتج أن الحقل المغنطيسي المتغير هو منبع للحقل الكهربائي.

عقيل سلوم

الموضوعات ذات الصلة:

الأمواج الكهرمغنطيسية ـ فارادي (مايكل ـ) ـ الكهرطيسية (القوة ـ).

مراجع للاستزادة:

ـ عقيل سلوم، الكهرطيسية (جامعة دمشق عام 2001).

- HUBERT GIÉ &GEAN-PIERRE SARMANT, Électromagnétisme (Technique et documentation -Lavoisier 1996).

---

- التصنيف : الرياضيات و الفلك - النوع : علوم - المجلد : المجلد الثامن عشر - رقم الصفحة ضمن المجلد : 902 مشاركة :